1、 广东省深圳市龙岗区广东省深圳市龙岗区 2021-2022 学年第一学期期末质量监测学年第一学期期末质量监测 高二数学高二数学 一一单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 直线3xy+30 的倾斜角是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 150 2. 设等差数列na的前n项和为nS，若73a =，则13S的值为（ ） A. 28 B. 39 C. 56 D. 117 3. 若向量(1,2,0)a =，( 2,0,1)
2、b = ，则（ ） A. 1cos,2a b = B. ab C. / /ab D. ab= 4. 已知抛物线24yx=的焦点为F，点M在抛物线上，且3MF =，则M的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 5. 圆()2224xy+=与圆()()22239xy+=的位置关系为（ ） A 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 6. 若函数( )lnf xkxx=在区间()1,+上单调递增，则实数k的取值范围是 A. (, 2 B. (, 1 C. )2,+ D. )1,+ 7. 直线:120lxym+=与直线2:610lmxy+ =平行，则两直线间的距离为（ ） A. 4
3、55 B. 2 53 C. 4 515 D. 5 8. 已知圆柱的表面积为定值3，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知椭圆22:132xyC+=的左右焦点为1F2F，点M为椭圆上的点(M不在x轴上） ，则下列选项中. 正确的是（ ） A.
4、 椭圆C长轴长为2 3 B. 椭圆C的离心率13e = C. 12MFF的周长为2 32+ D. 12MF MF 的取值范围为1,2) 10. 已知正项等比数列na满足12a =，4232aaa=+，若设其公比q，前n项和为nS，则（ ） A. 2nna = B. 数列na单调递减 C. 122nnSS+=+ D. 数列lgna是公差为 2 的等差数列 11. 对于函数2ln( )xf xx=，下列说法正确的是（ ） A. ( )f x在(0,)+上单调递增 B. ( )f x在ex =处取得极大值 C. ( )f x有两个不同的零点 D. 若( )f xkx在(0,)+上恒成立，则13ek
5、12. 如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1AB的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点） ，则（ ） A. 对任意的F点，三棱锥FADE与三棱锥1AADE的体积相等 的为 B. 对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形 C. 存在点F，使得/EF面11AC D D. 存在点F，使得EF 面1BDC 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 曲线()ln 2 +1yx=在点(0,0)处的切线方程为_. 14. 已知直线()1:130lxay+=与直线2:320laxy+=垂直，则实数a的值为_. 15. 已知1F2
6、F双曲线()222210,0 xyabab=的左右焦点，AB为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AFBF，112ABF=，则双曲线的离心率为_. 16. 已知数列na满足()24*nnaannN+=+，则na的前 20 项和20S=_. 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写岀文字说明解答应写岀文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知函数32( )2f xxaxbx=+在1x = 处取得极值 7 （1）求, a b值； （2）求函数( )f x在区间 2,2上的最大值 18. 圆心为C的圆经过点( 4,1)A ,( 3,2)B ，且圆
7、心C在:20l xy=上， （1）求圆C的标准方程； （2）过点(3, 1)P作直线m交圆C于MN且| 8MN =，求直线m的方程. 19. 已知等比数列 na的公比1q ，且1a，3a的等差中项为 5，24a =. （1）求数列 na的通项公式； （2）设nnnba=，求数列 nb的前n项和nS. 20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC 平面ABCD，PBPD 的 （1）证明：平面PAB 平面PCD； （2）若PBPC=，E为棱CD的中点，90PEA=，2BC =，求二面角BPAE的余弦值 21. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，过焦点且垂直于长轴的
8、弦长为 1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）过点( 1,0)Q 直线l交椭圆于A，B两点，交直线4x = 于点E，且AQQB= ，AEEB= .求证：+为定值，并计算出该定值. 22. 设函数2( )ln(2)f xxax=+，且( )f x存在两个极值点1x2x，其中12xx恒成立，求m的最小值. 的 广东省深圳市龙岗区广东省深圳市龙岗区 2021-2022 学年第一学期期末质量监测学年第一学期期末质量监测 高二数学高二数学 一一单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在
9、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 直线3xy+30 的倾斜角是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】 先求斜率，再求倾斜角即可 【详解】解：直线330 xy+=的斜截式方程为33yx=+， 直线的斜率3k =， 倾斜角60=， 故选：C 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题 2. 设等差数列na的前n项和为nS，若73a =，则13S的值为（ ） A. 28 B. 39 C. 56 D. 117 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】
10、因为等差数列na中，73a =， 则11313713()13392aaSa+=. 故选：B. 3. 若向量(1,2,0)a =，( 2,0,1)b = ，则（ ） A. 1cos,2a b = B. ab C. / /ab D. ab= 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断 【详解】由已知2221205a =+=，222( 2)015b =+=， 1 ( 2)2 00 12a b= + + = ，b与a不垂直 22cos,555a ba ba b= ， 若bka=，则02k=，0k =，但是，10 0，因此b与a不共线 故选：D 4. 已知
11、抛物线24yx=的焦点为F，点M在抛物线上，且3MF =，则M的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得. 【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F,准线方程为1x = , 13MMFx=+ =, 2Mx=， 故选：C. 5. 圆()2224xy+=与圆()()22239xy+=的位置关系为（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】 求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案. 【详解】由()2224xy+=可得圆心为()2,0，半径2r =，
12、由()()22239xy+=可得圆心为()2, 3，半径3R =， 所以圆心距为()()222230523rR + =+=+， 所以两圆相外切， 故选：B. 6. 若函数( )lnf xkxx=在区间()1,+上单调递增，则实数k的取值范围是 A. (, 2 B. (, 1 C. )2,+ D. )1,+ 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，函数( )lnf xkxx=在区间()1,+单调递增，在区间()1,+上恒成立，而在区间()1,+上单调递减，取值范围是)1,+故选 D 考点：利用导数研究函数的单调性. 7. 直线:120lxym+=与直线2:610lmxy+ =平行，则两直线间的
13、距离为（ ） A. 4 55 B. 2 53 C. 4 515 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线平行求得m，再根据公式可求平行线之间的距离. 【详解】由两直线平行，得21 6m = ，故3m = ， 当3m = 时，1:3690lxy=，2:3610lxy+ =，此时12/ll， 故两直线平行时3m = 又12,l l之间的距离为9 1102 539363 5d =+， 故选：B. 8. 已知圆柱的表面积为定值3，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底22 r=，S圆
14、柱侧2 rh=，则可得2322rhr=，则圆柱的体积为32322rrVr h=，利用导数求出V最大值，确定h值. 的. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底22 r=，S圆柱侧2 rh=， 2223rrh+=，22323222rrhrr=，则圆柱的体积32322rrVr h=， 236( )2rV r=，由( )0V r得202r，由( )0V r， 当22r =时，( )V r取极大值，也是最大值，即2h = 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识. 二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
15、，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知椭圆22:132xyC+=的左右焦点为1F2F，点M为椭圆上的点(M不在x轴上） ，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆C的长轴长为2 3 B. 椭圆C的离心率13e = C. 12MFF的周长为2 32+ D. 12MF MF 的取值范围为1,2) 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求出a，b，c，判断 A，B，C的正误，对于 D，设出( ,
16、)M x y，表示出12MF MF 的解析式，求出其范围，判断正误即可. 【详解】椭圆22222:1,3,2,132xyCabc+= =， 3,2,1=abc， 椭圆的长轴长为22 3a =，故 A 正确， 的 椭圆的离心率33cea=，故 B错误， 12MFF的周长为：1212222 32MFMFFFac+=+=+，故 C 正确， 设()(),0M x yy ，则33,22,0 xyy，且()()121,0 ,1,0FF， 故()()121,1,MFxyMFxy= = ， 又22132xy+=，则22332xy= ， 故222121122MF MFxyy += += ， 22102,10,2
17、yy，根据4232aaa=+，得32242qqq=+，整理得220qq=， 解得2q 或1q = （舍去） ，所以12 22nnna=，故选项 A正确； 由2nna =，得na是以 2为首项，以 2 为公比的等比数列，所以na单调递增，故选项 B 错误； 12(12 )2212nnnS+=，则212222nnnSS+=，所以选项 C 正确； 令lgnnba=，则lg2nnb =，所以1112lg2lg2lg()lg22nnnnnnbb+=， 所以lgna是以lg2为公差的等差数列，选项 D错误. 故选：AC. 11. 对于函数2ln( )xf xx=，下列说法正确的是（ ） A. ( )f x
18、在(0,)+上单调递增 B. ( )f x在ex =处取得极大值 C. ( )f x有两个不同的零点 D. 若( )f xkx在(0,)+上恒成立，则13ek 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数( )f x的单调性，结合极值的定义判断选项 A错误，选项 B 正确；由函数零点的定义可判断选项 C错误；不等式转化为3( )lnf xxkxx=在(0,)+上恒成立，构造函数( )3ln xg xx=，利用导数研究函数的单调性，求函数( )g x的最大值，可判断选项 D正确. 【详解】对于函数2ln( )xf xx=，,()0 x+， 2431ln21 2ln( )xxxxxfxxx=，
19、,()0 x+； 令( )0fx =，得2ln1x =，解得ex =， 当0ex，所以函数在(0, e)上为单调递增函数， 当ex 时，( )0fx ，所以函数在( e，)+上为单调递减函数， 所以函数在ex =处取得极大值1( e)2e=f，选项 A 错误，选项 B正确； 因为( )0f x =时，得ln0 x =，解得1x =，所以函数( )f x只有一个零点，选项 C错误； 因为( )f xkx在(0,)+上恒成立，则3ln xkx在(0,)+上恒成立， 令( )3ln xg xx=，则( )maxk g x， 因为( )32641ln31 3lnxxxxxgxxx=，令( )0g x
20、=，解得3ex =， 当30ex，( )g x单调递增， 当3ex 时，( )0g x 的左右焦点，AB为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AFBF，112ABF=，则双曲线的离心率为_. 【答案】2 【解析】 【分析】可得四边形21AF BF为矩形，运用三角函数的定义可得，12 sinAFc=，12 cosBFc=由双曲线的定义和矩形的性质，可得2cossin2|ca=，由离心率公式求解即可. 【详解】1F、2F为双曲线()222210,0 xyabab=的左、右焦点，11AFBF 可得四边形21AF BF为矩形， 在1RtABF中，1OFc=，2ABc=， 在1RtABF中，1ABF=
21、，可得12 sinAFc=，12 cosBFc=， 22122 cossin2BFAFAFAFca=， 11cossin2 cos4cea=+， 12=，1coscos432+=， 2e =， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：得出四边形21AF BF为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题. 16. 已知数列na满足()24*nnaannN+=+，则na的前 20 项和20S=_. 【答案】135 【解析】 【分析】直接利用数列的递推关系式写出相邻四项之和，进而求出数列的和. 【详解】数列na满足24nnaan+=+，所以135nnaan+=+， 故12329nnnnaaaan+=+，
22、当1n =时，123429aaaa+=+， 当5n =时，56782 59aaaa+= +， .， 当17n =时，171819202 179aaaa+=+， 所以20123417181920.2 (1 59 13 17)5 9135Saaaaaaaa=+=+ + =. 故答案为：135. 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写岀文字说明解答应写岀文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知函数32( )2f xxaxbx=+在1x = 处取得极值 7 （1）求, a b的值； （2）求函数( )f x在区间 2,2上的最大值 【答案】 （1
23、）39ab= = ； （2）max( )7f x=. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）先由（1）得到32( )392f xxxx=+，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值. 【详解】 （1）因为32( )2f xxaxbx=+，所以2( )32fxxaxb=+， 又函数32( )2f xxaxbx=+在1x = 处取得极值 7， ( 1)17( 1)320fabfab= +=+=，解得39ab= = ； ， 所以3( )3693(3)(1)fxxxxx=+， 由( )0fx得3x 或1x ；由( )0fx得13x- ，且1a，3a的
24、等差中项为 5，24a =. （1）求数列 na的通项公式； （2）设nnnba=，求数列 nb的前n项和nS. 【答案】 （1）()*2nnanN=； （2）222nnnS+=. 【解析】 【分析】 （1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】解析： （1）由题意可得：()2111104aqa q+=， 22520qq+= 1q ，122aq=，数列 na的通项公式为()*2nnanN=. （2）2nnnb = 231232222nnnS =+ 231112122222nnnnnS+=+ 上述两式相减 可得2341111
25、1112222222nnnnS+=+ 123111111122121222222212nnnnnnnnnS+= += 【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC 平面ABCD，PBPD （1）证明：平面PAB 平面PCD； （2）若PBPC=，E为棱CD的中点，90PEA=，2BC =，求二面角BPAE的余弦值 【答案】 （1）见解析； （2）66 【解析】 【详解】分析：（1）由四边形ABCD为矩形，可得CDBC，再由已知结合面面垂直的性质可得CD 平面PBC，进一步得到CDPB，再由
26、PBPD，利用线面垂直的判定定理可得PB 面PCD，即可证得PAB 平面PCD； （2）取BC的中点O，连接,PO OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题得0PEEA= ，解得2 2a =. 进而求得平面PAB和平面PAE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角APBC的余弦值. 详解： （1）证明：四边形 ABCD是矩形，CDBC. 平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC，CD平面 ABCD， CD平面 PBC， CDPB. PBPD，CDPD=D，CD、PD平面 PCD，PB平面 PCD. PB平面 PAB，平面 PAB平面 PCD. （2）设
27、 BC 中点为O,连接,PO OE， ,PBPCPOBC=，又面PBC 面ABCD，且面PBC 面ABCD BC=， 所以PO 面ABCD. 以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，OC为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由（1）知 PB平面 PCD，故 PB112PCPOBC=，设ABa=， 可得()()()0,0,1 ,1,0 ,1, ,0 ,1,0,0 ,2aPEAaB 所以1, 1 ,2,0 ,22aaPEEA= 由题得0PE EA= ，解得2 2a =. 所以()()()0,2 2,0 ,1,2 2, 1 ,2,2,0 ,BAPAEA= = 设(), ,nx y z=是平
28、面PAB的法向量，则00n PAn BA = ，即2 202 20 xyzy +=， 可取()1,0, 1n =. 设(), ,mx y z=是平面PAE的法向量，则00m PAm EA= ，即2 20220 xyzxy +=+=， 可取()1,2,3m =. 则6cos,6n mn mn m= ， 所以二面角APBC的余弦值为66. 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通
29、过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 21. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）过点( 1,0)Q 的直线l交椭圆于A，B两点，交直线4x = 于点E，且AQQB= ，AEEB= .求证：+为定值，并计算出该定值. 【答案】 （1）2214xy+= （2）证明见解析，定值为0 【解析】 【分析】 （1）由题意得222112baabba=，从而写出椭圆的方程即可； （2）易知直线l斜率存在，令:(1)l yk x=+，11()A x y，2(B x，2)y，0( 4,)Ey，将直线
30、的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得+值，从而解决问题. 【小问 1 详解】 （1）由条件得222112baabba=， 所以方程为2214xy+= 【小问 2 详解】 易知直线l斜率存在，令:(1)l yk x=+，11( ,)A x y，22(,)B xy，0( 4,)Ey 由222222(1)(14)844014yk xkxk xkxy=+=+= 248160k =+ 2122814kxxk+= +，21224414kx xk=+ 因为AQQB= ， 所以1122( 1,)(1,)xyxy =+，即1 1= (2+ 1)1=
31、2， 因为AEEB= ， 所以101220( 4,)(4,)x yyxyy =+，即4 1= (2+ 4)0 1= (2 0) 由1211xx+= +，由1244xx+= + 121212122222(1)(4)(4)(1)25()8(1)(4)(1)(4)xxxxx xxxxxxx+= = + 将2122814kxxk+= +，21224414kx xk=+代入上式， 得()()()()22222222222288408840832814141401414kkkkkkkkxxxx + += = =+ 22. 设函数2( )ln(2)f xxax=+，且( )f x存在两个极值点1x2x，其中
32、12xx恒成立，求m最小值. 【答案】 （1）(0,2) （2）1 【解析】 【分析】 （1）( )f x存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点； （2）适当构造函数，并注意1x与2x关系，转化为函数求最大值问题，即可求得m的范围. 【小问 1 详解】 2( )ln(2)f xxax=+（2x ） ， ( )22afxxx=+， 函数( )f x存在两个极值点1x2x，且12xx ， ()()1020gg，即02aa， 02a ， 实数a的取值范围是(0,2). 【小问 2 详解】 的的 函数( )f x在(0,)+上有两个极值点，由（1）可得(0,2)a， 由( )0fx =，得224
33、0 xxa+=，则122xx+= ，122ax x =，12422ax =，22422ax +=， 02a， 121x ，210 x ， ( )()()()2111222222ln2422 ln4f xxaxxxxxxx+=+， 令2xx=，则01x且12()42(2)ln4f xxxxxx= + +， 令4( )2(2)ln4h xxxxx= + +，01x， ( )2442ln3h xxxx=， 再设( )2442ln3xxxx=， 则232(48)( )xxxx+=， 01x， ( )0 x（1）30= ， ( )h x在(0,1)上是增函数， ( )h xh（1）1= ， 12( )1f xx恒成立， ( )12f xmx恒成立，转化为( )12f xmx恒成立，化简( )()()()2111222222ln2422 ln4f xxaxxxxxxx+=+，令2xx=，则化为12()42(2)ln4f xxxxxx= + +，然后构造函数4( )2(2)ln4h xxxxx= + +，利用导数求出其最大值即可，属于较难题
