1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题函数与基本初等函数（三）教学目的教学内容第五节 指数与指数函数（一）高考目标考纲解读1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型考向预测1指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用同时考查分类整合思想和数形结合思想2幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题（二）课前自主预习知识梳理1指数幂的概念(1)根
2、式如果一个数的n次方等于a(n1且nN)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，若xna，则x叫做，其中n1且nN.式子 叫做 ，这里n叫做 ，a叫做(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示正负两个n次方根可以合写为 (a0)()n .当n为奇数时， ；当n为偶数时，|a| .负数没有偶次方根零的任何次方根都是零2有理数指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是 (a0，m，nN，n1)正数的负分数指数幂是
3、(a0，m，nN，n1)0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质aras (a0，r，sQ)(ar)s (a0，r，sQ)(ab)r (a0，b0，rQ)3指数函数的图像与性质定义域值域过定点性质当x0时， ；x0时， ； x0且a1答案C解析由y(a23a3)ax为指数函数，可得，解得即a2.3(2011东营模拟)函数y的单调递增区间是()A(，1 B2，) C. D.答案D 解析令tx2x20，得函数定义域为1,2，所以tx2x2在上递增，在上递减根据“同增异减”的原则，函数y的单调递增区间是.4函数f(x)则f(3)_.答案 .解析f(3)f(32)f(1
4、)f(12)f(1)f(12)f(3)23.5(2009江苏文)已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_答案mn 解析本题主要考查指数函数的图像和性质a，0af(n)，mn.7若函数f(x)(a21)x在(，)上是减函数，求a的取值范围解析0a211，1a22，a1或1a0）,则log a= 答案3 2.命题方向:指数函数性质的考查例2求下列函数的定义域和值域(1)y|x1|；(2)y；(3)y2分析指数函数yax(a0，a1)的定义域为R，所以yaf(x)的定义域与f(x)定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则解析(
5、1)定义域为R.因为|x1|0，所以y|x1|01，所以值域为1，)(2)因为2x10恒成立，所以定义域为R.又因为y1，而01，所以10，解得0y0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立分析问题的关键是考查具有哪些性质，因x3对任意xR均有意义，其奇偶性易于考查解析(1)由于ax10，则ax1，得x0，所以函数f(x)的定义域为x|x0，xR(2)对于定义域内任意x，有f(x)(x)3(x3)(x)3x3f(x)f(x)是偶函数(3)当a1时，对x0，由指函数的性质知ax1，ax10，0，又x0时，x30，x30，
6、即当x0时，f(x)0.又由(2)，f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，当x0，有f(x)f(x)0成立综上知a1时，f(x)0在定义域上恒成立对于0a0时，1ax0，ax10，ax10，此时f(x)0，不满足题意；当x0，f(x)f(x)1.3.命题方向：指数函数的图像应用例3已知函数y|x1|.(1) 作出图像；(2)由图像指出其单调区间；(3)由图像指出当x取什么值时有最值分析 解析(1)解法1：由函数解析式可得y|x1|其图像由两部分组成：一部分是：yx(x0)yx1(x1)；另一部分是：y3x(x0)y3x1(x1)如图：解法2：由y|x|可知函数是偶函数，其图像关于y轴对称，故先
7、作出yx的图像保留x0的部分，当x0时，其图像是将yx(x0)图像关于y轴对折，从而得出y|x|的图像将y|x|向左移动1个单位，即可得y|x1|的图像，如图所示 (2)由图像知函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数(3)由图像知当x1时，有最大值1，无最小值跟踪练习3：已知实数a、b满足等式ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有 ()A1个 B2个 C3个 D4个答案B 解析作yx，yx的图像，如图当x0时，ab，则有ab0时，ab，则有0b0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时，f(x)b恒成立
8、，求b的取值范围分析(1)首先看函数的定义域，而后用奇偶性定义判断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决；(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值解析(1)函数定义域为R，关于原点对称又f(x)(axax)f(x)，f(x)为奇函数(2)当a1时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，f(x)为增函数当0a1时，a210，且a1时，f(x)在定义域内单调递增(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，在区间1,1上为增函数f(1)f(x)f(1)f(x)minf(1)(a1a)1.要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1.故b的取值范围是(，1点评
9、(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题跟踪练习4：已知函数f(x)a2x2ax1(a0，且a1)在区间1,1上的最大值为14，求实数a的值解析f(x)a2x2ax1(ax1)22，x1,1，(1)当0a1时，aax，当ax时，f(x)取得最大值2214，0a1时，axa，当axa时，f(x)取得最大值(a1)2214，a3.综上可知，实数a的值为或3.（五）思想方法点拨：1单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像
10、的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线当0a1时，x，y0；当a1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1，b0，且abab2，则abab的值等于()A.B2或2 C2 D2答案D解析a1，b0，abab.又abab2，(abab)2a2ba2b28，(abab)2a2ba2b24，abab2.2若函数yaxb1(a0，且a1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有()A0a0 Ba1，且b0C0a1，且b1，且b0答案C解析如图所示，图像与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0b10，b0，又图像经过第二、三、四象限， 0a1.故选C.3设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则
11、下列关系式中一定成立的是()A3c3b B3b3a C3c3a2 D3c3a2答案D解析作f(x)|3x1|的图像如图所示，由图可知，要使cbf(a)f(b)成立，则有c0，3c1f(a)，13c3a1，即3a3c0，a1时，yax是定义域上的单调函数，因此其最值在x0,1的两个端点得到，于是必有1a3，a2.6若函数y4x32x3的定义域为集合A，值域为1,7，集合B(，01,2，则集合A与集合B的关系为()AAB BAB CBA DAB答案A解析y2的值域为1,7，2x2,4x1,2，即A1,2AB.7(2010陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(xy
12、)f(x)f(y)”的是()A幂函数 B对数函数 C指数函数 D余弦函数答案C解析本题考查幂函数，指数函数、对数函数、余弦函数的性质对任意的x0，y0，只有指数函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)8(2011济宁模拟)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)()A. B. C. D.答案A解析23422，1log232，32log230且a1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是_答案解析数形结合由图可知02a1，作出0a1两种图像易知只有0a1有可能符合0a0，且a1)考向预测1对数运算是高中学习的一种重要运算，而对数函数又是最重要
13、的一类基本初等函数，因此该节内容是高考的重点2考查热点是对数式的运算和对数函数的图像、性质的综合应用，同时考查分类整合、数形结合、函数与方程思想3常以小题的形式考查对数函数的图像、性质，或与其他知识交汇以解答题的形式出现（二）课前自主预习知识梳理1对数的概念(1)对数的定义如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 .其中 叫做对数的底数， 叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1) .常数对数底数为 . .自然对数底数为 . .2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaN ；logaaN (a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式： logbN (a，b均
14、大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcd .(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)；loga；logaMn (nR)；logamMnlogaM.3对数函数的图像与性质a10a1时， .当0x1时， .当0x0，且a1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)()Alog2xB C. Dx2答案B 解析考查反函数的概念，指对函数的关系及对数的运算性质函数yax的反函数是f(x)logax，其图像经过点(，a)，aloga，a，f(x)4已知f(x)|logax|(0af f Bf f(2)f Cf f(2)f Df f f(2)答案D 解
15、析0alogaloga0.又logaloga2，|loga|loga2|，|loga|loga|loga2|，即f f f(2)5(1log63)2log62log618log64_.答案1解析原式(log62)2log62(1log63)2log62(log62)2log62log62log632log62log62log63log6(23)1.6设f(x)则满足f(x)的x值为_答案3 解析当x1时，令2x，则x2，不合题意；当x1时，令log81x，则x813.综上，x3.7已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)2x1.(1)求f(x)在1
16、,0)上的解析式；(2)求f(log 24)解析(1)令x1,0)，则x(0,1，f(x)2x1.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)2x1，f(x)x1.(2)log24log224(5，4)，log244(1,0)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(log24)f(log244)log2441241.（四）典型例题1.命题方向：对数的运算例1求值：(1)2(lg)2lglg5；(2)31log3624log23103lg3log341；(3)(lg2)3(lg5)33lg2lg5.分析灵活运用公式和性质进行计算，注意公式
17、的逆用解析(1)原式lg(2lglg5)lg(lg2lg5)1lglg1lg1.(2)原式33log36162log2310lg2732log316184827.(3)原式(lg2lg5)(lg2)2lg2lg5(lg5)23lg2lg5(lg2)2lg2lg5(lg5)23lg2lg5(lg2lg5)21.点评对数运算中注意逆用对数运算法则，若对数运算中出现不同的底，注意利用换底公式统一“底”，再进行运算跟踪练习1计算下列各题：(1)； (2)log3log5log210(3)7log72解析(1)原式1.(2)原式log3log52log210(3)7log72log5(1032)log5
18、5.2.命题方向：对数的概念及运算性质例2已知x、y、z为正数， (1)求使2xpy的p的值；(2)求与(1)中所求的p的差最小的整数；(3)求证=(4)比较3x,4y,6z的大小解析(1)设3x4y6zk(显然k1)，则xlog3k，ylog4k，zlog6k.由2xpy得2log3kplog4kp，log3k0，p2log34.(2)p2log34log316，2p，p23p，故与p的差最小的整数是3.(3)证明：logk6logk3logk2logk4.(4)k1，lgk03x4y(lg64lg81)0，4y6z(lg36lg64)0，3x4y0且a1)xlogaN，即指数式与对数式的互
19、化，另外，在分析该题时，可用方程思想作指导，将条件中的等式看作是关于x，y，z的方程组跟踪练习2(1)若2a5b10，求的值；(2)若xlog341，求4x4x的值解析(1)由已知alog210，blog510，则lg2lg5lg101.(2)由已知xlog43则4x4x4log434log433.3.命题方向：对数函数的图像与性质例3已知函数f(x)loga(2ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在0,1上是x的减函数，若存在，求a的取值范围分析参数a既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a的取值范围的制约解析a0，且a1，u2ax是x的减函数又f(x)loga(2ax)在0,1是减
20、函数，函数ylogau是u的增函数，且对x0,1时，u2ax恒为正数其充要条件是即1a1，在区间(，1上是减函数，所以g(x)x2axa在区间(，1上也是单调减函数，且g(x)0.，即.解得22a0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*且n为偶数)3注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambnlogab，logab在解题中的灵活应用4指数函数yax与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，要能从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别5比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做错的题目解决这类问题时，首先要分清是底数相同还是指数相同如果底数相同，可利用指数
21、函数的单调性；如果指数相同，可利用图像(如下表)同一坐标系下的图像关系当底大于1时，底越大，图像越靠近坐标轴；当底小于1大于0时，底越小，图像靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，则要利用中间变量（六）课后强化作业一、选择题1(2010四川文)函数ylog2x的图像大致是()ABCD答案C解析考查对数函数的图像2(2010天津理)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案C解析当a0时，由f(a)f(a)得，log2aloga，a1；当af(a)得，log(a)log2(a)，1abc0，则、的
22、大小关系是()A. B.C. D.答案B解析、可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)log2(x1)的图像及abc0可知.故选B.5已知logx1logax2loga1x30,0a1，则x1、x2、x3的大小关系是()Ax3x2x1 Bx2x1x3 Cx1x3x2 Dx2x30，画出图像后知选D.6设函数f(x)loga(xb)(a0且a1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则ab等于()A6 B5 C4 D3答案C解析由题意得解得a3，b1.于是ab4，选C.点评反函数的图像和原函数的图像关于直线yx对称点P(a，b)在原函数yf(x)的图像上点P(
23、b，a)在反函数yg(x)的图像上解答该题是不需要求出反函数的7(2010全国卷理)设alog32，bln2，c5，则()Aabc Bbca Ccab Dcblog2e1，所以a2log24log23，所以ca，综上ca0)的图像关于直线yx对称，则f(x)_.答案3x(xR)解析yf(x)是函数ylog3x(x0)的反函数11已知函数f(x)2x，等差数列an的公差为2，若f(a2a4a6a8a10)4，则log2f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)_.答案6解析f(a2a4a6a8a10)4，f(x)2x，a2a4a6a8a102，an为公差d2的等差数列，a1a2a102(a2a4a6a8a10)5d6.log2f(a1)f(a2)f(a10)log22a12a22a10log22a1a2a106.21
