1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (四十七 ) 圆的方程 基础巩固 一、选择题 1已知点 A(1， 1)， B( 1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是 ( ) A x2 y2 2 B x2 y2 2 C x2 y2 1 D x2 y2 4 解析 AB 的中点坐标为 (0,0)， |AB| 1 2 1 2 2 2， 圆的方程为 x2 y2 2. 答案 A 2 (2017 豫北名校 4 月联考 )圆 (x 2)2 y2 4 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是( ) A (x 3)2 (y 1)2 4 B (x 2)2 (y 2)2 4 C x2 (y 2)2 4 D (
2、x 1)2 (y 3)2 4 解析 设圆 (x 2)2 y2 4 的圆心 (2,0)关于直线 y 33 x 对称的点的坐标为 (a， b)，则有? ba 2 33 1，b233 a 22 ，解得 a 1， b 3，从而所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 4.故选 D. 答案 D 3 (2017 湖南长沙二模 )圆 x2 y2 2x 2y 1 0 上的点到直线 x y 2 距离的最大值是 ( ) A 1 2 B 2 C 1 22 D 2 2 2 解析 将圆的方程化为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心坐标为 (1,1)，半径为 1，则圆心到直 线 x y 2 的距离 d |1 1 2|
3、2 2，故圆上的点到直线 x y 2 距离的最大值为 d 1 2 1，选 A. 答案 A 4若曲线 C： x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值=【 ;精品教育资源文库 】 = 范围为 ( ) A ( ， 2) B ( ， 1) C (1， ) D (2， ) 解析 曲线 C 的方程可以化为 (x a)2 (y 2a)2 4，则该方程表示圆心为 ( a,2a)，半径等于 2 的圆 因为圆上的点均在第 二象限，所以 a2. 答案 D 5点 P(4， 2)与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A (x 2)2 (y 1)2 1 B
4、 (x 2)2 (y 1)2 4 C (x 4)2 (y 2)2 4 D (x 2)2 (y 1)2 1 解析 设圆上任一点坐标为 (x0， y0)，则 x20 y20 4，连线中点坐标为 (x， y)， 则? 2x x0 4，2y y0 2 ? x0 2x 4，y0 2y 2， 代入 x20 y20 4 中得 (x 2)2 (y 1)2 1. 答案 A 6 (2017 福建厦门 4 月联考 )若 a ? ? 2， 0， 1， 34 ，则方程 x2 y2 ax 2ay 2a2a 1 0 表示的圆的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a
5、1 0 表示圆的条件为 a2 4a2 4(2a2 a1)0，即 3a2 4a 40)，因为该圆与直线 y x 3 相切，所以 r | 1 3|2 2，故该圆的标准方程是 x2 (y 1)2 2. 答案 x2 (y 1)2 2 14 (2017 江苏卷 )在平面直角坐标系 xOy 中， A( 12,0)， B(0,6)，点 P 在圆 O： x2 y2 50 上若 PA PB20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 _ 解析 本题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交 解法一：设 P(x， y)，则由 PA PB20 可得， ( 12 x)( x) ( y)(6 y)20 ， 即
6、(x 6)2 (y 3)265 ， 所以 P 为圆 (x 6)2 (y 3)2 65 上或其内部一点 又点 P 在圆 x2 y2 50 上， 联立得? x2 y2 50，x 2 y 2 65， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得? x 1，y 7 或 ? x 5，y 5， 即 P 为圆 x2 y2 50 的劣弧 MN 上的一点 (如图 )， 易知 5 2 x1. 解法二：设 P(x， y)，则由 PA PB20 ， 可得 ( 12 x)( x) ( y)(6 y)20 ，即 x2 12x y2 6y20 ， 由于点 P 在圆 x2 y2 50 上， 故 12x 6y 300 ，即 2x y
7、 50 ， 点 P 为圆 x2 y2 50 上且满足 2x y 50 的点，即 P 为圆 x2 y2 50 的劣弧 MN 上的一点 (如图 ) 同解法一，可得 N(1,7)， M( 5， 5)， 易知 5 2 x1. 答案 5 2， 1 15已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y2 8y 0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 M 的轨迹方程； (2)当 |OP| |OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2 (y 4)2 16，所以圆心为 C(0
8、,4)，半径为 4. 设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x,2 y) 由题设知 CM MP 0， 故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0， 即 (x 1)2 (y 3)2 2. 由于点 P 在圆 C 的内部， 所以 M 的轨迹方程是 (x 1)2 (y 3)2 2. (2)由 (1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆 由于 |OP| |OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上， 又 P 在圆 N 上，从而 ON PM. 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 13， 故 l 的方程为 y 13x 83. 又 |OM| |OP|
9、 2 2， O 到 l 的距离为 4 105 ， |PM| 4 105 ， 所以 POM 的面积为 12 4 105 4 105 165. 16 (2017 吉林省实验中学模拟 )已知圆 M 过 C(1， 1)， D( 1,1)两点，且圆心 M 在直线 x y 2 0 上 (1)求圆 M 的方程； (2)设 P 是直线 3x 4y 8 0 上的动点， PA， PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值 解 (1)设圆 M 的方程为 (x a)2 (y b)2 r2(r0)， 根据题意得? a 2 1 b 2 r2， 1 a 2 b 2 r2，a b 2 0
10、，解得 a b 1， r 2， 故所求圆 M 的方程为 (x 1)2 (y 1)2 4. (2)由题意知，四边形 PAMB 的面积为 S S PAM S PBM 12(|AM| PA| |BM| PB|) =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 |AM| |BM| 2， |PA| |PB|，所以 S 2|PA|，而 |PA|2 |PM|2 |AM|2 |PM|2 4， 所以 S 2 |PM|2 4.因此要求 S 的最小值，只需求 |PM|的最小值，即在直线 3x 4y8 0 上找一点 P，使得 |PM|的值最小，所以 |PM|min 3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为2 |PM|2 4 2
11、 5. 延伸拓展 1若过点 (1,2)总可以作两条直线与圆 x2 y2 kx 2y k2 15 0 相切，则实数 k 的取值范围是 _ 解析 由 k2 4 4(k2 15)0， 得 8 33 0， 得 k2. 所以 k 的取值范围是 ? ? 8 33 ， 3 ? ?2， 8 33 . 答案 ? ? 8 33 ， 3 ? ?2， 8 33 2 (2017 山西运城二模 )已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l： x 2y 0的距离为 55 ，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 3 1，则圆 C 的方程为 _ 解析 设圆 C 的方程为 (x a)2 (y b)2 r2，则点 C 到 x 轴， y 轴的距离分别为 |b|，|a|.由题意可知? r2 2b2，r2 a2 1，|a 2b|5 55 ，? a 1，b 1，r2 2或? a 1，b 1，r2 2.故所求圆 C 的方程为 (x 1)2 (y 1)2 2 或 (x 1)2 (y 1)2 2. 答案 (x 1)2 (y 1)2 2 或 (x 1)2 (y 1)2 2
