1、 2020-2021 学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知向量(2,1)AB = ，(3, )ACt=，| 1BC = ，则AB AC= （ ） A.2 B.3 C.7 D.8 2 在ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 若 c2acosB， 则ABC 的形状是 （ ） A锐角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角
2、形 D直角三角形 3某水平放置的OAB 用斜二测画法得到如图所示的直观图OAB，若 OBAB，则OAB 中（ ） AOBA90 BOBBA COBOA DOBOA 4上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系图 2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341
3、 2357 2413 2428 2444 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000年 公元前 4000年 公元前 6000年 公元前 8000年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（ ） A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 5已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 m，mn，n，则 B若 mn，n，则 m C若 mn，m，n，则 D若 m，n，m，n，
4、则 62020 年 4 月 21 日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图已知立定跳远 200cm 以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ） A72.5%，5% B78.75%，10% C72.5%，10% D78.75%，5% 7气象意义
5、上从春季进入夏季的标志为“连续 5 天的日平均温度均不低于 22”现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：）： 甲地：5 个数据的中位数为 24，极差不超过 2； 乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； 丙地：5 个数据中有 1 个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8 其中肯定进入夏季的地区有（ ） A B C D 8正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（PlatonicSolids）某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳正二十面体是由 20 个等边
6、三角形所组成的正多面体已知多面体满足：顶点数棱数+面数2，则正二十面体的顶点的个数为（ ） A30 B20 C12 D10 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9.对于任意非零向量a，b，c，下列命题正确的是（ ） A.若/a b ，/b c ，则/a c B.若a bb c= ，则ac= C.若ab=，bc=，则ac= D.若abab=+，则 0ab= 10
7、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，则下列结论正确的是（ ） AsinA：sinB：sinC4：5：6 BABC 是钝角三角形 CABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 D若 c6，则ABC 外接圆半径为8 77 11为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取 200 名学生，收集了他们一年内的课 外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 阅读量 人数 学生类别 0，10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，+） 性别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学
8、段 初中 25 36 44 11 高中 下面推断合理的是（ ） A这 200 名学生阅读量的平均数可能是 26 本 B这 200 名学生阅读量的 75%分位数在区间30，40）内 C这 200 名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20，30）内 D这 200 名学生中的初中生阅读量的 25%分位数可能在区间20，30）内 12蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 10928，这样的设计含有深刻的数学原理 我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构， 著有 谈谈与蜂房结构有关的数学问题，用数学
9、的眼光去看蜂巢的结构，如图 1在正六棱柱ABCDEFABCDE的三个顶点 A，C，E 处分别用平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 MABF，OBCD，NDEF，平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN交于点 P，就形成了蜂巢的结构如图 2，设平面 PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为 ，则下列结论正确的有（ ） A异面直线 DO 与 FP 所成角的大小为 10928 BBFMN CB，M，N，D 四点共面 D3costan54 443= 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卡对
10、应题号的位置请将答案填在答题卡对应题号的位置上上.答错位答错位置，书写不清，模棱两可均不得分置，书写不清，模棱两可均不得分. 13.将函数3sin 24yx=+的图象向右平移6个单位长度，则平移后函数图象的解析式为_；平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 14新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 150 的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生 660 人，高三年级共有 540 人，抽取的样本中高二年级有 50 人，则该校高二学生总数
11、是 15若cos222sin4= ，则 cos+sin 16如图，在四边形 ABCD 中，ABCD1，点 M，N 分别是边 AD，BC 的中点，延长 BA和 CD 交 NM 的延长线于不同的两点 P，Q，则()PQABDC 的值为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99 乙：110，115，90，85，75，
12、115，110 （1）这种抽样方法是哪一种？ （2）估计甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 18空间四边形 PABC 中，PA，PB、PC 两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为 AB 的中点 （1）求 BC 与平面 PAB 所成的角； （2）求证：AB平面 PMC 19.已知0,2，,2，1cos3= ，7sin()9+=. （1）求tan2的值； （2）求sin的值. 20. 已 知ABC中 ，A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c且2ABAB ACBA BCCA CB=+ . （1）判断ABC 的形状，并求 sinA+sinB 的取值范围； （2）如
13、图，三角形 ABC 的顶点 A、C 分别在 l1、l2上运动，AC2，BC1，若直线 l1直线 l2，且相交于点 O，求 O，B 间距离的取值范围 212021 年广东省高考实行“3+1+2”模式“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考； “1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择 1 科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理 4 个科目中选择 2 科，共计 6 个考试科目并规定：化学、生物、政治、地理 4 个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A，B+，B，C+，C，D+，D，E 八个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所
14、占比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91，100，81，90，71，80，61，70，51，60，41，50，31，40，21，30八个分数区间，得到考生的等级成绩 假设小明转换后的等级成绩为 x 分，则69617061 5861xx=，所以 x63.4563（四舍五入取整），小明最终成绩为 63 分 某校 2019 级学生共 1000 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级 A 的学生原始成绩统计如表： 成绩
15、 93 91 90 88 87 86 85 84 83 82 人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7 （1）求化学获得等级 A 的学生等级成绩的平均分（四舍五入取整数）； （2）从化学原始成绩不小于 90 分的学生中任取 2 名同学，求 2 名同学等级成绩不相等的概率 22如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 G 在棱 D1C1上，且11114DGDC=，点 E、F、M 分别是棱 AA1、AB、BC 的中点，P 为线段 B1D 上一点，AB4 （）若平面 EFP 交平面 DCC1D1于直线 l，求证：lA1B； （）若直线 B1D平面 EFP （i）求三棱锥 B1EFP 的
16、表面积； （ii）试作出平面 EGM 与正方体 ABCDA1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面 EGM 与棱 A1D1交于点 Q，求三棱锥 QEFP 的体积 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知向量（2，1），（3，t），|1，则（ ） A2 B3 C7 D8 解：因为（1，t1）； |1， 12+（t1）212t0； （3，1）， 23+117； 故选：C 2 在ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 若 c2acosB， 则ABC 的形状是 （ ） A锐角
17、三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D直角三角形 解：由正弦定理可得 sin（A+B）2sinAcosB， 由两角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB2sinAcosB， sin（AB）0， 又AB， AB0， 故ABC 的形状为等腰三角形， 故选：B 3某水平放置的OAB 用斜二测画法得到如图所示的直观图OAB，若 OBAB，则OAB 中（ ） AOBA90 BOBBA COBOA DOBOA 解：因为BOA45，所以BOA90， 则OBA90，故选项 A 错误； 设 OBABx，则 OA， 还原后，OB2x，BOA90，OA， 所以 AB， 所以 OBOA，故选项 C
18、 错误，选项 D 正确 故选：D 4上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系图 2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341 2357 2413 2428 2444 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元
19、前2000年 公元前4000年 公元前6000年 公元前8000年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（ ） A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为 ，春秋分日光与垂直线夹角为 ， 则 即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图 3 近似画出如下平面几何图形： 则 tan1.6，tan0.66， tan（）0.457 0.4550.4570.461， 估计该骨笛的大致年代早于公元前 6000 年 故选：D 5已知
20、 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 m，mn，n，则 B若 mn，n，则 m C若 mn，m，n，则 D若 m，n，m，n，则 解：对于 A：由于 m，故直线 m 相当于平面 的法向量，由于 mn，所以 n，由于 n，则 ，故 A 正确； 对于 B：由于 mn，n，则 m 或 m，故 B 错误； 对于 C：当 mn，m，n，则可能 ，故 C 错误； 对于 D：m，n，当 m 和 n 为相交直线时，m，n，则 ，故 D 错误； 故选：A 62020 年 4 月 21 日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”， “野蛮其体魄”就是
21、强身健体青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图已知立定跳远 200cm 以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（ ） A72.5%，5% B78.75%，10% C72.5%，10% D78.75%，5% 解：立定跳远 200cm 以上成绩为及格，255cm 以上成绩为优秀， 由频率分布直方图得立定跳远 200cm 以上的频率为：
22、 1（0.0075020+0.0125020）0.7875， 由频率分布直方图得立定跳远 255cm 以上的频率为： 0.00500200.1， 根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是78.75%和 10% 故选：B 7气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续 5 天的日平均温度均不低于 22”现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：）： 甲地：5 个数据的中位数为 24，极差不超过 2； 乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； 丙地：5 个数据中有 1 个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8
23、 其中肯定进入夏季的地区有（ ） A B C D 解：对于甲地，由于 5 个数据的中位数为 24，若有低于 22，假设取 21，此时极差超过 2， 故假设不成立， 甲地连续 5 天的日平均温度均不低于 22，故甲地肯定进入夏季，故正确， 对于乙地，5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24， 当 5 个数据为 19，20，27，27，27 时，可得其连续 5 天的日平均气温有低于 22， 故乙地不一定进入夏季，故错误， 对于丙地，5 个数据中有 1 个数据是 32，总体均值为 26，若有低于 22，假设取 21， 此时10.8，故假设不成立， 丙地连续 5 天的日平均温度均不低于 22，丙地
24、肯定进入夏季，故正确， 综上所述，正确的为 故选：B 8正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（PlatonicSolids）某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳正二十面体是由 20 个等边三角形所组成的正多面体已知多面体满足：顶点数棱数+面数2，则正二十面体的顶点的个数为（ ） A30 B20 C12 D10 解：解法一、设正二十面体共有 n 个顶点，且每个顶点处都有 5 条棱，有 20 个面， 根据“顶点数棱数+面数2”， 列方程得 nn+202， 解得 n12， 即正二十面体的顶点个数为 12 解法二、由 20
25、个三角形，每个三角形有 3 条边，每条边被用了两次， 所以正二十边形共有棱数为 203230（条）， 根据欧拉公式“顶点数棱数+面数2”， 得正二十面体的顶点个数为 2+302012 故选：C 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9对于任意非零向量 ， ， ，下列命题正确的是（ ） A若，则 B若 ，则 C若，则 D若| | + |，则 0 解：对于 A 选项
26、：因为 为非零向量，则 成立，故 A 正确； 对于 B 选项：若 ，则 或 （），故 B 错误； 对于 C 选项：若，则，故 C 正确； 对于 D 选项： 若| | + |， 即有| |+| |2| |+| |+2， 故有0，故 D 正确； 故选：ACD 10在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，则下列结论正确的是（ ） AsinA：sinB：sinC4：5：6 BABC 是钝角三角形 CABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 D若 c6，则ABC 外接圆半径为 解：（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，可设
27、a+b9t，a+c10t，b+c11t， 解得 a4t，b5t，c6t，t0， 可得 sinA：sinB：sinCa：b：c4：5：6，故 A 正确； 由 c 为最大边，可得 cosC0，即 C 为锐角，故 B 错误； 由 cosA，由 cos2A2cos2A121cosC， 由 2A，C（0，），可得 2AC，故 C 正确； 若 c6，可得 2R，ABC 外接圆半径为，故 D 正确 故选：ACD 11为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取 200 名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 阅读量 人数 学生类别 0，10） 10，20
28、） 20，30） 30，40） 40，+） 性别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学段 初中 25 36 44 11 高中 下面推断合理的是（ ） A这 200 名学生阅读量的平均数可能是 26 本 B这 200 名学生阅读量的 75%分位数在区间30，40）内 C这 200 名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20，30）内 D这 200 名学生中的初中生阅读量的 25%分位数可能在区间20，30）内 解：由图表知， 男生共 7+31+25+30+497 人，女生共 103 人， 这 200 名学生阅读量的平均数为 20.5+25.523.075，故 A 错，
29、 20075%150，这 200 名学生阅读量的 75%分位数是从小到大排序后的第 150 与第 151 个数的平均值， 由表格知第 150 与第 151 个数都在区间30，40）内，故 B 对， 阅读量在区间0，10）内共有 15 人， 若初中生阅读量在区间0，10）内共有 0 人，则其中位数在区间20，30）内， 若初中生阅读量在区间0，10）内共有 15 人，则其中位数在区间20，30）内， 故这 200 名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20，30）内，故 C 对， 当初中生阅读量在区间0，10）内共有 0 人时，（25+36+44+11）25%29， 故这 200 名学生中的初
30、中生阅读量的 25%分位数是从小到大排序后的第 29 与第 30 个数的平均值， 在区间20，30）内，故 D 对， 故选：BCD 12蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 10928，这样的设计含有深刻的数学原理 我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构， 著有 谈谈与蜂房结构有关的数学问题，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图 1在正六棱柱ABCDEFABCDE的三个顶点 A，C，E 处分别用平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 MABF，OBCD，NDEF，平面 B
31、FM，平面 BDO，平面 DFN交于点 P，就形成了蜂巢的结构如图 2，设平面 PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为 ，则下列结论正确的有（ ） A异面直线 DO 与 FP 所成角的大小为 10928 BBFMN CB，M，N，D 四点共面 Dcostan5444 解：A 选项，异面直线所成角的范围为（0，90，故 A 不正确 B 选项，由BDF 与MON 都是边长为的等边三角形，BFMN，因此 B 不正确； C 选项，因为 BDNM，且 BDNM，所以四边形 BMND 是平行四边形，因此 B，M，N，D 四点共面，正确； D：利用第二个图：取 BF 的中点 P，连接 PA，PM，则M
32、PA， 不妨取 AB2，在等腰三角形 ABF 中，BAF120，则 PB，PA1 在这直角三角形 PMB 中，PM costan5444，正确 故选：CD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卡对应题号的位置请将答案填在答题卡对应题号的位置上上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为 y3sin（2x） ；平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x 解：将函数的图象向右平移个单位长度， 则平移后函数图象的解析
33、式为 y3sin（2x+ ）3sin（2x） 令 2xk+，求得 x+，kZ 令 k1，可得平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程为 x， 故答案为：y3sin（2x）；x 14新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 150 的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生 660 人，高三年级共有 540 人，抽取的样本中高二年级有 50 人，则该校高二学生总数是 600 解：高一、高三年级共有 660+5401200 人，设高二年级有 x 人， 则，解得 x600； 故答案为：60
34、0 15若，则 cos+sin 解：由公式 cos2cos2sin2，及等式， 代入， 则 cos+sin 故答案应填 16如图，在四边形 ABCD 中，ABCD1，点 M，N 分别是边 AD，BC 的中点，延长 BA和 CD 交 NM 的延长线于不同的两点 P，Q，则的值为 0 解：设ABC，BCa，BCD，则 A（cos，sin）， B（0，0），C（a，0），D（acos，sin）， M（，），N（，0）， （，），（cos，sin），（cos，sin）， （coscos，sin+sin）， （cos2cos2）+（sin2sin2） （cos2+sin2）+（cos2+sin2）0，
35、又， 0， 故答案为：0 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99 乙：110，115，90，85，75，115，110 （1）这种抽样方法是哪一种？ （2）估计甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：（1）由题意知这个抽样是在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品， 是一个具有
36、相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， 这是一个系统抽样； （2）100，100； ， ， s2甲s2乙 甲车间产品较稳定 18空间四边形 PABC 中，PA，PB、PC 两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为 AB 的中点 （1）求 BC 与平面 PAB 所成的角； （2）求证：AB平面 PMC 解：（1）PCPA，PCPB，PC平面 PAB， BC 在平面 PBC 上的射影是 BP CBP 是 CB 与平面 PAB 所成的角， PBC60，BC 与平面 PBA 的角为 60 证明：（2）PAPB，PBA45，PAPB， PCPA，PCPB，PAPB，PCPC， PACPBC，ABAC，
37、 M 为 AB 的中点 PMAB，CMAB， PMCMM， AB平面 PMC 19已知 （0，），（，），cos，sin（+） （1）求 tan的值； （2）求 sin 的值 解 ： （ 1 ） ， 且 ， ，解得， ， ， （2）， ， 又，故， ， sin sin （ + ） sin （ + ） cos cos （ + ） sin 20已知ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2+ （1）判断ABC 的形状，并求 sinA+sinB 的取值范围； （2）如图，三角形 ABC 的顶点 A、C 分别在 l1、l2上运动，AC2，BC1，若直线 l1直线 l2，且相交于点 O，求
38、O，B 间距离的取值范围 解：（1）， c2cbcosA+cacosB+bacosC， ， c2a2+b2， 为直角三角形， sinA+sinB， ， ， ， sinA+sinB（1，； （2） 简解：不妨设， B（x， y）， 则 x2cos+sin，ycos， ， 212021 年广东省高考实行“3+1+2”模式“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考； “1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择 1 科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理 4 个科目中选择 2 科，共计 6 个考试科目并规定：化学、生物、政治、地理 4
39、 个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A，B+，B，C+，C，D+，D，E 八个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91，100，81，90，71，80，61，70，51，60，41，50，31，40，21，30八个分数区间，得到考生的等级成绩 假设小明转换后的等级成绩为 x 分，则，所以 x63.4563（四舍五入取整），小明最终成绩为 63 分 某校 2019 级学生共 1000 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的
40、等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级 A 的学生原始成绩统计如表： 成绩 93 91 90 88 87 86 85 84 83 82 人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7 （1）求化学获得等级 A 的学生等级成绩的平均分（四舍五入取整数）； （2）从化学原始成绩不小于 90 分的学生中任取 2 名同学，求 2 名同学等级成绩不相等的概率 解：（1）设化学成绩获得等级 A 的学生的原始成绩为 x 分，其等级成绩为 y 分， 由转换公式可得，解得 y， 故原始成绩的平均分为85+86， 则等级成绩的平均分为； （2）化学成绩不小于 90 分的学生共 6 名， 其中 1 名
41、原始成绩为 93 分的学生的等级成绩为 100 分， 1 名原始成绩为 91 分，由转换公式得到其等级成绩为 98 分， 4 名原始成绩为 90 分，由转换公式得到其等级成绩也为 98 分， 任取 2 名同学的所有结果为种， 等级分数不相等的结果有种， 故 2 名同学等级成绩不相等的概率为 22如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 G 在棱 D1C1上，且 D1GD1C1，点 E、F、M 分别是棱 AA1、AB、BC 的中点，P 为线段 B1D 上一点，AB4 （）若平面 EFP 交平面 DCC1D1于直线 l，求证：lA1B； （）若直线 B1D平面 EFP （i）求三棱锥 B
42、1EFP 的表面积； （ii）试作出平面 EGM 与正方体 ABCDA1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面 EGM 与棱 A1D1交于点 Q，求三棱锥 QEFP 的体积 解：（1）在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 因为平面 ABB1A1平面 DCC1D1，平面 EFP平面 ABB1A1EF， 所以 EFl， 因为点 E、F 分别是棱 AA1、AB 的中点， 所以 EFA1B， 所以 lA1B （2）（i）因为直线 B1D平面 EFP，EP平面 EFP， 所以 B1DEP，又因为DAEB1A1E， 所以 DEB1E， 所以 DPB1P， 因为， ， ， 所以三棱锥
43、 B1EFP 的表面积为 （ii）作图步骤如下： 连接 GE，过点 G 作 GHDC 于点 H，连接 HA 并延长交 GE 的延长线于点 I，连接 IM并延长交 AB 于点 J 交 DC 的延长线于点 K， 再连接 GK 交 CC1于点 S，连接 MS 并延长交 B1C1的延长线于点 R，连接 RG 并延长交A1D1于点 Q，再连接 EQ，GS，EJ， 则图中 EQ，QG，GS，SM，MJ，JE 即为平面 EGM 与正方体各个面的交线 设 BJCKx，由题知 2AJHC+CK3+x， 所以，所以， 解得， 因为， MC2， 所以， 如上图，设 N 为线段 A1D1的中点，可证点 N 在平面 PEF 内，且三角形 PNE 与三角形PEF 面积相等， 所以，三棱锥 QEFP 的体积三棱锥 QENP 的体积三棱锥 PENQ 的体积， 所以三棱锥 QEFP 的体积为
