1、1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离.学习目标XUE XI MU BIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的 的长度 夹在两条平行直线间 的长图示垂线段公垂线段公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d_两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d_思考1点P (x0，y0)到直线xa和直线yb的距离怎样计算？答案P(x0，y0)到xa的距离d|ax0|；P(
2、x0，y0)到yb的距离d|by0|.思考2两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？答案可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.当点P(x0，y0)在直线l：AxByC0上时，点到直线的距离公式不适用了.()3.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.()4.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.()2题型探究PART TWO一、点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离.则点P(2，3)到该直线的距离为解3y4
3、可化为3y40，3y4.(2)求垂直于直线x3y50且与点P(1,0)的距离是 的直线l的方程.解设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知，所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可
4、.跟踪训练1(1)点P(1,2)到直线2xy100的距离为_.(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则实数m的值为_.二、两平行线间的距离例2(1)求两条平行直线3x4y120与mx8y60之间的距离；直线6x8y60即为3x4y30.(2)求到直线3x4y10的距离为3，且与此直线平行的直线的方程.解设所求直线方程为3x4ym0，解得m16或m14.故所求的直线方程为3x4y160或3x4y140.延伸探究把本例(2)改为“直线l与直线3x4y10平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”.解由直线l平行于直线3x4y10，可设l的方程为
5、3x4yc0，解得c21或c9，所以，所求直线方程为3x4y210或3x4y90.反思感悟求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.(2)公式法：设直线l1：AxByC10，l2：AxByC20，则两条平行直线间的距离d .跟踪训练2(1)已知直线5x12y30与直线10 xmy200平行，则它们之间的距离是即5x12y100，(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_.x2y30解析当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两
6、条平行直线间的距离最大.因为A(1,1)，B(0，1).即x2y30.三、距离的综合应用例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；解如图，显然有0d|AB|.(2)当d取最大值时，两条直线的方程.解由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.所以所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.反思感悟应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思
7、想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.跟踪训练3已知ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m， )，C(4,2)，1m0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于12345678910 11 12 13 14 15 164.已知直线3xmy30与6x4y10互相平行，则它们之间的距离是解析3xmy30与6x4y10平行，12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)已知A(2，4)，B(1,5)两点到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值可能为A.3 B.3C.2 D.112345678910 11
8、 12 13 14 15 16解得a3或a3.6.若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_.12345678910 11 12 13 14 15 167.已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为 ，则点P的坐标为_.12345678910 11 12 13 14 15 16(1,2)或(2，1)解析设点P的坐标为(a，53a)，所以点P的坐标为(1,2)或(2，1).8.经过点P(3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_.12345678910 11 12 13 14 15 16x3或7x24y750解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x3
9、的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy3k40. 直线l的方程为7x24y750.综上可知，直线l的方程为x3或7x24y750.12345678910 11 12 13 14 15 169.求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(3,1)等距离的直线l的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解方法一点A(1,1)与B(3,1)到y轴的距离不相等，直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为ykx2，即kxy20.由点A(1,1)与B(3,1)到直线l的距离相等，12345678910
10、11 12 13 14 15 16解得k0或k1.直线l的方程是y2或xy20.方法二当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等.AB的中点是(1,1)，又直线l过点P(0,2)，直线l的方程是xy20；当直线lAB时，直线l与点A，B的距离相等.直线AB的斜率为0，直线l的斜率为0，直线l的方程为y2.综上所述，满足条件的直线l的方程是xy20或y2.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知正方形的中心为直线xy10和2xy20的交点，正方形一边所在直线方程为x3y20，求其他三边所在直线的方程.12345678910 11 12 13 14 15 1
11、6所以中心坐标为(1,0).设正方形相邻两边方程为x3ym0和3xyn0.因为正方形中心到各边距离相等，所以m4或m2(舍去)，n6或n0.所以其他三边所在直线的方程为x3y40,3xy0,3xy60.12345678910 11 12 13 14 15 1611.直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为A.3xy130 B.3xy130C.3xy130 D.3xy130综合运用解析由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，由点斜式得，y43(x3)，即3xy130.12345678910 11 12 13 14 15 1612.过两直线xy10和xy10的交点，并与原
12、点的距离等于1的直线共有A.0条 B.1条 C.2条 D.3条12345678910 11 12 13 14 15 16两直线交点坐标为(0,1)，由交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件.13.已知直线l与直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程是_.2xy10解析方法一由题意可设l的方程为2xyc0，即|c3|c1|，解得c1，则直线l的方程为2xy10.方法二由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2xyc0，则直线l的方程为2xy10.12345678910 11 12 13 14 15 16解析设P(x，y)，A(2，1)，则点P在直线xy30上，1
13、2345678910 11 12 13 14 15 16|PA|的最小值为点A(2，1)到直线xy30的距离15.已知入射光线在直线l1：2xy3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究解析如图所示，结合图形可知，直线l1l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y2x3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y2x3.由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离12345678910 11
14、12 13 14 15 1616.已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；12345678910 11 12 13 14 15 16解设A关于直线l的对称点为A(m，n)，12345678910 11 12 13 14 15 16故A(2,8).因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，12345678910 11 12 13 14 15 16故所求的点P的坐标为(2,3).解A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大.12345678910 11 12 13 14 15 16故所求的点P的坐标为(12,10).
