1、专题07方程与不等式专题综述课程要求一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性.一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，
2、掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤：.将含x的式子用y来表示，构建一个一元二次函数；.令这个函数中的y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点函数的零点；.利用图象开口与零点画出对应函数的草图；观察草图，得出不等式所对应的解集.课程要求初中课程要求1、了解了一元二次不等式的概念，会解一些简单的元二次不等式，如二次项系数为1的一元二次不等式2、熟悉一元二次方程的求根公式，初步认识了一元二次方程与二次函数的关系，但对根的分布情况没有深入了解高中课程要求1、熟练各种一元二次不等式的解法，并熟记解题技巧，会解含参数的一元二次不等式2、理解一元二次方程根
3、的各种分布情况，能找出每种分布情况的等价条件并求解；掌握利用二次函数的图象来解决根的分布问题知识精讲高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解高中必备知识点
4、2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc(a0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)的解(1)(1)当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(
5、x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 (2)当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解(3)如果0，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以
6、1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式典例剖析高中必备知识点1：二元二次方程组的解法【典型例题】已知方程组x2+2y2-6=0y=mx+3有两组相等的实数解，求m的值，并求出此时方程组的解.【答案】m=1,当m=1时 x=-2y=1;当m=-1时 x=2y=1【解析】x2+2y2-6=0y=mx+3把代入后计算得2m2+1x2+12mx+12=0，方程组有两组相等的实数解，(12m)24(2m2+1)120，解得：m=1，当m=1时，解得x=-2y=1当m=-1时，解得x=2y=1【变式训练】解方程组：x2-xy-2y2=0,x2+2xy+y2=1,【答案】x1=2
7、3y1=13; x2=-23y2=-13【解析】x2-xy-2y2=0x2+2xy+y2=1，由得 (x+y)(x-2y)=0，x+y=0或x-2y=0，由得 (x+y)2=1，x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为x+y=0x+y=1或x+y=0x+y=-1或x-2y=0x+y=1或x-2y=0x+y=-1，所以原方程组的解为x1=23y1=13x2=-23y2=-13【能力提升】解方程组：x+y=4;x2+xy-2y2=0.【答案】x1=8y1=-4,x2=2y2=2【解析】由得：(x+2y)(x-y)=0所以x+2y=0或x-y=0 所以x+y=4x+2y=0或x+y=4x-y=0,
8、所以原方程组的解为x1=8y1=-4,x2=2y2=2.高中必备知识点2：一元二次不等式的解法【典型例题】解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；【答案】(1) .(2) .【解析】(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.【变式训练】求不等式的解【答案】或【解析】由题意，不等式，可得或，由不等式组，可得解集为 由不等式组，可得解集为或，所以不等式的解集为或.【能力提升】解下列不等式：(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3)或.【解析】(1)由题意，不等式，
9、可化为，所以不不等式的解集为；(2)由题意，可得，所以不等式的解集为；(3)由不等式，可化为，即，所以不等式的解集为或.对点精练1若实数a使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为( )ABCD【答案】B解：解不等式组可得：，不等式组至少有3个整数解，,，解分式方程可得：，分式方程有正整数解，且，且，a可以取值为-7，-5，符合条件的所有整数a的和为-7-5=-12，故选B2不等式组的解集为( )ABCD无解【答案】B解：，由得：x-1，由得：x4，不等式组的解集为：故选B3已知关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有3个负整数解，
10、则符合条件的所有整数的个数为( )A1B2C3D4【答案】A解：分式方程去分母得：1-ax-3-2+x=0，即(1-a)x=4，由分式方程有整数解，得到1-a0，解得：x=，不等式组整理得：，即，由不等式组有且只有3个整数解，得到，解得：-1a，由x为整数，且，得到1-a=1，-2，4，解得：a=0，则符合条件的所有整数a的个数为1，故选：A4已知不等式组的解为：，则的值为( )A1B2020C-1D-2020【答案】A解：解不等式x+a1，得：x1a，解不等式2x-b2，得：x，所以不等式组的解集为1ax，不等式组的解集为2x3，1a=2，=3，解得：a=3，b=4，=1故选：A5下面是解不
11、等式的过程，每一步只对上一步负责，则其中有错的步骤是( )解：A只有BCD【答案】D，故错误；由，得，故错误；由，得，故正确；由，得，故错误综上所述：错误点步骤有：故选：D6下列命题正确的是( )A若，则Bm，n为整数，若，则C若，则D若，则【答案】D解：A、若，则，解得，故此选项不符合题意；B、m，n为整数，若，则，故此选项不符合题意；C、若，即，故此选项不符合题意；D、若，则，故此选项符合题意故选D7不等式组的解集在数轴上表示为( )ABCD【答案】A解：解不等式得，；解不等式得， 所以，不等式组的解集为：在数轴上表示为：故选：A8若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第
12、三象限，则所有满足条件的整数的值之和是()ABC0D1【答案】C解：由不等式组，得，关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，解得-3a1，一次函数y=(a-2)x+a+1不经过第三象限，a-20且a+10，-1a2，又-3a1，-1a1，整数a的值是-1，0，1，所有满足条件的整数a的值之和是：-1+0+1=0，故选：C9关于的不等式组只有3个整数解，求的取值范围( )ABCD【答案】A解：，解得，解得，不等式组的解集为：，不等式组只有3个整数解，解得，故选：A10若整数a是使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得且关于y的分式方程a有非负数解，则所有满足条件的整数a的个数为( )A6B
13、5C4D3【答案】B解： 由得，2(x-1)3x-6 解得：x4， 由得，x，有且只有2个整数解，12，解得，1a7,a2y+3-a-1=a(y-1)(2-a)y=-2 y=,a2有非负数解，2-a0，a2，1a7 ，2a7a可为3、4、5、6、7，故答案为：B.11不等式组的解集是_【答案】解：不等式 的解集是 x2， 不等式 的解集是 x1在数轴上表示为 ：原不等式组的解集是 x2故答案为：x 212已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点，则一元二次不等式的解集为_【答案】x1.如图所示：二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点，=224m=0，解得：m=1，故y=x2+
14、2x+1,则图象与x轴交于点(1,0)，故一元二次不等式x2+2x+m0的解集为：x1.故答案为：x1.13已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则一元二次不等式ax2bxc0的解是_【答案】1x0得：x-a，解不等式3a-4x0得：xa，不等式的解集为：-axa，方程组只有三个整数解，方程组的解包括0，方程组的整数解为：0、1、2或-1、0、1或-2、-1、0，当整数解为0、1、2时： ，方程组无解，当整数解为-1、0、1时：，解得：a，当整数解为-2、-1、0时： 方程组无解，a的取值范围为：a，故答案为a20对于满足0p4的一切实数，不等式x2+px4x+p3恒成立，则实数x
15、的取值范围是_【答案】x3或x1【解析】试题解析：令y=x2+px-(4x+p-3)=x2+px-3x-(x+p-3)=x(x+p-3)-(x+p-3)=(x-1)(x+p-3)0其解为 x1 且 x3-p，或x1 且x3-p，因为 0p4，-13-p3，在中，要求x大于1和3-p中较大的数，而3-p最大值为3，故x3；在中，要求x小于1和3-p中较小的数，而3-p最小值为-1，故x-1；故原不等式恒成立时，x的取值范围为：x3或x-1故答案为：x3或x-121请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x23x0解：x(x3)0，或， 解得x3或x0一元二次不等式x23x0的解集为x0或x3结合上
16、述解题过程回答下列问题：(1)上述解题过程渗透的数学思想为；(2)一元二次不等式x23x0的解集为；(3)请用类似的方法解一元二次不等式：x22x30【答案】(1)转化的思想；(2)0x3；(3)1x3(1)根据解题过程知，解题过程渗透的数学思想为：转化的思想；(2)x23x0，即x(x3)0，或，解得：0x3，一元二次不等式x23x0的解集为0x3；(3)x22x30，即(x3)(x1)0，则或，解得：-1x3一元二次不等式x22x30的解集为：-1x322先阅读理解下列题，再按要求完成问题：例题：解一元二次不等式 解：把分解因式得：又所以由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，有(1)或(
17、2)，解不等式组(1)，得解不等式(2)，得因此，一元二次不等式的解集为或；问题；根据阅读解不等式：.【答案】【解析】因为，由有理数除法法法则“两数相除，异号得负”，有(1)或(2)，再分别求出这两个不等式组的解集即可.因为，由有理数除法法法则“两数相除，异号得负”，有(1)或(2)解不等式组(1)，得解不等式(2)，得无解因此的解集为.23请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：.解：，或，解得或.一元二次不等式的解集为或.结合上述解答过程回答下列问题：(1)上述解题过程渗透的数学思想为_；(2)一元二次不等式的解集为_；(3)请用类似的方法解一元二次不等式：.【答案】(1)分类讨论思想；(2
18、)；(3).(1)分类讨论思想；(2)由解题过程可知：，即.，或，解得.(3)，即，则或，解得.一元二次不等式的解集为.24阅读材料，解答问题.例：用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数.，抛物线开口向上.又当时，解得，.由此得抛物线的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当或时，.的解集是：或.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是_；(2)仿照材料、用图象法解一元二次不等式：.【答案】(1)；(2)或(1)观察图象可知：时，y0，的解集是，故答案为：(2)设，则是的二次函数，抛物线开口向上.又当时，解得，.由此得抛物线的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当或时，.的解集
19、是：或.25阅读材料，解答问题：例：用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数抛物线开口向上 又当时，解得由此得抛物线的大致图象如图所示 观察函数图象可知：当或时，的解集是：或(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：【答案】(1)-1x3；(2)x3，作图见解析.(1)观察图象可以写出直接写出一元二次不等式：的解集是-1x3；(2)设,则y是x的二次函数，抛物线开口向下.当y=0时，解得：由此得抛物线的大致图象如图所示：观察图象可知：当x3时，y0；的解集是： x326先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式
20、0.解：令y=，画出y=如图所示，由图像可知：当x1或x2时，y0.所以一元二次不等式0的解集为x1或x2.填空：(1)0的解集为 ；(2)0的解集为 ；用类似的方法解一元二次不等式0.【答案】(1)1<x<2；(2)x<-1或x>1；-6x1.【解析】(1)0的解集为1x2；(2)0的解集为x1；令y=画出y=如图所示：由图像可知：当-6x1，y0所以一元二次不等式0的解集为-6x1.27解一元二次不等式 请按照下面的步骤，完成本题的解答解： 可化为 (1)依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组 或不等式组_ (2)解不等式组，得_ (3)解不等式组，得_ (4)一
21、元二次不等式 的解集为_【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或.(1)“两数相乘，同号得正”，另一不等式组应为；故答案为：(2)，解不等式得x2，解不等式得x2.不等式组的解集为x2.故答案为：x2(3)，解不等式得x2，解不等式得x2.不等式组的解集为x2.故答案为：x2(4)不等式组的解集为x2，不等式组的解集为x2，所以一元二次不等式x240的解集为x2或x2.故答案为：x2或x2.28先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式x23x+20解：令y=x23x+2，画出y=x23x+2如图所示，由图象可知：当x1或x2时，y0所以一元二次不等式x23x+20的解集为
22、x1或x2(1)填空：x23x+20的解集为 ；x23x0的解集为 (2)用类似的方法解一元二次不等式：x22x+30【答案】(1)1x2；x0或x3；(2)3x1【解析】解：(1)x23x+20的解集为1x2；x23x0的解集为x0或x3；故答案为1x2；x0或x3；(2)令y=x22x+3=(x+1)2+4，画出y=x22x+3的图象，如图所示，由图象可知 当3x1时，y0，所以一元二次不等式x22x+30的解集为3x129先阅读，再解题.例题:解一元二次不等式 (x+3)(x-3)0解:因为 (x+3)(x-3)0.由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”，所以有 或 解不等式组,得x3
23、,解不等式组,得x0的解集为x3或x0的解集为x3或x-3问题:求不等式的解集.【答案】【解析】由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”得， 不等式组 或 . 解不等式组得 ； 解不等式组得 无解 ； 所以原不等式的解集为 . 30阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：x22x30解：设y=x22x3，则y是x的二次函数a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x22x3=0，解得x1=1，x2=3由此得抛物线y=x22x3的大致图象如图所示观察函数图象可知：当x1或x3时，y0x22x30的解集是：x1或x3(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x22x30的解集是_； (2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x210【答案】解：(1)x1或x3；(2)设y=x21，则y是x的二次函数，a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x21=0，解得x1=1，x2=1由此得抛物线y=x21的大致图象如图所示观察函数图象可知：当x1或x1时，y0x210的解集是：x1或x1
