1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (十五 ) 导数与函数的极值、最值 A 基础巩固练 1 (2018 岳阳一模 )下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A y x3 B y ln( x) C y xe x D y x 2x 解析 由题可知， B、 C 选项中的函数不是奇函数， A 选项中，函数 y x3单调递增 (无极值 )，而 D 选项中的函数既为奇函数又存在极值 答案 D 2 (2018 哈尔滨调研 )函数 f(x) 12x2 ln x 的最小值为 ( ) A.12 B 1 C 0 D不存在 解析 f( x) x 1x x2 1x 且 x 0. 令 f( x) 0，得 x
2、 1.令 f( x) 0，得 0 x 1. f(x)在 x 1 处取得极小值也是最小值， f(1) 12 ln 1 12. 答案 A 3设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， c R)若 x 1 为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为 y f(x)图象的是 ( ) 解析 因为 f(x)ex f (x)ex f(x)(ex) f(x) f( x)ex，且 x 1 为函数 f(x)ex的一个极值点， ex 0，所以 f( 1) f( 1) 0；选项 D 中， f( 1) 0， f( 1) 0，不满足 f( 1) f( 1) 0. 答案 D 4设直线 x t 与函数 h(x)
3、x2， g(x) ln x 的图象分别交于点 M， N，则当 |MN|最小时 t 的值为 ( ) A 1 B.12 C. 52 D. 22 解析 由已知条件可得 |MN| t2 ln t， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 f(t) t2 ln t(t 0)，则 f( t) 2t 1t， 令 f( t) 0，得 t 22 ，当 0 t 22 时， f( t) 0， 当 t 22 时， f( t) 0， 当 t 22 时， f(t)取得最小值 答案 D 5 (2018 山西省太原五中二模 )正项等比数列 an中的 a1， a4033是函数 f(x) 13x3 4x2 6x 3 的极值点，则
4、log6a2017 ( ) A 1 B 2 C.12 D 1 解析 f(x) 13x3 4x2 6x 3， f( x) x2 8x 6， 正项等比数列 an中的 a1， a4033是函数 f(x) 13x3 4x2 6x 3 的极值点， a1 a4033 6， a2017 a1 a4033 6， log6a2017 log6 6 12. 故选 ： C. 答案 C 6若函数 f(x) 13x3 x2 23在区间 (a， a 5)上存在最小值，则实数 a 的取值范围是( ) A 5,0) B ( 5,0) C 3,0) D ( 3,0) 解析 由题意， f( x) x2 2x x(x 2)， 故
5、f(x)在 ( ， 2)， (0， ) 上是增函数，在 ( 2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令 13x3 x2 23 23得， x 0 或 x 3，则 结合图象可知，? 3 a 0a 5 0 ，解得 a 3,0)，故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 7要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使体积最大，则其高为 _cm. 解析 设圆锥的体积为 V cm3，高为 h cm， 则 V 13(400 h2)h 13(400 h h3)， V 13(400 3h2)，由 V 0，得 h 20 33 ， 所 以当 h 20 33 cm 时， V 最大 答案 203 3
6、8 (2018 东北八校月考 )已知函数 y f(x) x3 3ax2 3bx c 在 x 2 处有极值，其图象在 x 1 处的切线平行于直线 6x 2y 5 0，则 f(x)的极大值与极小值之差为 _ 解析 f( x) 3x2 6ax 3b， ? f 32 2 6a2 3b 0，f 31 2 6a1 3b 3， ? a 1，b 0， f( x) 3x2 6x，令 3x2 6x 0，得 x 0 或 x 2， f(x)极大值 f(x)极小值 f(0) f(2) 4. 答案 4 9函数 f(x) x3 3ax b(a 0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递减区间是 _ . 解析 令
7、 f( x) 3x2 3a 0，得 x a， 则 f(x)， f( x)随 x 的变化情况如下表： x ( ，a) a ( a，a) a ( a，) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 从而 ? a3 3a a b 6，a 3 3a a b 2，解得? a 1，b 4. 所以 f(x)的单调递减区间是 ( 1,1) 答案 ( 1,1) 10 (新课标全国卷 )已知函数 f(x) ln x a(1 x) (1)讨论 f(x)的单调性； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围 解 (1)f(x)的定义域为 (0， )
8、， f( x) 1x a. 若 a0 ，则 f( x) 0， 所以 f(x)在 (0， ) 上单调递增 若 a 0，则当 x ? ?0， 1a 时， f( x) 0； 当 x ? ?1a， 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ? ?0， 1a 上单调递增，在 ? ?1a， 上单调递减 (2)由 (1)知，当 a0 时， f(x)在 (0， ) 上无最大值；当 a 0 时， f(x)在 x 1a处取得最大值，最大值为 f? ?1a ln? ?1a a? ?1 1a ln a a 1. 因此 f? ?1a 2a 2 等价于 ln a a 1 0. 令 g(a) ln a a 1， 则 g(a
9、)在 (0， ) 上单调递增， g(1) 0.于是，当 0 a 1 时， g(a) 0；当 a 1 时，g(a) 0.因此， a 的取值范围是 (0,1) B 能力提升练 1 (2018 吉大附中第七次模拟 )已知函数 f(x)满足 f(x) xf( x) ln x，且 f(1)0，则函数 f(x)( ) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，也无极小值 解析 因为 f(x) xf( x) ln x，即 xf(x) ln x，所以 xf(x) xln x x c，其中 c 为常数，又因为 f(1) 0，所以 xf(x) xln x
10、x 1， f(x) ln x 1 1x， f( x) 1x 1x2 x 1x2 ，当 0 x 1 时， f( x) 0，当 x 1 时， f( x) 0，所以函数 f(x)在 x1 时取得极小值，无极大值 答案 B 2 (2018 郑州第三次质检 ) 设函数 f(x)满足 2x2f(x) x3f( x) ex， f(2) e28，则 x 2， ) 时， f(x)的最小值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.e22 B.3e22 C.e24 D.e28 解析 对于等式 x2f( x) 2xf(x) exx，因为 x 0，故此等式可化为： f( x)ex 2x2f xx3 ，且 f(2
11、) e2 8f8 0.令 g(x) ex 2x2f(x)， g(2) 0， g( x) ex 2x2f( x) 2xf(x) ex 2exxexx(x 2)当 x2 时， g( x) 0， g(x)单调递增，故 ming(x) g(2) 0，因此当 x 2 时， g(x)0 恒成立因为 f( x) g xx3 ，所以 f( x)0 恒成立因此， f(x)在 2， ) 上单调递增， f(x)的最小值为f(2) e28.故本题正确答案为 D. 答案 D 3 (2018 广西三市调研 )已知函数 f(x) ax lnx，当 x (0， e(e 为自然常数 )时，函数 f(x)的最小值为 3，则 a
12、的值为 _ 解析 易知 a0，由 f( x) a 1x ax 1x 0，得 x 1a，当 x ? ?0， 1a 时， f( x)0， f(x)单调递增 当 0e 即 a1e，舍去综上， a e2. 答案 e2 4已知 f(x) x3 6x2 9x abc， a0； f(0)f(1)0； f(0)f(3)0，得 x3， f(x)在区间 (1,3)上是减函数， 在区间 ( ， 1)， (3， ) 上是增函数 又 a0， y 极小值 f(3) abc0.又 x 1， x 3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图 =【 ;精品教育资源文库 】 = f(0)0. 正确结论的序号是 . 答
13、案 5 (2016 全国 卷 )设函数 f(x) ln x x 1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明当 x (1， ) 时， 11，证明当 x (0,1)时， 1 (c 1)xcx. 解 (1)由题设， f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1x 1，令 f( x) 0 解得 x 1. 当 00， f(x)单调递增； 当 x1 时， f( x)1，设 g(x) 1 (c 1)x cx， 则 g(x) c 1 cxln c，令 g(x) 0，解得 x0ln c 1ln cln c . 当 x0， g(x)单调递增； 当 xx0时， g( x)0. 所以当 x (0,1)时，
14、 1 (c 1)xcx. C 尖子生专练 (2017 课标 )已知函数 f(x) ae2x (a 2)ex x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)f(x)的定义域为 ( ， ) ， f( x) 2ae2x (a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1)， ( )若 a0 ，则 f( x) 0， 所以 f(x)在 ( ， ) 单调递减 ( )若 a 0，则由 f( x) 0 得 x ln a. 当 x ( ， ln a)时， f( x) 0； 当 x ( ln a， ) 时， f( x) 0， 所以
15、f(x)在 ( ， ln a)单调递减， 在 ( ln a， ) 单调递增 (2)( )若 a0 ，由 (1)知， f(x)至多有一个零点 ( )若 a 0，由 (1)知，当 x ln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f( ln a) 1 1a ln a. 当 a 1 时，由 于 f( ln a) 0， 故 f(x)只有一个零点； 当 a (1， ) 时，由于 1 1a ln a 0， 即 f( ln a) 0，故 f(x)没有零点； 当 a (0,1)时， 1 1a ln a 0，即 f( ln a) 0. 又 f( 2) ae 4 (a 2)e 2 2 2e 2 2 0， 故 f(x)在 ( ， ln a)有一个零点 设正整数 n0满足 n0 ln? ?3a 1 ， 则 f(n0) en0(aen0 a 2) n0 en0 n0 2n0 n0 0. 由于 ln? ?3a 1 ln a， 因此 f(x)在 ( ln a， ) 有一个零点 综上， a 的取值范围为 (0,1)
