1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (四十 ) 两直线的位置关系 A 基础巩固练 1 (2018 怀化模拟 )已知直线 ax 2y 2 0 与 3x y 2 0 平行，则系数 a ( ) A 3 B 6 C 32 D.23 解析 直线 ax 2y 2 0 与直线 3x y 2 0 平行， a2 3， a 6.故选B. 答案 B 2 (2018 济南模拟 )“ m 3” 是 “ 直线 l1： 2(m 1)x (m 3)y 7 5m 0 与直线 l2：(m 3)x 2y 5 0 垂直 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由 l1 l
2、2，得 2(m 1)(m 3) 2(m 3) 0， m 3 或 m 2. m 3 是 l1 l2的充分不必要条件 答案 A 3 (2018 兰州月考 )一只虫子从点 O(0,0)出发，先爬行到直线 l： x y 1 0 上的 P点，再从 P 点出发爬行到点 A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是 ( ) A. 2 B 2 C 3 D 4 解析 点 O(0,0)关于直线 x y 1 0 的对称 点为 O( 1,1)，则虫子爬行的最短路程为 |O A| 2 2 2. 答案 B 4 (2018 湖北武汉一模 )已知 M ? x， y ? ?y 3x 2 3 ， N (x， y)|ax 2y a0，且
3、M N ?，则 a 等于 ( ) A 6 或 2 B 6 C 2 或 6 D 2 解析 集合 M 表示去掉一点 A(2,3)的直线 3x y 3 0，集合 N 表示恒过定点 B(1,0)的直线 ax 2y a 0.因为 M N ?，所以两直线平行，或直线 ax 2y a 0 过点A(2,3)，因此 a2 3 或 2a 6 a 0，即 a 6 或 a 2. 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 绵阳模拟 )若 P， Q 分别为直线 3x 4y 12 0 与 6x 8y 5 0 上任意一点，则 |PQ|的最小值为 ( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 解析
4、因为 36 48 125 ，所以两直线平行， 由题意可知 |PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即 | 24 5|62 82 2910，所以 |PQ|的最小值为 2910，故选 C. 答案 C 6 (2018 厦门模拟 )将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0,2)与点 (4,0)重合，点 (7,3)与点 (m， n)重合，则 m n 等于 ( ) A.345 B.365 C.283 D.323 解析 由题意可知，纸的折痕应是点 (0,2)与点 (4,0)连线的中垂线， 即 直 线 y 2x 3 ， 它 也 是 点 (7,3) 与点 (m ， n) 连 线 的 中 垂 线 ， 于 是? 3
5、n2 2 7 m2 3，n 3m 712，解得? m 35，n 315 ，故 m n 345 ，故选 A. 答案 A 7已知点 P(0， 1)，点 Q 在直线 x y 1 0 上，若直线 PQ 垂直于直线 x 2y 5 0，则点 Q 的坐标是 _ 解析 设 Q(x0， y0)，因为点 Q 在直线 x y 1 0 上，所以 x0 y0 1 0 . 又直线 x 2y 5 0 的斜率 k 12，直线 PQ 的斜率 kPQ y0 1x0，所以由直线 PQ 垂直于直线 x 2y 5 0， 得 y0 1x0 ? ? 12 1 . 由 解得 x0 2， y0 3，即点 Q 的坐标是 (2,3) 答案 (2,
6、3) =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 (2018 忻州训练 )已知两直线 l1： ax by 4 0 和 l2： (a 1)x y b 0，若 l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 a b _. 解析 由题意得? a b a 0，4a2 b 2|b|a 2 1.解得? a 2，b 2 或 ? a 23，b 2.经检验，两种情况均符合题意， a b 的值为 0 或 83. 答案 0 或 83 9 (2018 宁夏固原二模 )若 m0， n0，点 ( m， n)关于直线 x y 1 0 的对称点在直线 x y 2 0 上，那么 1m 4n的最小值等于 _ 解析 由题意知 ( m，
7、 n)关于直线 x y 1 0 的对称点为 (1 n,1 m) 则 1 n (1 m) 2 0，即 m n 2. 于是 1m 4n 12(m n)? ?1m 4n 12 ? ?5 nm 4mn 12(5 22) 92. 答案 92 10 (2018 北京朝阳区模拟 )已知 ABC 的顶点 A(5,1)， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x y 5 0， AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x 2y 5 0，求直线 BC 的方程 解 依题意知： kAC 2， A(5,1)， lAC为 2x y 11 0， 联立 lAC、 lCM得? 2x y 11 0，2x y 5 0， C(4,3
8、) 设 B(x0， y0)， AB 的中点 M 为 ? ?x0 52 ， y0 12 ， 代入 2x y 5 0，得 2x0 y0 1 0， ? 2x0 y0 1 0，x0 2y0 5 0， B( 1， 3)， =【 ;精品教育资源文库 】 = kBC 65， 直线 BC 的方程为 y 3 65(x 4)， 即 6x 5y 9 0. B 能力提升练 1已知 P(x0， y0)是直线 l： Ax By C 0 外一点，则方程 Ax By C (Ax0 By0 C) 0 表示 ( ) A过点 P 且 与 l 垂直的直线 B过点 P 且与 l 平行的直线 C不过点 P 且与 l 垂直的直线 D不过点
9、 P 且与 l 平行的直线 解析 因为 P(x0， y0)是直线 l1： Ax By C 0 外一点，所以 Ax0 By0 C k， k0. 若方程 Ax By C (Ax0 By0 C) 0，则 Ax By C k 0. 因为直线 Ax By C k 0 和直线 l 斜率相等， 但在 y 轴上的截距不相等， 故直线 Ax By C k 0 和直线 l 平行 因为 Ax0 By0 C k，而 k0 ， 所以 Ax0 By0 C k0 ， 所以直线 Ax By C k 0 不过点 P. 答案 D 2在等腰直角三角形 ABC 中， AB AC 4，点 P 是边 AB 上异于 A， B 的一点光线从
10、点P 出发，经 BC， CA 反射后又回到点 P(如图 )若光线 QR 经过 ABC 的重心，则 AP 等于 ( ) A 2 B 1 C.83 D.43 解析 以 AB、 AC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(4,0)，C(0,4)，得 ABC 的重心 D? ?43， 43 ，设 AP x，从而 P(x,0)， x (0,4)，由光的几何性质可知点 P 关于直线 BC、 AC 的对称点 P1(4,4 x)， P2( x,0)与 ABC 的重心 D? ?43， 43 共线， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以4343 x43 x43 4，求得 x
11、43. 答案 D 3如图，已知直线 l1 l2，点 A 是 l1， l2之间的定点，点 A 到 l1， l2之间的距离分别为 3 和 2，点 B 是 l2上的一动点，作 AC AB，且 AC 与 l1交于点 C，则 ABC 的面积的最小值为 _ 解析 以 A 为坐标原点，平行于 l1的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a， 2)， C(b,3) AC AB， ab 6 0， ab 6， b 6a. Rt ABC 的面积 S 12 a2 4 b2 9 12 a2 4 36a2 9 12 72 9a2 144a2 12 72 72 6. 答案 6 4 (2018 重庆模拟 )在平面直
12、角坐标系内，到点 A(1,2)， B(1,5)， C(3,6)， D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是 _ 解析 如图，设平面直角坐标系中任一点 P， P 到点 A(1,2)， B(1,5)， C(3,6)， D(7， 1)的距离之和为 |PA| |PB| |PC| |PD| |PB| |PD| |PA| |PC| BD| |AC|QA| |QB| |QC| |QD|，故四边形 ABCD 对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点 =【 ;精品教育资源文库 】 = A(1,2)， B(1,5)， C(3,6)， D(7， 1)， 直线 AC 的方程为 y 2 2(x 1)，直线 BD 的方程
13、为 y 5 (x 1) 由? y 2 x ，y 5 x ， 得 Q(2,4) 答案 (2,4) 5已知三条直线： l1： 2x y a 0(a0)； l2： 4x 2y 1 0； l3： x y 1 0，且l1与 l2间的距离是 7 510 . (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件； 点 P 在第一象限； 点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 12； 点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 2 5. 若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由 解 (1)直线 l2： 2x y 12 0，所以两条平行线 l1与 l2间的距离为 d ?
14、 ?a ? ? 1222 2 7 510 ， 所以 ? ?a 125 7 510 ，即 ?a 12 72， 又 a0，解得 a 3. (2)假设存在点 P，设点 P(x0， y0) 若点 P 满足条件 ，则点 P 在与 l1， l2平行的直线 l ： 2x y c 0 上， 且 |c 3|5 12 ? ?c 125 ，即 c132 或116 ， 所以直线 l 的方程为 2x0 y0 132 0 或 2x0 y0 116 0； 若点 P 满足条件 ，由点到直线的距离公式， 有 |2x0 y0 3|5 25 |x0 y0 1|2 ， 即 |2x0 y0 3| |x0 y0 1|， =【 ;精品教育
15、资源文库 】 = 所以 x0 2y0 4 0 或 3x0 2 0； 由于点 P 在第一象限，所以 3x0 2 0 不可能 联立方程 2x0 y0 132 0 和 x0 2y0 4 0， 解得? x0 3，y0 12 (舍去 )； 联立方程 2x0 y0 116 0 和 x0 2y0 4 0， 解得? x0 19，y0 3718.所以存在点 P? ?19， 3718 同时满足三个条件 C 尖子生专练 已知直线 l： x 2y 8 0 和两点 A(2,0)， B( 2， 4) (1)在直线 l 上求一点 P，使 |PA| |PB|最小； (2)在直线 l 上求一点 P，使 |PB| |PA|最大 解析 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A( m， n)， 则? n 0m 2 2，m 22 2n 02 8 0，解得? m 2，n 8， 故 A( 2,8) P 为直线 l 上的一点，则 |PA| |PB| |PA| |PB| A B|，当且仅当 B， P， A 三点共线时， |PA| |PB|取得最小值，为 |A B
