1、=【 ;精品教育 资源文库 】 = 第 七章 推理与证明 第 1 课时 合情推理与演绎推理 能用归纳和类比等方法进行简单的推理 ， 了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法 ， 并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别 了解合情推理的含义 ， 能利用归纳和类比等进行简单的推理 ， 了解合情推理在数学发现 中的作用 . 了解演绎推理的重要性 ， 掌握演绎推理的基本模式 ， 并能运用它们进行一些简单推理 . 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 1. 已知 2 23 2 23， 3 38 3 38， 4 415 4 415，?， 类比这些等式 ，若 6 a
2、b 6 ab(a， b 均为正数 )， 则 a b _ 答案： 41 解析：观察等式 2 23 2 23， 3 38 3 38， 4 415 4 415， ? ， 第 n 个应该是 n 1 n 1（ n 1） 2 1 (n 1) n 1（ n 1） 2 1， 则第 5 个等式中 a 6， b a2 1 35， a b 41. 2. 在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1， 外接圆面积为 S2， 则 S1S2 14， 推广 到空间可以得到类似结论；已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1， 外接球体积为V2， 则 V1V2 _ 答案： 127 解析：正四面体的内切球与
3、外接球的半径之比为 13 ， 故 V1V2 127. 3. 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn.若存在 正整数 m， n(mc h； a 2 b2c3 h3； a 4 b4abc， a， b， c N*. (1) 8ab4?bmax 6. (2) cmin 3， 6ab3?a 5， b 4?a b c 12. 4. 已知 an ? ?13n， 把数列 an的各项排成如下的三角形： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? 记 A(s， t)表示第 s 行的第 t 个数 ， 则 A(11， 12) _ 答案： ? ?13112解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为 1， 3
4、， 5， ? ， 那么第 10 行的最后 一个数为 a100， 第 11 行的第 12 个数为 a112， 即 A(11， 12) ? ?13112. 5. 某种平面分形图如图所示 ， 一级分形图是由一点出发的三条线段 ， 长度相等 ， 两两夹角为 120 ；二级分形图是从一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来 13的线段 ， 且这两条线段与原线段两两夹角为 120，?， 依此规律得到 n 级分形图 =【 ;精品教育 资源文库 】 = n 级分形图中共有 _条线段 答案： (32 n 3)(n N*) 解析：从分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段 ， 由题图知 ， 一级分形图中有
5、 3 (32 3)条线段 ， 二级分形图中有 9 (32 2 3)条线段 ， 三级分形图中有 21 (32 3 3)条线段 ， 按此规律 ， n 级分形图中的线段条数为 (32 n 3)(n N*) 1. 如图所示的三角形数阵叫 “ 莱布尼茨调和三角形 ” ， 有 11 12 12， 12 13 16， 13 14112，?， 则运用归纳推理得到第 11 行第 2 个数 (从左往右数 )为 _ 答案： 1110 解析：由 “ 莱布尼茨调和三角形 ” 中数的排列 规律 ， 我们可以推断：第 10 行的第一个数为 110， 第 11 行的第一个数为 111， 则第 11 行的第二个数为 110 1
6、11 1110. 2. 有一个游戏 ， 将标有数字 1， 2， 3， 4 的四张卡片分别随机发给 甲、乙、丙、丁 4个人 ， 每人一张 ， 并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有 1 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有 3的卡片结果显示：这 4 人的预测都不正确 ， 那么甲 、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 _， _， _， _ 答案： 4 2 1 3 解析：由于 4 个人预测不正确 ，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到 3；乙：甲、丙没拿到 2；丙：甲没拿到 1；丁：甲没拿到 3.综上 ， 甲
7、没拿到 1， 2， 3， 故甲拿到了4， 丁拿到了 3， 丙拿到了 1， 乙拿到了 2. 3. 观察下列等式： 13 12， 13 23 32， 13 23 33 62， 13 23 33 43 102，?， 根据上述规律 ， 则第 n个等式为 _ 答案： 13 23 33 43 ? n3 ? ?n（ n 1）22解析：因为 13 12， 13 23 (1 2)2， 13 23 33 (1 2 3)2， 13 23 33 43 (1 2 3 4)2， ? ， 由此可以看出左边是连续的自然数的立方和 ， 右边是左边的连续的 自然数的和的平方 ，照此规律，第 n 个等式为 13 23 33 43
8、? n3 (1 2 3 ? n)2?n（ n 1）22. 4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示=【 ;精品教育 资源文库 】 = 数他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1， 3， 6， 10，? 记为数列 an， 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn， 可以推测： (1) b2 018是数列 an的第 _项； (2) b2k 1 _ (用 k 表示 ) 答案： (1) 5 045 (2) 5k（ 5k 1）2 解析： (1) an 1 2 ? n n（ n 1）2 ， b1 452 a4， b2 562 a5， b3 9
9、（ 25 ）2 a9， b4 （ 25 ） 112 a10， b5 14 （ 35 ）2 a14， b6 （ 35 ） 162 a15， ? b2 018 ? ?2 0182 5 ? ?2 0182 5 12 a5 045. (2) 由 (1)知 b2k 1 ? ?2k 1 12 5 1 ? ?2k 1 12 52 5k（ 5k 1）2 . 5. 某市为了缓解交通压力 ， 实行机动车辆限行政策 ， 每辆机动车每周一到周五都要限行一天 ， 周末 (周六和周日 )不限行某公司有 A， B， C， D， E 五辆车 ， 保证每天至少 有四辆车可以上路行驶 已知 E 车周四限行 ， B 车昨天限 行
10、， 从今天算起 ， A， C 两车连续四天都能上路行驶 ， E 车明天可以上路 ， 由此可知下列推测一定正确的是 _ (填序号 ) 今天是周六； 今天是周四； A 车周三限行； C 车周五限行 答案： 解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶 ， E 车明天可以上路 ， E 车周四限行 ， 所以今天不是周三；因为 B 车昨天限行 ， 所以今天不是周一 ， 也不是周日；因为 A， C 两车连续四天都能上路行驶 ，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，所以 错误 ， 正确 因为 B 车昨天限行 ， 即 B 车周三限行 ， 所以 错误因为从今天算起 ， A、 C 两车连续四天都能上路行驶 ，
11、所以 错误 1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中 ， 在得到一个新的结论前 ， 合情推理能帮助猜测和发现结论 ， 在证明一个数学结论之前 ， 合情推理常常能为证明提供思路和方法 2. 合情推理的过程概括 为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想 3. 演绎推理是从一般的原理出发 ， 推出某个特殊情况的结论的推理方法 ， 是由一般到特殊的推理 ， 常用的一般模式是三段论 ， 数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 4. 合情推理仅是符合情理的推理 ， 得到的结论不一 定正确 ， 而演绎推理得到的结论一定正确 (在前提和推理形式都正确的前提下 ) 备课札记 =【 ;精
12、品教育 资源文库 】 = =【 ;精品教育 资源文库 】 = 第 2 课时 直接证明与间接证明 (对应学生用书 (文 )、 (理 )104 105 页 ) 了解分析法、综合法、反证法 ， 会用这些方法处理一些简单问题 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 . 了解间接证明的一种基本方法 反证法；了解反证法的思考过 程、特点 1. 已知向量 m (1， 1)与向量 n (x， 2 2x)垂直 ， 则 x _ 答 案： 2 解析： m n x (2 2x) 2 x. m n， m n 0， 即 x 2. 2. 用反证法证明命题 “ 如果 ab， 那么 3
13、a3 b” 时 ， 假设的内容应为 _ 答案： 3 a 3 b或 3 a 5 7 解析： 由分析法可得 ， 要证 6 2 2 5 7， 只需证 6 7 5 2 2， 即证 13 2 4213 4 10， 即 422 10.因为 4240， 所以 6 2 2 5 7成立 4. 定义集合运算： AB Z|Z xy， x A， y B， 设集合 A 1， 0， 1， B sin ， cos ， 则集合 AB 的所有元素之和为 _ 答案： 0 解析：依题意知 k 4 ， k Z. k 34 (k Z)时 ， B?22 ， 22 ， A B?0， 22 ， 22 ； 2k 或 2k 2 (k Z)时 ，
14、 B 0， 1， A B 0， 1， 1； 2k 或 2k 2 (k Z)时 ， B 0， 1， A B 0， 1， 1； k2 且 k 34 (k Z)时 ， B sin ， cos ， A B 0， sin ， cos ， sin ， cos 综上可知 ， A B 中的所有元素之和为 0. 5. 设 a， b 为两个正数 ， 且 a b 1， 则使得 1a 1b 恒成立的 的取值范围是_ 答案： ( ， 4 =【 ;精品教育 资源文库 】 = 解析： a b 1， 且 a， b为两个正数 ， 1a 1b (a b)? ?1a 1b 2 ba ab 2 2 ba ab 4.要使得 1a 1b 恒成立 ， 只要 4. 1. 直接证明 (1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法 (2) 一般形式 ?本题条件已知定义已知公理已知定理?A?B?C? ?本题结论 (3) 综合法 定义：从 已知条件 出发 ， 以已知的 定义 、 公理 、 定理 为依据 ， 逐步 下推 ， 直到推
