1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 本节主要包括 2 个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义 . 突破点 (一 ) 导数的运算 基本知识 1函数 y f(x)在 x x0处的导数 称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 lim x0 y x lim x0 f x0 x f x0 x 为函数 y f(x)在 x x0处的导数 ，记作 f( x0)或 y| x x0， 即 f( x0) lim x0 y x lim x0 f x0 x f x0 x . 2函数 f(x)的导函数 称函数 f( x) lim x0 f x x f x x
2、 为 f(x)的导函数 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x) c (c 为常数 ) f( x) 0 f(x) x ( Q*) f( x) x 1 f(x) sin x f( x) cos_x f(x) cos x f( x) sin_x f(x) ex f( x) ex f(x) ax (a0， a1) f( x) axln_a f(x) ln x f( x) 1x f(x) logax (a0， a1) f( x) 1xln a 4.导数运算法则 (1)f(x) g(x) f( x) g( x)； (2)f(x) g(x) f( x)g(x) f(x
3、)g( x)； (3)? ?f xg x f x g x f x g xg x 2 (g(x)0) 5复合函数的导数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为 yx yu ux ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 基本能力 1判断题 (1)f( x0)与 (f(x0) 的计算结果相同 ( ) (2)求 f( x0)时，可先求 f(x0)再求 f( x0) ( ) (3)f( x0)是导函数 f( x)在 x x0处的函数值 ( ) (4)? ?sin 3 cos 3.( )
4、(5)若 (ln x) 1x，则 ? ?1x ln x ( ) (6)函数 f(x) sin( x)的导数为 f( x) cos x ( ) (7)y cos 3x 由函数 y cos u， u 3x 复合而成 ( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2填空题 (1)已知 f(x) 13 8x 2x2， f( x0) 4，则 x0 _. 解析： f( x) 8 4x， f( x0) 8 4x0 4，解得 x0 3. 答案： 3 (2)函数 y ln xex 的导函数为 _ 答案： y 1 xln xxex (3)已知 f(x) 2sin x x，则 f ? ?
5、4 _. 解析： f(x) 2sin x x， f( x) 2cos x 1，则 f ? ? 4 2cos 4 1 2 1. 答案： 2 1 全析考法 导数的运算 典例 (1)函数 f(x) (x 1)2(x 3)，则其导函数 f( x) ( ) A 3x2 2x B 3x2 2x 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 3x2 x D 3x2 x 5 (2)(2018 钦州模拟 )已知函数 f(x) xln x，则 f(1) f(4)的值为 ( ) A 1 8ln 2 B 1 8ln 2 C 8ln 2 1 D 8ln 2 1 (3)已知函数 f(x) sin xcos cos xsin
6、1(00，所以 2 1x0)的一条切线的斜率为12，由 y 12x3x12，得 x 3，故选 A. 4.考点三 (2018 东城期末 )若直线 y x 2 与曲线 y ex a 相切，则 a 的值为( ) A 3 B 2 C 1 D 4 解析：选 A 由于 y ( ex a) ex a，令 ex a 1，得切点的横坐标为 x a，所以切点为 ( a， 1)，进而有 ( a) 2 1，故 a 3. 5.考点三 (2018 西安一模 )若曲线 y ex aex(a0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是 ? ? 3 ， 2 ，则 a ( ) A.112 B.13 C.34 D 3 解析：选 C
7、y ex aex， y ex aex在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是?3 ，2 ， ex aex 3，由 a0 知， ex aex2 a?当且仅当 ex aex时等号成立 ，故 2 a 3，故 a 34，故选 C. 全国卷 5 年真题集中演练 明规律 1 (2014 全国卷 )设曲线 y ax ln(x 1)在点 (0,0)处的切线方程为 y 2x，则 a( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 D y a 1x 1，由题意得 y| x 0 2，即 a 1 2，所以 a 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 (2016 全国卷 )若直线 y kx b 是曲线 y ln x
8、2 的切线，也是曲线 y ln(x1)的切线，则 b _. 解析：易得 (ln x 2) 1x， ln(x 1) 1x 1.设曲线 y ln x 2 上的切点横坐标为 x1，曲线 y ln(x 1)上的切点横坐标为 x2，则 y ln x 2 的切线方程为： y 1x1 x ln x1 1， y ln(x 1)的切线方程为： y 1x2 1x ln(x2 1) x2x2 1.根据题意，有? 1x1 1x2 1，ln x1 1 x2 x2x2 1，解得 x1 12， x2 12， b ln x1 1 1 ln 2. 答案： 1 ln 2 3 (2016 全国卷 )已知 f(x)为偶函数，当 x0
9、 时， f(x) f( x) ln x 3x， 所以当 x0 时， f( x) 1x 3，则 f(1) 2. 所以 y f(x)在点 (1， 3)处的切线方程为 y 3 2(x 1)，即 y 2x 1. 答案： y 2x 1 课时达标检测 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 导数的运算 1 (2018 泉州质检 )设函数 f(x) x(x k)(x 2k)，则 f( x) ( ) A 3x2 3kx k2 B x2 2kx 2k2 C 3x2 6kx 2k2 D 3x2 6kx k2 解析：选 C 法一： f(x) x(x k)(x 2k)， f( x) (x k)(x 2k) x(x k
10、)(x 2k) (x k)( x 2k) x(x 2k) x(x k) 3x2 6kx 2k2，故选 C. 法二：因为 f(x) x(x k)(x 2k) x3 3kx2 2k2x，所以 f( x) 3x2 6kx 2k2，故选 C. 2 (2018 泰安一模 )给出下列结论： =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 y log2x，则 y 1xln 2； 若 y 1x，则 y 12x x； 若 f(x) 1x2，则 f(3) 227； 若 y ax(a0)，则 y axln a其中正确的个 数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 D 根据求导公式可知 正确；若 y 1x x?1
11、2 ，则 y 12x?32 12x x，所以 正确；若 f(x) 1x2，则 f( x) 2x 3，所以 f(3) 227，所以 正确；若 y ax(a0)，则 y axln a，所以 正确因此正确的结论个数是 4，故选 D. 3若函数 y xm的导函数为 y 6x5，则 m ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析：选 C 因为 y xm，所以 y mxm 1，与 y 6x5相比较，可得 m 6. 4已知函数 f(x) xex(e 是自然对数的底数 )，则其导函数 f( x) ( ) A.1 xex B.1 xex C 1 x D 1 x 解析：选 B 函数 f(x) xex，则其导函数
12、 f( x) ex xexe2x 1 xex ，故选 B. 5若 f(x) x2 2x 4ln x，则 f (x)0， f( x) 2x 2 4x2x2 2x 4x ，由 f( x)2x2 2x 4x 0，得 0x2， f( x)0 的解集为 (0,2)，故选 B. 6 (2018 信阳模拟 )已知函数 f(x) aex x，若 1f(0)2 ，则实数 a 的取值范围是( ) A.? ?0， 1e B (0,1) C (1,2) D (2,3) 解析：选 B 根据题意， f(x) aex x，则 f( x) (aex) x aex 1，则 f(0) a 1，若 1f(0)2 ，则 1a 12，解得 0a1，所以实数 a 的取值范围为 (0,1)故选
