1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.2 排列与组合 最新考纲 考情考向分析 1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题 2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题 . 以理解和应用排列、组合的概念为主,常常以实际问题为载体,考查分类讨论思想,考查分析、解决问题的能力,题型以选择、填空为主,难度为中档 . 1排列与组合的概念 名称 定义 排列 从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素 按照 一定的顺序 排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同排列 的个数叫做从
2、 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 Amn表示 (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同组合 的个数,叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 Cmn表示 3排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Amn n(n 1)(n 2)?( n m 1) n!?n m?! (2)Cmn AmnAmmn?n 1?n 2? ?n m 1?m! n!m! ?n m?! 性质 (3)0! 1; Ann n! (4)Cmn Cn mn ; Cmn 1 Cmn Cm 1n _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请
3、在括号中打 “” 或 “”) (1)所 有元素完全相同的两个排列为相同排列 ( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 ( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 ( ) (4)(n 1)! n! n n! .( ) (5)若组合式 Cxn Cmn,则 x m 成立 ( ) (6)kCkn nCk 1n 1.( ) 题组二 教材改编 2 P27A 组 T76 把椅子摆成 一排, 3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A 144 B 120 C 72 D 24 答案 D 解析 “ 插空法 ” ,先排 3 个空位,形成 4 个空隙供 3 人选择就座,因此任何两
4、人不相邻的坐法种数为 A34 432 24. 3 P19 例 4用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为 ( ) A 8 B 24 C 48 D 120 答案 C 解析 末位数字排法有 A12种,其他位置排法有 A34种 , 共有 A12A34 48(种 )排法,所以偶数的个数为 48. 题组三 易错自纠 4六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A 192 种 B 216 种 C 240 种 D 288 种 答案 B 解析 第一类:甲在左端,有 A55 54321 120(种 )排法; 第二类:乙在最左端,甲不在最右端,
5、有 4A44 44321 96(种 )排法 所以共 有 120 96 216(种 )排法 5为发展国外孔子学院,教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则不同的选派方案种数为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 180 B 240 C 540 D 630 答案 C 解析 依题意,选派方案分为三类: 一个国家派 4 名,另两个国家各派 1 名,有 C46C12C11A22 A33 90(种 ); 一个国家派 3 名,一个国家派 2 名,一个国家派 1 名, 有 C36C23C11A33 360(种 ); 每个国家各派 2 名,有 C26C24C2
6、2A33 A33 90(种 ), 故不同的选派方案种数为 90 360 90 540. 6寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排 A, B, C, D,E 五个座位 (一排共五个座位 ),上车后五人在这五个 座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 _种 (用数字作答 ) 答案 45 解析 设 5 名同学也用 A, B, C, D, E 来表示,若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法,设E 同学坐在自己的座位上,则其他四位都不坐自己的座位,则有 BADC, BDAC, BCDA, CADB,CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA,共
7、9 种坐法,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 95 45(种 ). 题型一 排列问题 1某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了_条毕业留言 (用数字作答 ) 答案 1 560 解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以全班共写了 A240 4039 1 560(条 )留言 2用 1,2,3,4,5,6 组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数 1,3,5 有且只有两个相邻,则不同的排法种数为 ( ) A 18 B 108 C 216 D 432 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意,
8、分三步进行:第一步,先将 1,3,5 分成两组,共 C23A22种排法;第二步,将2,4,6 排成一排,共 A33种排法;第三步,将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位,共 A24种排法综上,共有 C23A22A33A24 32612 432(种 )排法,故选 D. 3将 7 个人 (其中包括甲、乙、丙、丁 4 人 )排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有 ( ) A 1 108 种 B 1 008 种 C 960 种 D 504 种 答案 B 解析 将丙、丁两人进行捆绑,看成一人将 6 人全排列有 A22A66种排法;将甲排在排头,有A22A55种排法;乙
9、排在排尾,有 A22A55种排法;甲排在排头,乙排在排尾,有 A22A44种排法则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两 人必须相邻的不同排法共有 A22A66 A22A55 A22A55 A22A44 1 008(种 ) 思维升华 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的 问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 . 题型二 组合问题 典例 某市工商局对 35
10、 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取3 种 (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? 解 (1)从余下的 34 种商品中, 选取 2 种有 C234 561(种 )取法, 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C334种或者 C335 C234 C334 5 984(种 )取法 某一种假货不能在
11、内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种,从 15 种假货中选取 2 种有 C120C215 2 100(种 )取法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C215种,选取 3 种假货有 C315种,共有选取方式 C120C215 C315 2 100 455 2 555(种 ) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)方法一 (间接法 ) 选取 3 种的总数为 C335,因此共有选取方 式 C335 C315 6 545 455 6 090(种 ) 至多有 2 种
12、假货在内的不同的取法有 6 090 种 方法二 (直接法 ) 共有选取方式 C320 C220C115 C120C215 6 090(种 ) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化: (1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型: “ 含 ” ,则先将这些元素取出,再由另外元素补足; “ 不含 ” ,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取 (2)“ 至少 ” 或 “ 至多 ” 含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视 “ 至少 ” 与 “ 至多 ” 这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,通常用直
13、接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理 跟踪训练 (1)在某校 2017 年举办的第 32 届秋季运动会上,甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名,则甲、乙两位同学所选的项目中至少有 1 个不相同的选法种数为 ( ) A 30 B 36 C 60 D 72 答案 A 解析 因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有 C24C24种 其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有 C24种, 所以甲、乙所选的项目中至少有 1 个不相同的选法共有 C24C24 C24 30(种 )故选 A. (2)(2017 武汉二模 )若从 1,2,3, ? , 9 这 9 个整数中同时取
14、 4 个不同的数,其 和为偶数,则不同的取法共有 ( ) A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 答案 D 解析 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使和为偶数,则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数和 2 个偶数,故不同的取法有 C45 C44 C25C24 66(种 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型三 排列与组合问题的综合应用 命题点 1 相邻、相间及特殊元素 (位置 )问题 典例 (1)(2018 青岛模拟 )在高三某班进行 的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生, 2 位男生,如果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为 _ 答案 60 解析 2 位男生不能连续出场的排法共有 N1 A33A 24 72(种 ),女生甲排第一个且 2 位男生不连续出场的排法共有 N2 A22A 23 12(种 ),所以出场顺序的排法种数为 N N1 N2 60. (2)(2017 上饶一模 )大数据时代出现了滴滴打 车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的 A, B, C, D 四个家庭各有两个孩子共 8 人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐 4 名 (乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置 ),其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一