1、江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1己知全集U1，0，2，集合A1，0，则 答案：2考点： 补集及其运算解析：全集U1，0，2，集合A1，0， 22己知复数(i为虚数单位)，复数z虚部为 答案：考点：复数解析：，故虚部为3设向量(l，k)，(2，k3)，若，则实数k的值为 答案：1考点：向量平行的坐标运算解析：向量(l，k)，(2，k3)，且， ，解得k14函数的单调减区间为 答案：(，)考点：利用导数研究函数的单调性解析：， 当时，故原函数的单调减区间为(，)5已知双曲线的一条渐近线
2、的倾斜角为45，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于 答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：，解得，故，焦距2c86己知偶函数在0，)单调递减，0，若0，则x的取值范围是 答案：(，)考点：函数的单调性与奇偶性解析：由于函数是偶函数，且0，则0，又在0，)单调递减， 故在(，0单调递增，当时， 要使0，则，解得，故x的取值范围是(，)7如图，己知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥MA1AB的体积 答案：考点：棱锥的体积解析：8在ABC中，如果sin A：sin B：sin C2：3：4，则sin C 答案：考点：正弦定理、余弦定理解析：sin A：s
3、in B：sin C2：3：4， a：b：c2：3：4， 设a2x，b3x，c4x， ， sinC9己知等比数列的前n项和为，若7，63，则 答案：448考点：等比数列的性质解析：7，63，则， ，即44810唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2y24，河岸线所在直线方程为xy60，假定将军从点P(3，2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为 答案
4、：2考点：对称点求法，两点间距离公式的计算解析：设点Q与点O关于直线xy60对称，连接PQ，则PQ2即为所求最小值， 首先求得点Q(6，6)，则PQ， PQ22，则将军行走的最短路程为2l1在平行四边形ABCD中，己知AB6，AD5，18，则 答案：15考点：平面向量的数量积解析： 又18，AB6，AD5， ，故， 12己知x (0，3)，则的最小值为 答案：考点：基本不等式解析：， ， ， 当且仅当x1时，取“”13己知ABC的面积为1，AC2，且1，则tanA的值为 答案：考点：三角恒等变换、正弦定理解析：1， ， 4cosAsinB3cosBsinAsinAsinB， 3sinCsinB
5、(sinAcosA)，故sinAcosA， ABC的面积为1，则，代入上式得： ，bAC2， ，即， 解得14己知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y2的对称点在kxy30的图象上，则实数k的取值范围是 答案：(，)(1，)考点：函数与方程解析：直线kxy30关于直线y2的对称直线为y1kx， 故可将题意转化为直线y1kx与函数有且仅有两个交点， 当x0时，显然不符合题意，当x0时，参变分离得：， 即方程有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k的取值范围是k1或k，即(，)(1，)二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
6、骤）15（本题满分14分）若函数(0，0)的图象经过点(0，)，且相邻的两条对称轴之间的距离为6（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当x 1，5时，的值域解：(1) 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为6，记的周期为，则，又，. ;的图象经过点， 函数的解析式为 (2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，由(1)得，函数的解析式为； 当时，则. 综上，当时，的值域为. 16（本题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA平面ABCD（1）求证：PB /平而AEC；（2）若四边形ABCD是矩形且PA
7、AD，求证：AE平面PCD证明:（1）连接交于，因为是平行四边形，所以是的中点，因为为的中点，所以/ 又因为平面，平面所以/平面 （2）因为且是的中点，所以又因为平面，平面，所以 因为四边形是矩形，所以，因为平面且所以平面 又因为平面，所以 平面且所以平面 17（本题满分14分）如图，某半径为lm的圆形广告牌，安装后其圆心O距墙壁1.5m.为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架如图，支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN，线段PA，线段PB构成其中点P为广告牌的最低点，且为弧MN中点，点A，B在墙面上，PA垂直于墙面兼顾美观及有效支撑，规定弧、所对圆心角及PB与墙面所成的角均为，经测算，PA、PB段
8、的每米制作费用分别为a元、a元，弧MN段侮米制作费用为3a元（1）试将制作一个支架所需的费用表示为的函数；（2）求制作支架所需费用的最小值解：（1）在扇形OMN中，劣弧MN的长度为在中， 所以所需费用， （2） 当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增；所以当时，有最小值 答：所需费用的最小值元 18（本题满分16分）如图，己知椭圆C：过点(1，)，离心率为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线线l与椭圆相交于M，N两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）记AFM，BFN的而积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求的值解
9、:（1）设椭圆的焦距为.离心率为， 解得. 则椭圆的方程为. (2) 设点 ，整理可得即， 代入坐标，可得即，又点在椭圆C上，解得直线的斜率 （3） 直线的方程为由消去得 又 19（本题满分16分）己知函数（1）当a1时，求在x1处的切线方程：（2）当a0时，讨论的单调性；（3）若有两个极值点，()，且不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1）当时，所以在处的切线方程为，即 （2）定义域为， 若时，所以单调递增区间为，无减区间； 若，则当时，；当时，所以单调递增区间为，无减区间； 若时，由，得或当，或时，当时， 所以单调递增区间为，单调递减区间为 （3）由（1）知，且， 不等式恒成立等价于恒成立
10、又 所以， 令（），则，所以在上单调递减， 所以，所以 20（本题满分16分）若数列满足(n)，则称为“螺旋递增数列”（1）设数列是“螺旋递增数列”，且，(n)，求；（2）设数列是“螺旋递增数列”，其前n项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列是“螺旋上升数列”，且，(n)，记数列的n项和为问是否存在实数t，使得对任意的n恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1），是以为首项4为公比的等比数列，数列是“螺旋递增数列”， （2）由数列是“螺旋递增数列”得，故，中存在连续三项成等差数列；（注：给出具体三项也可） 假设中存在连续四项
11、成等差数列，则，即，当时，当时，由数列是“螺旋递增数列”得，与都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列. （3），是以为首项为公差的等差数列，又数列是“螺旋递增数列”，故， 当时，又恒成立，恒成立，. 当时，又恒成立，恒成立，. 综上，存在满足条件的实数，其取值范围是. 数学附加试卷 （满分40分，考试时间30分钟）21A（本小题满分10分） 己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4) （1)求实数a，b的值： （2）求矩阵A的逆矩阵解：（1）因为 ， 所以 所以 （2） ， 21B.（本小题满分10分） 己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正
12、半轴重合若直线l的极坐标方程(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)己知P为曲线C:为参数）上点，求P到直线l的距离的最小值解：(1) 直线l的极坐标方程sin2，则sincos2，即sincos4， 所以直线l的直角坐标方程为xy40. (2) 因为P为曲线上一点，所以P到直线l的距离 所以当cos()1时，d的最大值为 22（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，点P是棱BB1上点，满足（l）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值； (2)若二面角P一A1CB的余弦值为，求的值解：以A为坐标原点O，分别以AB
13、，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAC1，AA12，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，P(1，0，2) (1) 由得，(1，0，2)，(0，1，2)，设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得不妨取z11，则x1y12，从而平面A1BC的一个法向量为n1(2，2，1) 设直线PC与平面A1BC所成的角为，则sin|cos，n1|，所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为. (2) 设平面PA1C的法向量为n2(x2，y2，z2)，(1，0，22)，由得不妨取z21，则x22
14、2，y22，所以平面PA1C的法向量为n2(22，2，1) 则cosn1，n2.因为二面角PA1CB的余弦值为，所以， 化简得202890，解得或01 23（本小题满分10分） 如图，F是抛物线y22px(p 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H，其中过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q. （1)求p的值；（2)求四边形APBQ的而积S的最小值解答：（1）设方程为，与联立，消去整理得 所以，得（舍去）或 （2）由（1）知抛物线方程为，准线方程为 因为直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，由得，所以 令，则，所以，方程为由得，所以，代入，得所以 到直线的距离为到直线的距离为所以四边形的面积 令，则 当时，单调递减当时，单调递增所以，当时，有最小值，的最小值为
