1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解任意角的概念和弧度制的概念 . 2.能进行弧度与角度的互化 . 3.理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 . 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主,常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值,考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以选择题为主,低档难度 . 1角的概念 (1)任意角: 定义:角可以看成平面内 一条射线 绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的 图形 ; 分类:角按旋转方向分为 正角
2、 、 负角 和 零角 (2)所有与角 终边相同的角,连同角 在内,构成的角的集合是 S | k360 , k Z (3)象限角:使角的顶点与 原点 重合,角的始边与 x 轴的非负半轴 重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限 2弧度制 (1)定义:把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角,用符号 rad表示,读作弧度正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数是一个 负数 ,零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化: 180 rad,1 180 rad, 1 rad ? ?180 . (3)扇形的弧长公式:
3、l | | r,扇形的面积公式: S 12lr 12| | r2. 3任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x, y)时, 则 sin y, cos x, tan yx(x0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 三个三角函数的性质如下表: 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin R cos R tan | k 2 , k Z 4.三角函数线 如下图,设角 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线;有向线段
4、OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角函数值在 各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义 (推广 ) 设 P(x, y)是角 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sin yr, cos xr, tan yx(x0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角 ( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关 ( ) (3)不相等的角终边一定不相同 ( ) (4)若 为第一象限角
5、,则 sin cos 1.( ) 题组二 教材改编 2 P10A 组 T7角 225 _弧度,这个角在第 _象限 答案 54 二 3 P15T2设角 的终边经过点 P(4, 3),那么 2cos sin _. 答案 115 解析 由已知并结合三角函数的定义,得 sin 35, cos 45,所以 2cos sin 2 45 ? ? 35 115. 4 P10A 组 T6一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为 _弧度 答案 3 题组三 易错自纠 5 (2018 秦皇岛模拟 )下列与 94 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A 2k 45( k Z) B k360 94 (k Z)
6、C k360 315( k Z) D k 54 (k Z) 答案 C 解析 与 94 的终边相同的角可以写成 2k 94 (k Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案 C 正确 6集合? ? k 4 k 2 , k Z 中的角所表示的范围 (阴影部分 )是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 当 k 2n(n Z)时, 2n 4 2 n 2 ,此时 表示的范围与 4 2 表示的范围一样;当 k 2n 1 (n Z)时, 2n 4 2 n 2 ,此时 表示的范围与 4 2 表示的范围一样,故选 C. 7已知角 ( 0, 4m264m2 9125,即 m12. (2)
7、设 是第三象限角,且 ? ?cos 2 cos 2 ,则 2 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 B 解析 由 是第三象限角知, 2 为第二或第四象限角, ? ?cos 2 cos 2 , cos 20,1 2cos x0 , 即? sin x12,cos x 12,如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为 ?2k 3 , 2k 56 (k Z) =【 ;精品教育资源文库 】 = 思维升华 (1)利用三角函数的定义,已知角 终边上一点 P 的坐 标可求 的三角函数值;已知角 的三角函数值,也可以求出点 P 的坐标 (2)利用三角函数
8、线解不等式要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性写出角的范围 跟踪训练 (1)(2017 济南模拟 )已知点 P(tan , cos )在第三象限,则角 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析 tan 0, cos 0, 在第二象限 (2)(2017 石家庄模拟 )若 34 2 ,从单位圆中的三角函数线 观察 sin , cos ,tan 的大小是 ( ) A sin tan cos B cos sin tan C sin cos tan D tan sin cos 答案 C 解析 如图,作出角 的正弦线 MP,余弦线 OM,正切线 AT, 观察可知
9、sin cos tan . 数形结合思想在三角函数中的应用 典例 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1),此时圆上一点 P 的位置在 (0,0),圆在 x 轴上沿正向 滚动当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时, OP 的坐标为_ =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2017 合肥调研 )函数 y lg(3 4sin2x)的定义域为 _ 思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想,利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集 解析 (1)如图所示,过圆心 C 作 x 轴的垂线,垂足为 A,过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂
10、线交于点 B.因为圆心移动的距离为 2,所以劣弧 PA 2,即圆心角 PCA 2, 则 PCB 2 2 ,所以 PB sin? ?2 2 cos 2, CB cos? ?2 2 sin 2,设点 P(xP, yP), 所以 xP 2 CB 2 sin 2, yP 1 PB 1 cos 2, 所以 OP (2 sin 2,1 cos 2) (2)因为 3 4sin2x 0, 所以 sin2x 34, 所以 32 sin x 32 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示 ), 所以 x ? ?k 3 , k 3 (k Z) 答案 (1)(2 sin 2,1 cos 2) (2)? ?k 3 , k 3 (k Z)