1、 生活中的椭圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆（二）突出认知、建构概念（二）突出认知、建构概念复习提问复习提问问题问题:什么叫圆什么叫圆?答答:平面上到平面上到一个定点一个定点的距离等于的距离等于定长定长的点的的点的集集 合叫圆合叫圆.O压扁 如果把细绳的两端拉开一定如果把细绳的两端拉开一定的距离，分别固定在图板的两处，的距离，分别固定在图板的两处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是这时笔尖画出的轨迹是 什么曲线？什么曲线？在这个过程中你能
2、说出移动的笔尖满足的几何条件吗？ 动手做一做动手做一做动画演示动画演示 探究探究：|MF1|+ |MF2|F1F2| 椭圆椭圆 探究探究：|MF1|+ |MF2|F1F2| 椭圆椭圆重播 探究探究：|MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段线段 探究探究：|MF1|+ |MF2|F1F2| 不存在不存在椭圆的定义椭圆的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的和等于常的距离的和等于常数（大于数（大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点这两个定点F F1 1、F F2 2叫做叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两个焦，两个焦
3、点间的距离叫做点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距。你能举出有关椭圆的例子吗？你能举出有关椭圆的例子吗？1. 椭圆定义：椭圆定义： 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作）的点的轨迹叫作椭圆。椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦焦点点，两焦点间的距离叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距 。12,F F1 2|FF|MF1|+|MF2|=2aMF1F2记焦距为记焦距为2c，椭圆上的点，椭圆上的点M与与F1， F2的的距离距离和记为和记为2a。(|F1F2|=2c,（三）注重本质（三）注重本质 、理解概念、理解概念2a2c
4、0)绳长绳长等于等于两定点间两定点间距离即距离即2a=2c 时时,绳长绳长小于小于两定点间两定点间距离即距离即2a2c0. （2） 平面内平面内. -这是大前提这是大前提 （3）动点）动点M与两定点与两定点 的的距离的和距离的和等于常数等于常数2a1. 椭圆定义：椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 12,F F1 2|FF|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0, |F1F2|=2c)M
5、F1F2记焦距为记焦距为2c，椭圆上的点椭圆上的点M与与F1， F2的的距离的距离的和记为和记为2a。12,F F（三）注重本质、理解概念（三）注重本质、理解概念求曲线方程的步骤是什么？（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y);（2）找出限制条件 p(M);（3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0;（5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)建、建、 设、限、代、化设、限、代、化 结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？使椭圆的方程简单？（四）深
6、化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程222)()(rbyaxxOyA(a,b)Mr222ryxxOyMr类比探究类比探究（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程建立平面直角坐标系一般遵循的原则：建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁对称、简洁xOyM方案一方案一 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程方案二方案二xOyM1F2F2F1F 以以F1、F2 所在直线为所在直线为 x 轴，线段轴，线段 F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系) 0(222babca设, 0,2222
7、cacaca所以即由椭圆定义可知由椭圆定义可知化化代代设设 建建 F1F2xyM( x , y )设设 M( x，y )是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c，则有，则有F1(-c，0)、F2(c，0).- , 0c , 0c则：则：2222+-+= 2xcyx cyaO 椭圆标准方程的推导椭圆标准方程的推导限限aMFMF2|21限限制条件为制条件为：)0.(12222babyax两边同除以两边同除以 得得22ba222222bayaxb得，22222222()()2xcyxcyacxy（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程又设又设M与与F1， F2的距离的
8、和等于的距离的和等于2aF1F2xyM( x , y )- , 0c , 0c椭圆的标准方程（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 焦点在焦点在 轴上轴上1F2FxyO) 0( 12222babyaxx),(yxM 思考思考：焦点在焦点在 轴上轴上的的方程是什么？方程是什么？yOxy),(yxM1F2F) 0( 12222babxay012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：1oFyx2FM( x , y )aycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFM( x , y )x椭圆的标准方程（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、
9、构建方程Y Y型椭圆型椭圆X X型椭圆型椭圆), 0(), 0(21cFcF，)0()0(21，cFcF 由两点间的距离公式，可知：由两点间的距离公式，可知：2222()()2ycxycxa 设设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，为椭圆上任意一点，则有则有F1(0,-c)，F2(0,c)， 又由椭圆又由椭圆 的定义可得：的定义可得： |MF1|+ |MF2|=2a（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）椭圆的标准方程。）2a2ay yc)c)(x(xy yc)c)(x(x2 22 22 22 2焦点在
10、焦点在Y轴轴焦点在焦点在X轴轴F2F1Mxyo22222222222211xyxybacaacab22222222222211yxyxaacabbac222210yxabab焦点在焦点在x轴上的标准方程：轴上的标准方程：焦点在焦点在y轴上的标准方程：轴上的标准方程：222210 xyabab（1）焦点在）焦点在x轴的椭圆，轴的椭圆，x2项分母较大项分母较大.（2）焦点在）焦点在y轴的椭圆，轴的椭圆，y2 项分母较大项分母较大.222bac222bacOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方
11、程的认识：椭圆的标准方程的认识：（1）“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个是个专有名词专有名词，专指本节介绍的两，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。个方程，方程形式是固定的。（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上一个轴上,即即“椭圆的焦点椭圆的焦点看分母，谁大在谁上看分母，谁大在谁上”PxyoacNoImagebcaOP2
12、2|令222210 xyababNoImageb0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：不同点：焦点在焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大
13、项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.22221.153xy ，则a ，b ；22222.146xy ，则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 37 169. 322yx6 147. 422yx24 4. .判定下列椭圆的焦点在判定下列椭圆的焦点在x x轴还是轴还是y y轴上，并指明轴上，并指明a a2 2、b b2 2，写出焦点坐标及焦距，写出焦点坐标及焦距. .116y25x22在在 x x轴。（轴。（-3-3，0 0）和（）和（3 3，0 0）2c=62c=61169y144x22在在y y轴。（轴。（0 0，-5-5）和（）和（0 0，5 5
14、）2c=102c=105. 则到另一个焦点的距离为则到另一个焦点的距离为距离等于距离等于到一个焦点的到一个焦点的上一点上一点椭圆椭圆,311625.(1)22Pyx 的值等于则的焦距为椭圆mymx, 214. 222A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对A 5 B 7 C 8 D 10B BC C例例1.1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法一解法一: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程
15、为).0( 12222 babyax由椭圆的定义知由椭圆的定义知102)23()225()23()225(22222 a所以所以.10 a又因为又因为 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx例例1.1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0), (2,0), ), (2,0), 并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法二解法二: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 1
16、2222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦点的坐标分别是焦点的坐标分别是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知联立联立,61022ba，解得因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.例例2.已知椭圆已知椭圆 ，焦点为，焦点为F1和和F2 ，P是椭圆是椭圆 上一点，且上一点，且 ，
17、求，求 的周长和面积。的周长和面积。22221xyab21FPF21PFF21PFF通常叫做通常叫做焦点三角形焦点三角形，其，其周长周长为定值为定值2a + 2c.相关知识：相关知识： 注意注意新旧知识的综合运用新旧知识的综合运用1 212121sin2PFFSPFPFFPF222121212122cosFFPFPFPFPFFPF余弦定理：21PFF通常叫做通常叫做焦点三角形焦点三角形，其，其周长周长为定值为定值2a + 2c，其其面积面积为为2212tantan22FPFbb例例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是、椭圆的两个焦点的坐标分别是(4, 0 )、( 4 , 0 )，椭圆上一点椭圆上一点
18、P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 12yoFFMx解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: 1=by+ax22221=9y+25x22) 0ba (5：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴上的轴上的椭圆，求椭圆，求k的取值范围。的取值范围。1141142222kyxkyx得解：由方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆41k1解之得：0k4k的取值范围为0k 0
19、xyabab2222+=1 0 xyabba|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定义法；待定系数法定义法；待定系数法.类比意识；求美意识；求简意识类比意识；求美意识；求简意识.两种思想：两种思想：数形结合的思想；坐标法的思想数形结合的思想；坐标法的思想.2222+=1 0 xyabab 标准方程中，分母哪个大，焦标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上点就在哪个轴上!12- , 0 , 0，FcF c120,-0,，FcFc标标 准准 方方 程程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦焦 点点 坐坐 标标a、b、c 的关系的关系焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上222cab22221(0)yxababyxMOF1 1F2 2
