1、南京市中华中学20212022学年度第二学期期末试卷 高一数学 2022.06本卷考试时间：120分钟 总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1已知复数z12i，则复数z在复平面内对应的点位于第( )象限A一 B二 C三 D四2如果a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )Aab Bab Ca2b2 D|a|b|3我国古代数学名著九章算术中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遗一百人，问北乡人数几何? ”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人
2、，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调100人(用分层抽样的方法)，则北面共有( )人”A7200 B8100 C2496 D23044在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc，则A( )A120 B150 C45 D605如图所示的是函数yf(x)的图像，则函数f(x)可能是( )Ayxsinx Byxcosx Cyxsinxxcosx Dyxsinxxcosx6“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大假设李某能方较强，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有n个水平相同的人组成的团队也在研究项目M，团队成员各自独立解决项目M的概率
3、都是0.4如果这个n人的团队解决项目M的概率为P2，且P2P1，则n的最小值是(参考数据：lg20.30，lg30.48)( )A4 B5 C6 D77在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必通过ABC的( )A垂心 B内心 C外心 D重心8已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAB平面ABCD，且PAB为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A B C32 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分9已知ab，|a|2|b|8，则|ab|的值可能为( )A
4、4 B8 C10 D1210在ABC中，下列结论中，正确的是( )A若cos2Acos2B，则ABC是等腰三角形B若sinAsinB，则ABC若AB2AC2BC2，则ABC为钝角三角形D若A60，AC4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(2，)11已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为1，则( )A正方体的外接球的表面积为12 B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2 D线段MN的最大值为212已知函数f(x)|cos2x|cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为( )Af(x)在区间，上单调递增 B是f(x)的一个周期Cf(x)的值域
5、为，2 Df(x)的图象关于y轴对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分(第16题第一空2分，第二空3分)13计算： 14有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是 15某一时段内，从天空降落到地面上的雨水未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，标为这个时段的降雨量(单位：mm)24小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量(精确到0.1)0.19.910.024.925.049.950.099.9降雨等级小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器若一次降雨过程中，该雨量
6、器收集的24小时的雨水高度是150mm(如图所示)，则这24小时的降雨量的等级是 16拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若BAC30，DF4，利用拿破仑定理可求得ABAC的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1(1
7、i)z235i(1)求z1和z2(2)写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程18(本小题满分12分)已知a(3，1)，b(，k)，求k为何值时：(1)ab； (2)ab； (3)a与b的夹角为钝角19(本小题满分12分)某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的5组，制成如图所示的频率分布直方图(1)求图中x的值；(2)估计这组数据的平均数；(3)若成绩在50，60)内的学生中男生占40%现从成绩在50，60)内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率20(本小题满分12分
8、)如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABADAC6，PABC8，PD10，M为棱AD上一点，且AM2MD，N为棱PC的中点(1)证明：平面PAB平面ABCD；(2)求四棱锥NBCDM的体积21(本小题满分12分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)若a2b2kc20(kR)，求符合条件的k的最小值22(本小题满分12分)由倍角公式cos2x2cos2x1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3xcos(2xx)cos2xcosxsin2xsinx(2cos2x1)cosx2(sinxsinx)sinx2cos3xcosx2(2cos2x)cosx4cos3x3cosx可见cos3x可以表示为cosx的主次多项式一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnxPn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式(1)求证：sin3x3sinx4sin3x；(2)请求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示；(3)利用结论cos3x4cos3x3cosx，求出sin18的值
