1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十五） 抛 物 线 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 抛物线的定义及其应用 1已知 AB 是抛物线 y2 8x 的一条焦点弦， |AB| 16，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( ) A 3 B 4 C 6 D 8 解析：选 C 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB| x1 x2 p 16，又 p 4，所以 x1 x2 12，所以点 C 的横坐标是 x1 x22 6. 2设抛物线 y2 12x 上一点 P 到 y 轴的距离是 1，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A 3 B 4 C 7 D 13 解析：选 B 依
2、题意，点 P 到该抛物线的焦点的距离等于点 P 到其准线 x 3 的距离，即等于 3 1 4. 3若抛物线 y2 2x上一点 P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P的坐标为 ( ) A.? ?14， 22 B.? ?14， 1 C.? ?12， 22 D.? ?12， 1 解析：选 A 设抛物线的顶点为 O，焦点为 F， P(xP， yP)，由抛物线的定义知，点 P 到准线的距离即为点 P 到焦点的距离，所以 |PO| |PF|，过点 P 作 PM OF 于点 M(图略 )，则 M为 OF 的中点，所以 xP 14，代入 y2 2x，得 yP 22 ，所以 P? ?14， 22 . 4已知
3、抛物线 y2 2px 的焦点 F 与双曲线 x27y29 1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x轴的交点为 K，点 A 在抛物线上，且 |AK| 2|AF|，则 AFK 的面积为 ( ) A 4 B 8 C 16 D 32 解析：选 D 由题可知抛物线焦点坐标为 F(4,0)过点 A 作直线 AA 垂直于抛物线的准线，垂足为 A ，根据抛物线定义知， |AA| |AF|，在 AA K 中， |AK| 2|AA| ，故 KAA 45 ，所以直线 AK 的倾斜角 为 45 ，直线 AK 的方程为 y x 4，代入抛物线方程 y2 16x 得 y2 16(y 4)，即 y2 16y 64 0，解得 y
4、 8， x 4.所以 AFK 为直角三角形，故 AFK 的面积为 1288 32. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5已知 P 为抛物线 y2 4x 上一个动点， Q 为圆 x2 (y 4)2 1 上一个动点，那么点 P到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 ( ) A 2 5 1 B 2 5 2 C. 17 1 D. 17 2 解析：选 C 由抛 物线定义可知，点 P 到准线的距离可转化为其到焦点 F 的距离，即求|PQ| |PF|的最小值设圆的圆心为点 C，因为 |PQ| PC| 1，所以 |PQ| |PF| PC| 1 |PF| FC| 1 17 1，故选 C. 6
5、抛物线 y2 2px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p _. 解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为 p2，则 p2 1，解得 p 2. 答案： 2 7 (2018 河南三门峡模拟 )过抛物线 y2 4x 的焦点 F 且倾斜角为 4 的直线交抛物线于A， B 两点， |FB| |FA| _. 解析：抛物线 y2 4x 的焦点 F(1,0)，准线为 x 1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? y x 1，y2 4x， 可得 x2 6x 1 0，解得 x1 3 2 2， x2 3 2 2， 由抛物线的定义可得 |FA| x1 1 4 2
6、 2， |FB| x2 1 4 2 2，则 |FB| |FA| 4 2. 答案： 4 2 对点练 (二 ) 抛物线的标准方程及性质 1抛物线 y2 2px(p0)的准线截圆 x2 y2 2y 1 0 所得弦长为 2，则 p ( ) A 1 B 2 C 4 D 6 解析 ： 选 B 抛物线 y2 2px(p0)的准线为 x p2， 而圆化成标准方程为 x2 (y 1)2 2， 圆心 M(0,1)， 半径 r 2， 圆心到准线的距离为 p2， 所以 ? ?p2 2 ? ?22 2 ( 2)2， 解得 p 2. 2 设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 4x 的焦点， A 是抛物线上的一点， F
7、A 与 x 轴正方向的夹角为 60 ，则 OAF 的面积为 ( ) A. 32 B 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = C. 3 D 1 解析：选 C 过点 A 作 AD x 轴于点 D，令 |FD| m，则 |FA| 2m,2 m 2m， m 2，所以 |AD| 2 3，所以 S OAF 1212 3 3. 3直线 l 过抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点 F，且与 C 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点M 的坐标为 (3,2)，则抛物线 C 的方程为 ( ) A y2 2x 或 y2 4x B y2 4x 或 y2 8x C y2 6x 或 y2 8x D y2 2x 或 y
8、2 8x 解析：选 B 由题可得直线 l 的方程为 y k? ?x p2 ，与抛物线方程 C： y2 2px(p0)联立，得 k2x2 k2px 2px k2p24 0. AB 的中点为 M(3,2)， ? p2 pk2 3，2 k? ?3 p2 ，解得 k 1或 k 2， p 2 或 p 4， 抛物线 C 的方程为 y2 4x 或 y2 8x. 4已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2， y0)，若点 M到该抛物线焦点的距离为 3，则 |OM| ( ) A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 解析：选 B 设抛物线方程为 y2 2px(p0)，则点 M(2
9、， 2 p)，焦点为 ? ?p2， 0 . 点 M到该抛物线焦点的距离为 3， 2 p2 3，解得 p 2. |OM| 4 8 2 3. 5某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支 柱支撑，则其中最长支柱的长为 _米 解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为 x2 2py(p0)， 依题意知，点 P(10， 4)在抛物线上， 100 2p( 4)， 2p 25，即抛物线方程为 x2 25y. 每 4 米需用一根支柱支撑， 支柱横坐标分别为 6、 2、 2、 6. 由图知， AB 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为 (2， yB)，代入 x2 25y，
10、得 yB 425， |AB| 4 425 3.84，即最长支柱的长为 3.84 米 答案： 3.84 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6抛物线 x2 2py(p 0)的焦点为 F，其准线与双曲线 x23y23 1 相交于 A， B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p _. 解析：在等边三角形 ABF 中， AB 边上的高为 p， AB2 33 p， 所以 B? ? 33 p， p2 .又因为点 B 在双曲线上，故p233p243 1，解得 p 6. 答案： 6 7已知 F1， F2分别是双曲线 3x2 y2 3a2(a0)的左、右焦点， P 是抛物线 y2 8ax 与双曲线的一个交点，若
11、 |PF1| |PF2| 12，则抛物线的准线方程为 _ 解析：将双曲线方程化为标准方程得 x2a2y23a2 1，则 F1( 2a,0)， F2(2a,0) 抛物线的准线为 x 2a，联立? x2a2y23a2 1，y2 8ax，得 x 3a(x a3舍去 )，即点 P 的横坐标为 3a. 而由? |PF1| |PF2| 12，|PF1| |PF2| 2a， 得 |PF2| 6 a， |PF2| 3a 2a 6 a，得 a 1， 抛物线的准线方程为 x 2. 答案： x 2 大题综合练 迁移贯通 1已知抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上
12、方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B， OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过点 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标 解： (1)抛物线 y2 2px 的准线为 x p2，于是 4 p2 5， p 2， 抛物线方程为 y2 4x. (2)由 (1)知点 A 的坐标是 (4,4)， 由题意得 B(0,4)， M(0,2) 又 F(1,0)， kFA 43. MN FA， kMN 34. FA 的方程为 y 43(x 1)， MN 的方程为 y 34x 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立? y 43 x ，
13、y 34x 2，解方程组得 x 85， y 45， 点 N 的坐标为 ? ?85， 45 . 2已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2，y2)(x1x2)两点，且 |AB| 9. (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC OA OB ，求 的值 解： (1)由题意得直线 AB 的方程为 y 2 2? ?x p2 ， 与 y2 2px 联立， 消去 y 有 4x2 5px p2 0，所以 x1 x2 5p4. 由抛物线定义得 |AB| x1 x2 p 5p4 p 9， 所以 p 4，从而该抛物
14、线的方程为 y2 8x. (2)由 (1)得 4x2 5px p2 0， 即 x2 5x 4 0，则 x1 1， x2 4， 于是 y1 2 2， y2 4 2， 从而 A(1， 2 2)， B(4,4 2) 设 C(x3， y3)，则 OC (x3， y3) (1， 2 2) (4， 4 2) (4 1,4 2 2 2) 又 y23 8x3，所以 2 2(2 1)2 8(4 1)， 整理得 (2 1)2 4 1，解得 0 或 2. 故 的值为 0 或 2. 3.如图，已知抛物线 C： y2 2px(p 0)，焦点为 F，过点 G(p,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A， M 两点，设 A(
15、x1， y1)， M(x2， y2) (1)若 y1y2 8，求抛物线 C 的方程； (2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG交抛物线 C 于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 解： (1)设直线 AM 的方程为 x my p，代入 y2 2px 得 y2 2mpy 2p2 0， 则 y1y2 2p2 8，得 p 2. 抛物线 C 的方程为 y2 4x. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明：设 B(x3， y3)， N(x4， y4) 由 (1)可知 y3y4 2p2， y1y3 p2. 又直线 AB 的斜率 kAB y3 y1x3 x1 2py1 y3， 直线 MN 的斜率 kMN y4 y2x4 x2 2py2 y4， kABkMN y2 y4y1 y3 2p2y1 2p2y3y1 y3 2p2y1y3 y1 y3y1 y3 2. 故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值
