1、2.4.2圆的一般方程rbyax2)(2)(2, ba圆的标准方程的形式是怎样的？从中可以看出圆心和半径各是什么？r复习引入复习引入思考：若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？rbyax2)(2)(2得 x2 y 2DxEyF0 22222202 rbabyaxyx由于由于a, b, r均为常数均为常数FrbaEbDa 222,2,2令令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式022FEyDxyx思考：反过来想一想，形如 的方程的曲线 就一定是圆吗？把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0配方可得：配方可得：22224()()224DEDEFxy（1 1）
2、当）当D2 2+ +E2 2-4-4F00时，表示以（时，表示以（ ）为圆心，以）为圆心，以( )( )为半径的圆为半径的圆2,2ED FED42122 2,2ED （3）当）当D2+E2-4F0时，方程（时，方程（1）无实数解，所以）无实数解，所以不表示任何图形不表示任何图形所以形如所以形如x2 2y2 2DxEyF0 0( (D2 2+ +E2 2-4-4F0)0)可表示圆的方程可表示圆的方程x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）没有没有xy这样的二次项；这样的二次项； x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0； 圆的一般方程圆的一般方程:说明：说明：思考：圆的思考：圆的
3、标准方程标准方程与与一般方程一般方程各有什么特点？各有什么特点？标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径.一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点的特点.(x-a)2+(y-b)2=r22.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.3.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=答案:(3,0)答案:4若方程 x2y22mx2ym25m0 表示圆，求实数 m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解:由表示圆的条件,得(2(2m) )2 2( (2)2)2 24(4(m2 25 5m) )0 0，形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判定其是否
4、表示圆时可有如下两种方法：（1）由圆的一般方程的定义，令 D2E24F 0 成立，则表示圆，否则不表示圆.（2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.注意：所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.例：求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；(3)解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或一般方程 圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较(1)若知道或涉及圆心和半径
5、若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.(2).若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解数法求解. 方法总结方法总结1.求下列各圆的一般方程(1)过点 圆心为点(2)过三点),1 , 5(A);3, 8( C).8 ,0(),0 ,6(),0 ,0(CBA04861622yxyx08622yxyx例.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。点M M的轨迹方程是指点M M的坐标( (x, ,y) )满足的关系
6、式，轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）解：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).由于点B的坐标是（4,3),且M是线段AB的中点，所以于是有x0=2x-4,y0=2y-3. 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0+1)2+y2=4. 把代入，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4.整理，得 这就是点M的轨迹方程，它表示以 为圆心，半径为1的圆.已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,AM=BA,求动点M的轨迹方程.解:设A(x1,y1),M(x,y
7、),AM=BA,且M在BA的延长线上,A为线段MB的中点,化简得(x+4)2+y2=8,点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8. 已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 .整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.答案:x2+y2-8x=0 若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?0422022FEDFEyDxyx 配方展开(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解法求解. 归纳总结归纳总结
