1、2.3.2两点间的距离 已知平面上两点已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求如何求P1 、P2的距离的距离| P1 P2 |呢呢?|1221xxPP |1221yyPP (1) x1x2, y1=y2(2) x1 = x2, y1 y2P1(x1,y1)P2(x2,y2)xyoP2(x2,y2)探究新知探究新知(3) x1 x2, y1 y221221221)()(|yyxxPP 22|yxOP 特别地特别地, 原点原点O与任一点与任一点P(x, y)的距离：的距离：xOy12()Q xy, ,111()P xy, ,222()P xy, ,探究新知探究新知 求下列两点
2、间的距离：求下列两点间的距离： (1) A(6,0),B(-2,0); (2) C(0,-4),D(0,-1); (3) P(6,0),Q(0,-2); (4) M(2,1),N(5,-1). |AB|=8 |CD|=3 |PQ|=102 |MN|=13牛刀小试牛刀小试 ( 1,2),(2, 7),| |,|.1 ABxPPAPBPA 已已知知点点在在 轴轴上上求求一一点点使使得得并并求求的的值值例例22)1(4|2 aPA)2(7)1(422 aa)2(7)07()2(|222 aaPB1 a解得：解得：)1(4)02()1(|222 aaPA)0 ,(aP点的坐标为点的坐标为解：解：设设|
3、 PBPAQ所求点所求点P(1,0),且且典例分析典例分析例例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和线的平方和.yxO(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)ABDC解：解：如右图如右图, ,以顶点以顶点A为坐标原点，为坐标原点，AB边所在边所在的直线为的直线为x轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系， 则有则有A(0,0). .设设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质，得由平行四边形的性质，得C(a+b,c).典例分析典例分析 |AB|=|CD|=a， |AD|=|BC|=b+c|AC|=(a+b)+c，由两点间的距离公式
4、，得由两点间的距离公式，得|BD|=(b-a)+c |AB|+|CD|+|AD|+|BC|=2(a+b+c) |AC|+|BD|=2(a+b+c) |AB|+|CD|+|AD|+|BC|=|AC|+|BD|1.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.yxOB CAM(0,0)(a,0)(0,b)(,)22ab解：解：以顶点以顶点C为坐标原点，为坐标原点，AC所在所在直线为直线为x轴，建立直角坐标系，则轴，建立直角坐标系，则有有C(0,0) ,0 ,0,(,)2 2a bA aBbM设设则则2222BMMAMCab 巩固练习巩固练习故直角三角形斜
5、边的中点到三个顶点的故直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等距离相等.第一步：建立坐标系，用第一步：建立坐标系，用坐标表示有关坐标表示有关的量的量；第二步：进行有关的第二步：进行有关的代数运算代数运算；第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果“翻译翻译”所几所几何关系何关系. .用用坐标法坐标法解决简单的平面几何问题的步骤：解决简单的平面几何问题的步骤：课堂小结课堂小结2.3.3点到直线的距离xyP0 (x0,y0)O|y0|x0|x0y0复习引入复习引入点点 到到 x 轴轴, y 轴的距离？轴的距离？000, yxPxyP0 (x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|x0y01yyy1
6、1xxx1复习引入复习引入点点 到直线到直线 x =x1, 直线直线 y =y1的距离？的距离？000, yxP 已知点已知点 ，直线，直线 ，如何求点如何求点 到直线到直线 的距离？的距离？000, yxP0:CByAxl0Pl 点点 到直线到直线 的距离，是指从点的距离，是指从点 到直线到直线 的的垂线段垂线段 的长度，其中的长度，其中 是垂足是垂足0P0PllQP0QQ思考思考：如何求出：如何求出 ？QP0 xyOl000, yxP探究新知探究新知思路一：思路一：直接法直接法直线直线 的方程的方程l直线直线 的斜率的斜率l0lP Q 直线直线 的方程的方程l直线直线 的方程的方程QP0交
7、点交点QP0点点 之间的距离之间的距离 （ 到到 的距离）的距离）QP、00Pl点点 的坐标的坐标0P直线直线 的斜率的斜率QP0点点 的坐标的坐标0P点点 的坐标的坐标Q两点间距离公式两点间距离公式xyOlQ思路简单思路简单运算繁琐运算繁琐000, yxP思路二：思路二：间接法间接法xyOlQ等面积法求出等面积法求出 |P0Q|求出求出 |P0R|求出求出|P0S|利用勾股定理求出利用勾股定理求出|RS|SR求出点求出点R的坐标的坐标求出点求出点S的坐标的坐标000(,)P xy00,()AxCxB00,ByCyA()001|2PSP R1|2d SR思路三：思路三：向量投影法向量投影法求出
8、直线求出直线l与与y轴的交点轴的交点M的坐标的坐标xyOQM000(,)P xy0:CByAxl(0)CB，求出求出P0M求出直线求出直线l的垂直向量的垂直向量n求出求出P0M在在 n 上的投影上的投影|P0Q|00P Mn=|n| PQ |(,) ( ,)|0022CxyA BBAB|0022AxByCABn 点点 到直线到直线 的距离：的距离：000()P x ,y0:CByAxl2200BACByAxdxyO0PlQ探究新知探究新知1.此公式是在此公式是在A0、B0的前提下推导的；的前提下推导的；2.如果如果A=0或或B=0，此公式也成立；，此公式也成立；3.用此公式时直线方程要用此公式
9、时直线方程要先化成一般式先化成一般式.注：注：2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()小试牛刀C牛刀小试牛刀小试3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是.(5,-3) 例例3 求点求点P(-1,2)到下列直线到下列直线的距离的距离: 2x+y-10=0； 3x=2解：解： 根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得 521210211222 d如图，直线如图，直线3x=2平行于平行于y轴，轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d典例分析典例分析2.2.求点求点B(1,-2)B(1,-2)到直线到直线4 4x+3+3y=0=0的距离的距
10、离. .1. 1.求点求点A(-2,3)A(-2,3)到直线到直线3 3x+4+4y+3=0+3=0的距离的距离. .4.4.求求点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3 3y=2=2的距离的距离. .3.3.求求点点P(1,0)P(1,0)到直线到直线3 3x+y-3=03=0的距离的距离. .5952034巩固练习巩固练习1|2SAB h解：解：设设边边AB上的高为上的高为h, 则则22|(3 1)(1 3)2 2AB xyO-1-11 12 22 23 33 31 1B (3,1)A (1,3)h22| 1 04|11h 例例4 已知点已知点A(1,3), B(3,1), C(-1
11、,0)，求求ABC的面积的面积.25典例分析典例分析C (-1,0)边边AB所在直所在直线线l的方程为的方程为311 33 1yx40 xy即即点点C(-1,0)到直到直线线l的距离为的距离为152 2522ABCS因此因此巩固练习巩固练习1.已知点已知点A(-1,3), B(-3,0), C(1,2)，求求ABC的面积的面积.2. 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解: 当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-
12、1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得 综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.跟踪训练巩固练习巩固练习解:点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,直线l的方程是y=2或x-y+2=0.3.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.巩固练习巩固练习另解：当直
13、线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),直线l的方程是x-y+2=0.当直线lAB时, A,B两点到直线l的距离相等.直线AB的斜率为0,直线l的斜率为0,直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.巩固练习巩固练习3.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.课堂小结课堂小结21221221)()(|yyxxPP 平面上两点平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)的距离：的距离： 点点 到直线到直线 的距离：的距离：000()P x ,y0:CByAxl2200BACByAxd
