1、2020-2021 学年广东省潮州市高二学年广东省潮州市高二(下下)期末数学试卷期末数学试卷一一 选择题选择题(共共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分分). 1. 已知复数zi=()1 i+，则z =（ ）A.12B.22C.1D. 22. 若由一个22列联表中的数据计算得24.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.()20P Kk0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82
2、8A.95%B.97.5%C.99%D.99.9%3. 以下求导正确的是（）A.(cos )sinxx =B.21(log)xx=C. 211( )xx= D.1(1ln )1xx+= +4. 曲线322yxx=在点(1, 1)处的切线方程为（ ）A.2yx=B.32yx= +C.23yx=D.yx= 5. 若326nnAC=，则n的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知随机变量X服从正态分布，2(4,)XN，且(2)0.3P X=，则(6)P X=（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.85D. 0.77. 疫情期间，潮州某医院安排 4 名医生到湖北 3 个不同的医院支援，每名
3、医生只去一个医院，每个医院至少安排一名医生，则不同的安排方法共有（） A.18 种B. 36 种C. 6 种D. 72 种8. 100 件产品中有 6 件次品，现从中不放回的任取 3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（） A. 349B. 198C. 197D. 350 9. 函数( )21ln2f xxx=的单调递减区间为（ ） A. ()1,1 B. (),1 C. ()0,1 D. ()1,+ 10. 函数 f(x)xex的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数 yx332x2m 在-2，1上的最大值为92，则 m 等于（ ） A. 0 B. 1 C
4、. 2 D. 52 12. 若1,(,0)( )ln,(0, kxxf xxxxe =图象上恰存在两个点关于y轴对称，则实数k的取值范围是（ ） A. 11,1e+ B. 111,e+ C. 1 D. ()1,+ 二二 填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13. 复数1 i12iz=+(其中i是虚数单位)在复平面内对应的点在第_象限. 14. 在5232xx+的展开式中，常数项为_.(用数字作答) 15. 如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的
5、种植方案共有_种（用数字作答） 16. 已知可导函数( )f x的定义域为(0,)+，满足( )2 ( )0 xfxf x的解集是_ 三三 解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70分，解答要写出证明过程或解题步骤分，解答要写出证明过程或解题步骤. 17. 已知复数1z满足1i1 i(iz = +为虚数单位)，复数22i()zmmR=+. （1）求1z； （2）若12zz是纯虚数，求m的值. 18. 已知5250125(1 2 ) xaa xa xa x=+. （1）求5a的值； （2）求024aaa+的值. 19. 已知函数( )2f xaxblnx=+在1x =处有极值12
6、 （1）求 a,b 的值； （2）求( )f x的单调区间 20. 如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)的几组对照数据： x(年) 3 4 5 6 y(万元) 2.5 3 4 4.5 （1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa=+ （2）已知工厂技改前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元.试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用 10 年的维修费用比技改前降低多少？ 参考公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx=， a
7、ybx=. 21. 2020 年 1 月 10 日，引发新冠肺炎疫情的9COVID病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验， 检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是： 每天接种一次，3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数K的分布列； （2）已知每天接种一次花费 100 元，现有以下两种试验方案： 若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验
8、，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元； 若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 22. 已知函数( )()xfxxm e=+ （1）若( )f x在(,1上是减函数，求实数 m的取值范围； （2）当0m =时，若对任意的()0,x+，()()ln2nxnxfx恒成立，求实数 n的取值范围 2020-2021 学年广东省潮州市高二学年广东省潮州市高二(下下)期末数学试卷期末数学试卷 一一 选择题选择题(共共 12 小题，每小题小题，每小题
9、5分，共分，共 60 分分). 1. 已知复数zi=()1 i+，则z =（ ） A. 12 B. 22 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数模的性质直接计算即可. 【详解】(1)zii=+, | | | (1)| | |1|2ziiii=+=+=, 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 2. 若由一个22列联表中的数据计算得24.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系. ()20P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323
10、2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 95% B. 97.5% C. 99% D. 99.9% 【答案】A 【解析】 【分析】由23.841K 可对照临界值表得到结果. 【详解】24.0133.841K =，有()1 0.05100%95%=的把握认为两个变量有关系. 故选：A. 3. 以下求导正确的是（ ） A. (cos )sinxx = B. 21(log)xx= C. 211( )xx= D. 1(1ln )1xx+= + 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用导数的运算公式求解. 【详解】A. (cos )sinxx = ，故错
11、误； B. 21(log)ln2xx =，故错误； C. 211( )xx= ，故正确； D. 1(1ln )xx+=，故错误； 故选：C 4. 曲线322yxx=在点(1, 1)处的切线方程为（ ） A. 2yx= B. 32yx= + C. 23yx= D. yx= 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在点(1, 1)处的导数，然后直接利用直线方程的点斜式得答案. 【详解】由322yxx=，得234yxx =，1|1xy= = ， 曲线322yxx=在点(1, 1)处的切线方程为1(1)yx+ = ，即yx= . 故选：D. 5. 若326nnAC=，则n的值为（ ）
12、 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用排列与组合数公式，进行化简计算即可. 【详解】解：326nnAC=， (1)(1)(2)62n nn nn=， 化简得23n =， 解得5n =. 故选：B. 6. 已知随机变量X服从正态分布，2(4,)XN，且(2)0.3P X=，则(6)P X=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.85 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的概率特征，求出正态曲线的对称轴，利用对称性即可求解. 【详解】解：由随机变量X服从正态分布2(4,)N， 正态曲线的对称轴是4x =， (2)(6)0.3P X
13、P X=， (6)1(6)0.7P XP X= =. 故选：D. 7. 疫情期间，潮州某医院安排 4 名医生到湖北 3 个不同的医院支援，每名医生只去一个医院，每个医院至少安排一名医生，则不同的安排方法共有（ ） A. 18 种 B. 36 种 C. 6 种 D. 72 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分 2步进行分析：先在 4人中选出 2人，安排到其中一家医院，将剩下 2人安排到其他医院，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分 2步进行分析： 先在 4人中选出 2人，安排到其中一家医院，有214318C C =种安排方法， 将剩下 2 人安排到其他医院，有222A
14、 =种情况， 则有18 236=种不同的安排方法； 故选：B. 8. 100 件产品中有 6 件次品，现从中不放回的任取 3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ） A. 349 B. 198 C. 197 D. 350 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A，“第三次抽到次品”为事件B，求出( )P A和()P AB，即可求得答案. 【详解】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A，“第三次抽到次品”为事件B； 则949394936( ),()100991009998P
15、 AP AB= ()63(|)( )9849P ABP B AP A= 故选：A. 【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9. 函数( )21ln2f xxx=的单调递减区间为（ ） A. ()1,1 B. (),1 C. ()0,1 D. ()1,+ 【答案】C 【解析】 【分析】 求出导函数( )fx，然后由( )0fx确定减区间 【详解】函数定义域是(0,)+， 由已知1(1)(1)( )xxfxxxx+=， 当01x时，( )0fx时，( )0fx，所以减区间是(0,1) 故选：C 10. 函数 f(x)xex的
16、图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的定义域可排除 A，再根据函数值在 x0，x0 时，函数 f(x)2xxxeex，可得函数的极值点为：x1，当 x(0，1)时，函数是减函数，x1 时，函数是增函数，并且 f(x)0，选项 B、D 满足题意 当 x0 时，函数 f(x)xex0，选项 D 不正确，选项 B 正确 故选：B 【点睛】本题考查由函数解析式确定函数的图像，定义域，值域，对称性，单调性是常用的判断方法，本题属于中档题. 11. 若函数 yx332x2m 在-2，1上的最大值为92，则 m 等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5
17、2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案. 【详解】2333 (1)yxxx x=+=+，易知，当10 x 时，0y ，当21x 或01x， 所以函数 yx332x2m 在( 2, 1)，(0,1)上单调递增，在( 1,0)上单调递减，又当1x = 时， 12ym=+，当1x =时，52ym=+，所以最大值为5922m+=，解得2m =. 故选：C 12. 若1,(,0)( )ln,(0, kxxf xxxxe =图象上恰存在两个点关于y轴对称，则实数k的取值范围是（ ） A. 11,1e+ B. 111,e+ C. 1 D. ()1,+ 【答
18、案】A 【解析】 【分析】由题意可得，lnyxx=与1ykx=在(0,e上恰有两个交点，即ln1xxkx=在(0,e上恰有 2个解，分离参数后构造函数，结合导数及函数的性质计算即可得解. 【详解】由题意可得，lnyxx=与1ykx=在(0,e上恰有两个交点， 即ln1xxkx=在(0,e上恰有 2个解， 所以1lnkxx=+在(0,e上恰有 2 个解， 令1( )lng xxx=+，(0,xe，则21( )xg xx=， 当01x时，( )0g x，函数单调递减，当1xe，函数单调递增， 因为(1)1g=，1( )1g ee= +，0 x ，( )g x +， 故111ke +. 故选：A.
19、【点睛】本题主要考查了由函数零点求解参数范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于常考题. 二二 填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13. 复数1 i12iz=+(其中i是虚数单位)在复平面内对应的点在第_象限. 【答案】三 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案. 【详解】1 i(1 i)(1 2i)13i12i(12i)(1 2i)55z= +， 复数对应的点1(5，3)5在第三象限. 故答案为：三. 14. 在5232xx+的展开式中，常数项为_.(用
20、数字作答) 【答案】40 【解析】 【分析】 先求出展开式的通项10 5152rrrrTC x+=，令1050r=即得解. 【详解】设展开式的通项为2 510 515532()()2rrrrrrrTCxC xx+=， 令1050,2rr= =， 所以常数项为225240C =. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15. 如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有_种（用数字作答） 【答案】260 【解析】 【分析】先分 1，3 相同与
21、 1，3 不相同两类，每类中按分步计数原理，分 2，4 相同或不同两类求解，然后 再分类计数原理求和. 【详解】根据题意：当 1，3 相同时，2，4 相同或不同两类，有：()5411380+=种， 当 1，3 不相同时，2，4 相同或不同两类，有：()54312180+=种， 所以不同的种植方案共有80 180260+=种， 故答案为：260 【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题. 16. 已知可导函数( )f x的定义域为(0,)+，满足( )2 ( )0 xfxf x的解集是_ 【答案】(),1 【解析】 【分析】构造函数2( )( )f xg x
22、x=，由导数确定单调性后，利用单调性解函数不等式 【详解】设2( )( )f xg xx=，则 3( )2 ( )xfxxxf xg=， 因为0 x ，( )2 ( )0 xfxf x，所以 ( )0g x，即()( )22144xxff =，令 2xt=，即( )( )224f tft， ( )( )2g tg， 所以2t ，22x，所以 1x 故答案为：(),1 【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是构造新函数2( )( )f xg xx=，利用导数确实单调性，已知不等式转化为关于 ( )g x的函数不等式，然后求解 三三 解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共
23、 70分，解答要写出证明过程分，解答要写出证明过程或解题步骤或解题步骤. 17. 已知复数1z满足1i1 i(iz = +为虚数单位)，复数22i()zmmR=+. （1）求1z； （2）若12zz是纯虚数，求m的值. 【答案】 （1）11 iz = ； （2）2. 【解析】 【分析】 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简即可， （2）先求出12zz，再利用纯虚数的概念列出方程组得答案. 【详解】解： （1）1i1 iz = +，121 i(1 i)i1 iiiz+= ， （2）12(1 i)(2i)(2)(2)izzmmm=+=+， 12zz是纯虚数，2020mm+=， 2m= . 18.
24、已知5250125(1 2 ) xaa xa xa x=+. （1）求5a的值； （2）求024aaa+的值. 【答案】 （1）532a = ； （2）121. 【解析】 【分析】 （1）首先写出展开式的通项，再代入计算可得； （2）分别令1x =，1x = 即可得到方程组，进而可以求解. 【详解】解： （1）因为二项式5(1 2 )x展开式的通项为()155( 2 )2rrrrrrTxCxC+= 所以5x的系数为555( 2)32C = ， 所以532a = ； （2）令1x =可得：2345015(12)1.aaaaaa=+= 令1x = 可得：50155234(12).3aaaaaa+=
25、+=， +可得5024311212aaa+=. 19. 已知函数( )2f xaxblnx=+在1x =处有极值12 （1）求 a,b 的值； （2）求( )f x的单调区间 【答案】(1)1 2a =,1b = (2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+ 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，得到( )2bfxaxx=+，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到( )212f xxlnx=，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间. 【详解】解： （1）( )2.bfxaxx=+又( )f x在1x =处有极值12, ( )( )112 10ff
26、=即1220aab=+=解得12a =,1b = （2）由（1）可知( )212f xxlnx=,其定义域是()0,+, ( )()()111xxfxxxx+= 由( )0fx ,得01x,得1x 函数( )yf x=的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+ 【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型. 20. 如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)的几组对照数据： x(年) 3 4 5 6 y(万元) 2.5 3 4 4.5 （1）若知道y对x呈线性相关关系，请根
27、据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa=+ （2）已知工厂技改前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元.试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用 10 年的维修费用比技改前降低多少？ 参考公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx=， aybx=. 【答案】 （1）0.70.35yx=+； （2）1.65万元. 【解析】 【分析】 （1）计算平均数xy、41iiix y=、421iix=，求出回归系数，写出回归方程； （2）利用回归方程求出10 x =时 y的值即可. 【详解】解： （1）计算4
28、13 2.54 35 46 4.566.5iiix y= + + + =， 4222221345686iix=+=， 1(3456)4.54x =+ +=， 1(2.5344.5)3.54y =+ +=； 回归系数266.54 4.5 3.566.5630.7864 4.58681b = ； 3.50.74.50.35aybx=； 故所求的回归方程为0.70.35yx=+； （2）当10 x =时，利用y关于x的线性回归方程计算0.7 100.3557.3y =+=， 预测该型号设备技改后使用 10 年的维修费用比技改前降低97.351.65=(万元)， 答：求出y关于x的线性回归方程0.70
29、.35yx=+， 预测该型号设备技改后使用 10 年的维修费用比技改前降低 1.65 万元. 21. 2020 年 1 月 10 日，引发新冠肺炎疫情的9COVID病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验， 检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是： 每天接种一次，3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数K的分布列； （2）已知每天接种一次花费 100
30、元，现有以下两种试验方案： 若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元； 若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 【答案】 （1）分布列见解析； （2）825元；选择方案二. 【解析】 【分析】 （1）利用二项分布的知识计算出分布列. （2）先求得一个接种周期的接种费用的期望值，由此求得三个接种周期的接种费用的期望值()E X. 首先求得“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体”的概率，
31、 根据相互独立事件概率计算公式， 结合随机变量期望值的计算，计算出花费的期望值( )E Y.由于()( )E XE Y，所以选择方案二. 【详解】 （1）由题意可知，随机变量K服从二项分布13,2KB， 故()331122kkkP KkC=（0,1,2,3k =） 则X的分布列为 K 0 1 2 3 P 18 38 38 18 （2）设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为 200，300， 因为()12004P=，()33004P=， 所以( )1320030027544E=+=. 所以三个接种周期的平均花费为()( )33 275825E XE= =. 随机变量Y可能的取值为 300，
32、600，900， 设事件A为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体”，由（1）知，( )311882P A =+=. 所以()( )13002P YP A=， ()( )( )160014P YP AP A=， ()( )( )19001114P YP AP A= =， 所以( )111300600900525244E Y =+= 因为()( )E XE Y. 所以选择方案二. 【点睛】本小题主要考查二项分布，考查相互独立事件概率计算，考查数学期望的计算，属于中档题. 22. 已知函数( )()xfxxm e=+ （1）若( )f x在(,1上是减函数，求实数 m的取值范围； （2）当0
33、m =时，若对任意的()0,x+，()()ln2nxnxfx恒成立，求实数 n 的取值范围 【答案】 （1）(, 2 ； （2）(0,2 e 【解析】 【分析】 （1）由题意可得( )0fx对于(,1x 恒成立，分离m转化为最值即可求解； （2）由题意可得2ln()2xnxnxxe恒成立，即ln()2ln()2nxxenxxe，构造函数( )xf xxe=，利用导数判断其单调性可得ln()nx与2x的关系，分离n即可求解. 【详解】 （1）因为( )()xf xxm e=+，所以( )(1)xfxxme=+， 由题意可得( )0fx对于(,1x 恒成立，即10 xm+ ， 可得1mx ，所以(
34、)min12mx = 所以实数m的取值范围是(, 2 （2）对任意的(0,)x+，ln()(2 )nxnxfx恒成立， 即2ln()2xnxnxxe恒成立，即ln()2ln()2nxxenxxe恒成立 因为( )xf xxe=， 所以( )(1)xfxxe=+， 易知( )xf xxe=在(0,)+上单调递增， 且在(,0)上( )0f x ，则22(21)( )xxeg xx=， 当10,2x时，( )0g x 则( )g x在10,2上单调递减，在1,2+上单调递增，所以min1( )22g xge=， 所以2ne，显然0n ， 故实数 n的取值范围是(0,2 e 【点睛】方法点睛：求不等
35、式恒成立问题的方法 （1）分离参数法 若不等式(),0f x()xD（是实参数） 恒成立， 将(),0f x转化为( )g x或( )()g xxD恒成立，进而转化为( )maxg x或( )()ming xxD，求( )g x的最值即可. （2）数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法 把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
