1、 2020-2021 学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1若复数 z（i 为虚数单位），则|z|（ ） A B1 C5 D 2已知向量 （2，3）， （x，6），且 ，则 x（ ） A9 B9 C4 D4 3高一年级有男生 510 人，女生 490 人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100则在男生中抽取的样本量为（ ） A48 B51 C50 D49 4如图，ABC是水平放置的ABC 的斜二测直观图，ABC为等腰直角
2、三角形，其中 O与 A重合，AB6，则ABC 的面积是（ ） A9 B9 C18 D18 5已知| |6，| |4， 与 的夹角为 60，则（ +2 ）（ 3 ）（ ） A72 B72 C84 D84 6某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是 4 本不同的红色经典小说类书籍，另一类是 2 本不同的党史类书籍，两类书籍合计共 6 本现刘老师从这 6 本书中随机抽取 2 本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（ ） A B C D 7如图，已知 ， ，任意点 M 关于点 A 的对称点为 S，点 M 关于点 B 的对称点为 N，
3、则向量（ ） A（ + ） B2（ + ） C（ ） D2（ ） 8 已知图 1 是棱长为 1 的正六边形 ABCDEF， 将其沿直线 FC 折叠成如图 2 的空间图形 FAECBD， 其中 AE，则空间几何体 FAECBD的体积为 （ ） A B C D 二、选择题：本二、选择题：本题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9某士官参加军区射击比赛，打了 6 发子弹，报靶数据如下
4、：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（ ） A这组数据的平均数是 8 B这组数据的极差是 4 C这组数据的中位数是 8.5 D这组数据的方差是 2 10已知复数 zcos+（sin）i（R）（i 为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A当 时，复平面内表示复数 z 的点位于第二象限 B当 时，z 为纯虚数 C|z|最大值为 Dz 的共轭复数为 cos+（sin）i（R） 11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 O1O2，在轴截面 ABCD 中，ABADBC2cm，且 CD2AB，下列说法正确的有（ ） A该圆台轴截面 ABCD 面积为 3cm2 B该圆台
5、的体积为cm3 C该圆台的母线 AD 与下底面所成的角为 30 D沿着该圆台表面，从点 C 到 AD 中点的最短距离为 5cm 12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 O 为ABC 所在平面内点，满足 x+y+z0，下列说法正确的有（ ） A若 xyz1，则点 O 为ABC 的重心 B若 xyz1，则点 O 为ABC 的外心 C若 xa，yb，zc，则点 O 为ABC 的内心 D若 xa，yb，zc，则点 O 为ABC 的垂心 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13有 10 种不同的零食，每 100 克
6、可食部分包含的能量（单位：k）如下： 100，120，125，165，430，190，175，234，425，310 这 10 种零食每 100 克可食部分的能量的第 60 百分位数为 14天气预报元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 15如图，在三棱锥 VABC 中，VAVBABACBC4，VC2，则二面角 AVCB 的余弦值为 16如图，ABC 是边长为 1 的正三角形，M，N 分别为线段 AC，AB 上一点，满足 AM： MC1：2，AN：NB1：3，CN 与 BM 的交
7、点为 P，则线段 AP 的长度为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17现有两个红球（记为 R1，R2），两个白球（记为 W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球 （1）写出试验的样本空间； （2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率 18已知角 A 是ABC 的内角，若 （sinA，cosA）， （1，1） （1）若，求角 A 的值； （2）设 f（x），当 f（x）取最大值时，求 在 上的投影向量（用坐标表示） 19如图，直三棱柱 ABCABC中，D 是 AB 的
8、中点 （1）求证：直线 BC平面 ACD； （2）若 ACCB，求异面直线 AB与 CD 所成角的大小 202021 年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取 40 辆汽车进行车速调查，将这 40 辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段90，95），95，100），100，105），105，110），110，115），115，120，得到如图的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估计出这 40 辆汽车的平均车速的中位数； （2）现从平均车速在区间90，100）的车辆中任意抽取 2 辆汽车，求抽取的 2 辆汽车的平均车速都在区间95，100）上的
9、概率； （3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间115，120的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续 2 辆汽车都收到短信提醒的概率？ 21如图，PA 垂直于O 所在的平面，AC 为O 的直径，AB3，BC4，PA3，AEPB，点 F 为线段 BC 上一动点 （1）证明：平面 AEF平面 PBC； （2）当点 F 移动到 C 点时，求 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值 22为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成 3个功能区：BNC 区域为荔枝
10、林和放养走地鸡，CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘MNC 周围筑起护栏已知 AC40m，BC40m，ACBC，MCN30 （1）若 AM20m 时，求护栏的长度（MNC 的周长）； （2）若鱼塘MNC 的面积是“民宿”CMA 的面积的倍，求ACM； （3）当ACM 为何值时，鱼塘MNC 的面积最小，最小面积是多少？ 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1若复数 z（i 为虚数单位），则|z|（ ） A B1 C5 D 解：z，|z|， 故选：A 2已
11、知向量 （2，3）， （x，6），且 ，则 x（ ） A9 B9 C4 D4 解：， ，解得 x9 故选：B 3高一年级有男生 510 人，女生 490 人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100则在男生中抽取的样本量为（ ） A48 B51 C50 D49 解：高一年级共有 510+4901000 人，所以男生抽取的人数为人 故选：B 4如图，ABC是水平放置的ABC 的斜二测直观图，ABC为等腰直角三角形，其中 O与 A重合，AB6，则ABC 的面积是（ ） A9 B9 C18 D18 解：在斜二测直观图中，由ABC为等腰直角三角形，AB6， 可得 AC， 还原原图形如图： 则
12、AB6，AC6，则 故选：D 5已知| |6，| |4， 与 的夹角为 60，则（ +2 ）（ 3 ）（ ） A72 B72 C84 D84 解：| |6，| |4， 与 的夹角为 60， ， 则（ +2 ）（ 3 ） 361261672 故选：A 6某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是 4 本不同的红色经典小说类书籍，另一类是 2 本不同的党史类书籍，两类书籍合计共 6 本现刘老师从这 6 本书中随机抽取 2 本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（ ） A B C D 解：从 6 本书中随机抽取 2 本，共有种取法，
13、若两本书来自同一类书籍则有种取法， 所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是 故选：C 7如图，已知 ， ，任意点 M 关于点 A 的对称点为 S，点 M 关于点 B 的对称点为 N，则向量（ ） A（ + ） B2（ + ） C（ ） D2（ ） 解： ， ， 任意点 M 关于点 A 的对称点为 S， 点 M 关于点 B 的对称点为 N， AB 是MNS 的中位线， 22（）2（ ） 故选：D 8 已知图 1 是棱长为 1 的正六边形 ABCDEF， 将其沿直线 FC 折叠成如图 2 的空间图形 FAECBD， 其中 AE，则空间几何体 FAECBD的体积为 （ ） A B C D 解：如图，
14、过 A作 AGCF，垂足为 G，连接 EG，则 EGCF， 过 B作 BHCF，垂足为 H，连接 DH，则 DHCF， 可得平面 AGE平面 BHD，即三棱柱 AGEBHD为直三棱柱 AF1，AFG60，可得， 同理求得， 又 AE，AG2+EG2AE2， 空间几何体FAECBD的体积为V 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9某士官参加
15、军区射击比赛，打了 6 发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（ ） A这组数据的平均数是 8 B这组数据的极差是 4 C这组数据的中位数是 8.5 D这组数据的方差是 2 解：对于 A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）8，故 A 正确； 对于 B，这组数据的极差是 1064，故 B 正确； 对于 C，这组数据从小到大为 6，7，8，8，9，10， 这组数据的中位数是 8，故 C 错误； 对于 D，这组数据的方差是 S2（78）2+（88）2+（98）2+（108）2+（68）2+（88）2，故 D 错误 故选：AB 10已知复数 zcos
16、+（sin）i（R）（i 为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A当 时，复平面内表示复数 z 的点位于第二象限 B当 时，z 为纯虚数 C|z|最大值为 Dz 的共轭复数为 cos+（sin）i（R） 解：对于 A，当 时，zcos（）+sin（）i，复平面内表示复数 z 的点位于第四象限，故 A 错误； 对于 B，当 时，zcos+（sin）i，为纯虚数，故 B 正确； 对于 C，最大值为，故 C 正确； 对于 D，z 的共轭复数为 cos（sin）i，故 D 错误 故选：BC 11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 O1O2，在轴截面 ABCD 中，ABADBC2cm，
17、且 CD2AB，下列说法正确的有（ ） A该圆台轴截面 ABCD 面积为 3cm2 B该圆台的体积为cm3 C该圆台的母线 AD 与下底面所成的角为 30 D沿着该圆台表面，从点 C 到 AD 中点的最短距离为 5cm 解：由 ABADBC2cm，且 CD2AB，可得 CD4，高 O1O2， 则圆台轴截面 ABCD 面积为（2+4）3cm2，故 A 正确； 圆台的体积为 V（1+4+2）cm3，故 B 正确； 圆台的母线 AD 与下底面所成的角为ADO1，其正弦值为， 所以ADO160，故 C 错误； 由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为 4cm，底面半径为 2cm， 侧面展开图的圆心角为 ，
18、 设 AD 的中点为 P，连接 CP，可得COP90，OC4，OP2+13， 则 CP5，所以沿着该圆台表面， 从点 C 到 AD 中点的最短距离为 5cm，故 D 正确 故选：ABD 12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 O 为ABC 所在平面内点，满足 x+y+z0，下列说法正确的有（ ） A若 xyz1，则点 O 为ABC 的重心 B若 xyz1，则点 O 为ABC 的外心 C若 xa，yb，zc，则点 O 为ABC 的内心 D若 xa，yb，zc，则点 O 为ABC 的垂心 解：若 xyz1 则，取 AC 中点 D，连接 OD， O 在ABC 的中线 BD
19、上，同理可得 O 在其它两边的中线上， O 是ABC 的重心 若 xa，yb，zc，则有， 延长 CO 交 AB 于 D，则， a（）+b（）+c ， 设k，则（ka+kb+c）+（a+b） ， 与共线，与，不共线， ka+kb+c0，a+b ， ， CD 为ACB 的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线 O 是ABC 的内心 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13有 10 种不同的零食，每 100 克可食部分包含的能量（单位：k）如下： 100，120，125，165，430，190，175，234，425，31
20、0 这 10 种零食每 100 克可食部分的能量的第 60 百分位数为 212 解：根据题意，将 10 个数据从小到大排列： 100，120，125，165，175，190，234，310，425，430； 1060%6， 则该组数据的第 60 百分位数为212， 故答案为：212 14天气预报元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 0.38 解：根据题意，设事件 A 表示甲地下雨，事件 B 表示乙地下雨， P（A）0.2，P（B）0.3， 甲，乙两地只有一个地方降雨的概率 PP
21、（A ）+P（ B）0.2（10.3）+（10.2）0.30.38； 故答案为：0.38 15如图，在三棱锥 VABC 中，VAVBABACBC4，VC2，则二面角 AVCB 的余弦值为 解：取 VC 的中点 D，连接 AD、BD， 因为 VAVBACBC4，所以 ADVC，BDVC， 所以ADB 即为二面角 AVCB 的平面角， 因为 VAVBACBC4，VC2，所以 ADBD， 而 AB4，在ABD 中，由余弦定理可得 cosADB， 故答案为： 16如图，ABC 是边长为 1 的正三角形，M，N 分别为线段 AC，AB 上一点，满足 AM：MC1：2，AN：NB1：3，CN 与 BM 的
22、交点为 P，则线段 AP 的长度为 解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0）， 所以直线 BM 的方程为 y（x1），即x+5y0， 直线 CN 的方程为 y（x），即 4x4y0， 联立，解得，即 P（，）， 所以 AP 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17现有两个红球（记为 R1，R2），两个白球（记为 W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球 （1）写出
23、试验的样本空间； （2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率 解：（1）两个红球（记为 R1，R2），两个白球（记为 W1，W2）， 采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球， 则试验的样本空间 （R1，R2），（R1，W1），（R1，W2）， （R2，W1），（R2，W2），（W1，W2） （2）试验的样本空间 （R1，R2），（R1，W1），（R1，W2）， （R2，W1），（R2，W2），（W1，W2），包含 6 个样本点， 其中恰好抽到一个红球一个白球包含 4 个样本点， 恰好抽到一个红球一个白球的概率 P 18已知角 A 是ABC 的内角，若 （sinA，cosA）， （1，1） （1）若
24、，求角 A 的值； （2）设 f（x），当 f（x）取最大值时，求 在 上的投影向量（用坐标表示） 解：（1）角 A 是ABC 的内角，0A， 又 （sinA，cosA）， （1，1）且， ，即 2（sinA+）0， sin（A+）0， 0A，A+， 则 A+，即 A； （2）f（x）， A，要使 f（x）取得最大值，则，即 A （，cos）（，）， 在 上的投影向量为（1，1）（2，2） 19如图，直三棱柱 ABCABC中，D 是 AB 的中点 （1）求证：直线 BC平面 ACD； （2）若 ACCB，求异面直线 AB与 CD 所成角的大小 解：（1）证明：连接 AC，交 AC 于点 O，连
25、接 DO， 直三棱柱 ABCABC中，ACCA是矩形，O 是 AC中点， D 是 AB 的中点，ODBC， BC平面 ACD，OD平面 ACD， 直线 BC平面 ACD； （2）解法一：ACCB，D 是 AB 的中点，CDAB， 直三棱柱 ABCABC中，AA平面 ABC， CD平面 ABC，AACD， ABAAA，CD平面 ABBA， AB平面 ABBA，ABCD， 异面直线 AB与 CD 所成角的大小为 90 解法二：ACCB，D 是 AB 的中点，CDAB， 以 D 为原点，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 CDc，A
26、Ba，AAb， 则 A（，0，0），B（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0）， （a，0，b），（0，c，0）， 0，ABCD， 异面直线 AB与 CD 所成角的大小为 90 202021 年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取 40 辆汽车进行车速调查，将这 40 辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段90，95），95，100），100，105），105，110），110，115），115，120，得到如图的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估计出这 40 辆汽车的平均车速的中位数； （2）现从平均车速在区间90，100）的车
27、辆中任意抽取 2 辆汽车，求抽取的 2 辆汽车的平均车速都在区间95，100）上的概率； （3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间115，120的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续 2 辆汽车都收到短信提醒的概率？ 解： （1） 设平均车速的中位数的估值为 x， 则 0.015+0.025+0.045+0.06 （x105.0）0.5 x107.5 故平均车速的中位数为 107.5 （2）车速在90，95）内的有 0.014052，车速在95，100）的有 0.024054， 故
28、抽取的 2 辆汽车的平均车速都在区间95，100）上的概率 （3）设事件 A 为“汽车收到短信提醒”，则， 汽车的速度不受影响， 连续两辆汽车都收到短信体现的概率 P 21如图，PA 垂直于O 所在的平面，AC 为O 的直径，AB3，BC4，PA3，AEPB，点 F 为线段 BC 上一动点 （1）证明：平面 AEF平面 PBC； （2）当点 F 移动到 C 点时，求 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值 【解答】 （1） 证明： 因为 PA 垂直于O 所在的平面， 即 PA平面 ABC， BC平面 ABC， 所以 PABC，又 AC 为O 的直径，所以 ABBC， 因为 PAABA，所以 BC
29、平面 PAB， 又 AE平面 PAB，所以 BCAE， 因为 AEPB，BCPBB， 所以 AE平面 PBC，又 AE平面 AEF， 所以平面 AEF平面 PBC （2）解：因为 AB3，PA3，所以 PB3， 又 AEPB，所以 AE， 由 AB2BEPB，可得 BE， 如图，过点 E 作 EGPA 交 AB 于点 G，则，可得 EG， 又 BC4，所以 EC， 所以 SABCABBC6，SAECAEEC， 设点 B 到平面 AEC 的距离为 h， 由 VEABCVBAEC，可得SABCEGSAECh， 解得 h， 所以当点 F 移动到 C 点时，PB 与平面 AEF 所成角的正弦值为 22
30、为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成 3个功能区：BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘MNC 周围筑起护栏已知 AC40m，BC40m，ACBC，MCN30 （1）若 AM20m 时，求护栏的长度（MNC 的周长）； （2）若鱼塘MNC 的面积是“民宿”CMA 的面积的倍，求ACM； （3）当ACM 为何值时，鱼塘MNC 的面积最小，最小面积是多少？ 解：（1）AC40m，BC40m，ACBC， tanB， B30， A60， AB2AC80， 在ACM 中
31、， 由余弦定理可得 CM2AC2+AM22ACAMcosA1600+400240201200， 则 CM20， AC2AM2+CM2， CMAB， MCN30， MNCMtan3020， CN2MN40， 护栏的长度（MNC 的周长）为 20+40+2060+20； （2）设ACM（060）， 因为鱼塘MNC 的面积是“民宿”CMA 的面积的倍， 所以，即 CN40sin， 在CAN 中，由，得 CN， 从而 40sin，即 sin2， 由 02120， 得 245，所以 22.5，即ACM22.5 （3）设ACM（060），由（2）知 CN， 又在ACM 中，由，得 CM， 所以 SCMN， 所以当且仅当 2+6090，即 15时，CMN 的面积取最小值为km2（16 分）
