1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十七） 直线、平面垂直的判定与性质 小题常考题点 准解快解 小题常考题点 准解快解 1 (2018 广东广州模拟 )设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A若 ， m? ， n? ，则 m n B若 m ， m n， n ，则 C若 m n， m? ， n? ，则 D若 ， m? ， n? ，则 m n 解析：选 B 若 ， m? ， n? ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； m ， m n， n ，又 n ， ，故 B 正 确；若 m n， m? ， n? ，则 与 的位置关系不确
2、定，故 C 错误；若 ， m? ， n? ，则 m n 或 m， n 异面，故D 错误故选 B. 2 (2018 湖南一中月考 )下列说法错误的是 ( ) A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行 解析：选 D 如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面 3.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC 90 ， BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( ) A直线
3、 AB 上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 D ABC 内部 解析：选 A 连接 AC1(图略 )，由 AC AB， AC BC1，得 AC 平面 ABC1. AC? 平面 ABC， 平面 ABC1 平面 ABC. C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上 4 (2018 河北唐山模拟 )如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， G 是EF 的中点，现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间 图形，使 B、 C、 D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A AG
4、 平面 EFH B AH 平面 EFH C HF 平面 AEF D HG 平面 AEF 解析：选 B 根据折叠前、后 AH HE， AH HF 不变， AH 平面 EFH， B 正确； 过 A只有一条直线与平面 EFH 垂直， A 不正确； AG EF， EF GH， AG GH G， EF 平面HAG，又 EF?平面 AEF， 平面 HAG AEF，过点 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG内， C 不正确；由条件证不出 HG 平面 AEF， D 不正确 故选 B. 5.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2， AC BC 1， ACB90 ， D 是 A1B1的中
5、点， F 是 BB1上的动点， AB1， DF 交于点 E.要使 AB1 平面 C1DF，则线段 B1F 的长为 ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 解析：选 A 设 B1F x，因为 AB1 平面 C1DF， DF?平面 C1DF，所以 AB1 DF.由已知可得 A1B1 2，设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE 12h. 又 2 2 h 22 2 2，所以 h 2 33 ， DE 33 . 在 Rt DB1E 中， B1E ? ?22 2 ? ?33 2 66 . 由面积相等得 66 x2 ? ?22 2 22 x，得 x 12. 6.如图，已知 BAC 90 ，
6、 PC 平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线是 _；与 AP 垂直的直线是_ 解析： PC 平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC. AB AC， AB PC， AC PC C， AB 平面 PAC， 又 AP? 平面 PAC， AB AP，与 AP 垂直的直线是 AB. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： AB， BC， AC AB 7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA 底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 )
7、解析：如图，连接 AC， BD，则 AC BD， PA 底面 ABCD， PA BD. 又 PA AC A， BD 平面 PAC， BD PC， 当 DM PC(或 BM PC)时， 即有 PC 平面 MBD.而 PC? 平面 PCD， 平面 MBD 平面 PCD. 答案： DM PC(或 BM PC 等 ) 8.(2018 福建泉州模 拟 )如图，一张 A4 纸的长、宽分别为 2 2a， 2a， A， B， C， D 分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，使得 P1， P2， P3， P4四点重合为一点 P，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是 _ (写出所有正确命题的序号
8、 ) 该多面体是三棱锥； 平面 BAD 平面 BCD； 平面 BAC 平面 ACD； 该多面体外接球的表面积为 5 a2. 解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故 正确； AP BP， AP CP， BP CP P， AP 平面 BCD，又 AP? 平面 ABD， 平面 BAD 平面 BCD，故 正确；同理可证平面 BAC 平面 ACD，故 正确；该多面体的外接球半径 R 52 a，所以该多面体外接球的表面积为5 a2，故 正确综上，正确命题的序号为 . 答案： 大题常考题点 稳解全解 1.如图，四棱锥 PABCD 中， AP 平面 PCD， AD BC， AB BC12AD， E， F 分别
9、为线段 AD， PC 的中点求证： (1)AP 平面 BEF； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)BE 平面 PAC. 证明： (1)设 AC BE O，连接 OF， EC，如图所示 由于 E 为 AD 的中点， AB BC 12AD， AD BC， 所以 AE BC， AE AB BC， 因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点 又 F 为 PC 的中点，因此在 PAC 中，可得 AP OF. 又 OF? 平面 BEF， AP?平面 BEF.所以 AP 平面 BEF. (2)由题意知 ED BC， ED BC. 所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BE CD. 又
10、 AP 平面 PCD， 所以 AP CD，因此 AP BE. 因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE AC. 又 AP AC A， AP， AC?平面 PAC， 所以 BE 平面 PAC. 2.(2018 广州模拟 )在三棱锥 P ABC 中， PAB 是等边三角形， APC BPC 60. (1)求证： AB PC； (2)若 PB 4， BE PC，求三棱锥 B PAE 的体积 解： (1)证明：因为 PAB 是等边三角形， APC BPC 60 ，所以 PBC PAC，所以 AC BC. 如图，取 AB 的中点 D，连接 PD， CD，则 PD AB， CD AB， 因为 PD CD
11、D， 所以 AB 平面 PDC， 因为 PC?平面 PDC， 所以 AB PC. (2)由 (1)知， AB PC，又 BE PC， AB BE B，所以 PC 平面 ABE，所以 PC AE. 因为 PB 4，所以在 Rt PEB 中， BE 4sin 60 2 3， PE 4cos 60 2，在 RtPEA 中， AE PEtan 60 2 3， 所以 AE BE 2 3， 所以 S ABE 12 AB BE2 ? ?12AB 2 4 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以三棱锥 B PAE 的体积 VB PAE VP ABE 13S AEB PE 134 22 8 23 . 3 (
12、2018 合肥质检 )如图，平面五边形 ABCDE 中， AB CE，且 AE 2， AEC 60 ，CD ED 7， cos EDC 57.将 CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP 3，得到四棱锥 P ABCE. (1)求证： AP 平面 ABCE； (2)记平面 PAB 与平 面 PCE 相交于直线 l，求证： AB l. 证明： (1)在 CDE 中， CD ED 7， cos EDC 57，由余弦定理得 CE 2.连接 AC(图略 )， AE 2， AEC 60 ， AC 2.又 AP 3， 在 PAE 中， PA2 AE2 PE2，即 AP AE.同理， AP
13、AC.而 AC? 平面 ABCE， AE?平面 ABCE， AC AE A，故 AP 平面 ABCE. (2) AB CE，且 CE?平面 PCE， AB?平面 PCE， AB 平面 PCE.又平面 PAB 平面 PCE l， AB l. 4.(2018 山西省重点中学联考 )如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AB 2BC， E， F 分别在线段 AB， CD 上， G， H 在线段 PC 上， EF PA，且 BEBA DFDC PGPC CHCP 14.求证： (1)EH 平面 PAD； (2)平面 EFG 平面 PAC. 证明： (1)如图，在 PD 上取点
14、M，使得 DMDP 14，连接 AM， MH，则 DMDP CHCP 14，所以 MH 34DC， MH CD， 又 AE 34AB，四边形 ABCD 是矩形， 所以 MH AE， MH AE，所以四边形 AEHM 为平行四边形，所以 EH AM， 又 AM? 平面 PAD， EH?平面 PAD，所以 EH 平面 PAD. (2)取 AB 的中点 N，连接 DN，则 NE DF， NE DF， 则四边形 NEFD 为平行四边形，则 DN EF， 在 DAN 和 CDA 中， DAN CDA， ANDA 12 DACD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 DAN CDA， 则 ADN DCA
15、，则 DN AC，则 EF AC， 又 EF PA， AC PA A，所以 EF 平面 PAC， 又 EF? 平面 EFG，所以平面 EFG 平面 PAC. 5.(2018 福州五校联考 )如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形， BAC 90 ， AA1 BC， AA1 AC 2AB 4，且 BC1A1C. (1)求证：平面 ABC1 平面 A1ACC1； (2)设 D 是 A1C1的中点，判断并证明在线段 BB1上是否存在点 E，使得 DE 平面 ABC1.若存在，求三棱锥 E ABC1的体积 解： (1)在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ABB1A1是矩形， AA1 AB，又 AA1 BC， AB BC B， A1A 平面 ABC， A1A AC，又 A1A AC， A1C AC1. 又 BC1 A1C， BC1 AC1 C1， A1C 平面 ABC1， 又 A1C? 平面 A1ACC1， 平面 ABC1 平面 A1ACC1. (2)当 E 为 B1B 的中点时，连接 AE， EC1， DE，如图，取 A1A 的 中点 F，连接 EF， FD， EF AB， DF AC1， 又 EF DF F， AB AC1 A，
