1、第15讲导数的意义及运算,1.函数导数的定义,2.导数的几何意义和物理意义,(1)导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是ss(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为vs(t0).如果物体运动的速度随时间变化的规律是vv(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时加速度为av(t0).,3.基本初等函数的导数公式表,0,x1,sin x,ex,4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；,u(
2、x)v(x)u(x)v(x),1.已知函数f(x)42x2，则f(x)( ),A.4x,B.8x,C.82x,D.16x,2.若f(x)在x0处可导，则f(x0)( ),C,A,3.(2017 年广东广州一模)设函数 f(x)x3ax2，若曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 xy0，则点 P 的坐标为,(,)A.(0,0)B.(1，1)C.(1,1)D.(1，1)或(1,1),答案：D,考点 1 导数的概念,例 1：设 f(x)在 x0处可导，下列式子与f(x0)相等的是(,),A.,B.,C.,D.,所以正确.故选 B.答案：B,【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式
3、,其中k(一般用x 表示)可正可负，,定义式的关键是一定要保证分子与分母中k 的一致性.,【互动探究】,A,考点 2,导数的计算,例 2：(1)(2017 年湖北荆州沙市中学统测)若f(x)x(2017,ln x)，f(x0)2018，则x0(),A.e2,B.1,C.ln 2,D.e,解析：f(x)x(2017ln x)2017xxln x，f(x)20171ln x2018ln x.f(x0)2018，f(x0)2018ln x02018.ln x00ln 1.x01.故选B.答案：B,(2)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x2,2xf(2)，则f(5)_.,解析：对
4、f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2).令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)6.,答案：6,【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin 的自变量为x，而f()x2sin 的自变量为.,【互动探究】,答案：A,考点 3,导数的意义,考向 1,导数的物理意义,答案：D,考向 2,导数的几何意义,211.所以在(1,2)处的切线方程为 y21(x1)
5、，即 yx1.答案：yx1,(2)(2017 年天津)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_.,所以在点(1，a)处的切线为 ya(a1)(x1)，即 y,(a1)x1.,所以 l 在 y 轴上的截距为 1.答案：1,(3)(2015 年新课标)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：因为 f(x)3ax21，所以f(1)3a1.即切线斜率 k3a1.又因为 f(1)a2，所以切点为(1，a2).,因为切线过点(2,7)，所以,a2712,3a1.解得 a1.,答案：1,
6、(4)(2015 年陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线 y,1x,(x0)上点处的切线垂直，则点 P 的坐标为_.,答案：(1,1),【规律方法】求曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点),的切线方程，其方法如下：,求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).,易错、易混、易漏混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误例题：已知函数f(x)ax3bx23x在 x1 处取得极值，若过点 A(0,16)作曲线 yf(x)的切线，则切线方程为
7、_.正解： f(x)3ax22bx3，由题意 x1 是方程 f(x)0 的根，,曲线方程为 yx33x ，点 A(0,16)不在曲线上.,答案：9xy160,【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公共点，显然直线 x1 不是切线”.,(2)求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).,(3)求过点P(x0，y0)(该点不一定为切点)且与曲线 yf(x)相切的切线方程，其方法如下： 设切点A(xA，yA)，求切线的斜率kf(xA)；,出xA ，进而求出切线方程.,
