1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：3课 题函数与基本初等函数（二）教学目的教学内容第三节 函数的奇偶性（一）高考目标考纲解读1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性考向预测1函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点2常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查（二）课前自主预习知识梳理1函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(x)满足图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f(x)满足当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有 （三）基础自测1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，x
2、RBysinx，xRCyx，xR Dyx，xR答案A解析ysinx在R上不单调，yx不是奇函数，yx为增函数，故B、C、D均错2(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的图像一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)A1 B2 C3 D4答案A解析错误，如函数f(x)是偶函数，但其图像与y轴没有交点；错误，因为奇函数的定义域可能不包含x0；正确；错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)0，x(a，a)3(2011上海宝山模拟)已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域
3、为a1,2a，则()Aa，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 Da3，b0答案A解析由f(x)ax2bx3ab为偶函数，得b0.又定义域为a1,2a，(a1)2a0，a.4 (2009重庆理)若f(x)a是奇函数，则a_. 答案解析考查函数的奇偶性f(x)为奇函数，f(1)f(1)，即aa，a.（四）典型例题1.命题方向：奇偶性的判定例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1)； (2)f(x)；(3)f(x)； (4)f(x)；(5)f(x)x2|xa|2.解析(1)由0，得定义域为1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，这时f(x)，f(x
4、)f(x)f(x)为奇函数(3)当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)当x0时，x0则f(x)(x)2(x)x2xf(x)对任意x(，0)(0，)都有f(x)f(x)，故f(x)为偶函数另解：1画函数f(x)的图像图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数2f(x)还可写成f(x)x2|x|，故为偶函数(4)由得x或x 函数f(x)的定义域为，又对任意的x，f(x)0. f(x)f(x)f(x)(5)函数f(x)的定义域为R当a0时f(x)f(x) f(x)是偶函数当a0时f(a)a22，f(a)a22|a|2f(a)f(a)且f(a)f(a)2(a2|a|2)2(|a|)20f(x)是非奇
5、非偶函数点评第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图像判断跟踪练习1判断函数f(x)的奇偶性解析由题意知解得4x0或0x4，函数的定义域关于原点对称f(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数.2.命题方向：奇偶性的应用例2已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k
6、的取值范围解析(1)f(x)是奇函数，f(0)0，即0，b1.f(x).又由f(1)f(1)知，a2.(2)解法1：由(1)知f(x).易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0.从而判别式412k0，解得k.解法2：由(1)知f(x)，又由题设条件得0，即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(22t2k1)1，因底数21，故3t22tk0.上式对一切tR均成立，从而判别式412k0，解得k0且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3
7、)当x(0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围解析(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)y，2x，由2x0知0，1y1，即f(x)的值域为(1,1)(3)不等式tf(x)2x2即为2x2.即：(2x)2(t1)2xt20.设2xu，x(0,1，u(1,2u(1,2时u2(t1)ut20恒成立，解得t0.（五）思想方法点拨1判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称如函数yx2(x(1,1)并不具备奇偶性因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：第一步先看函数f(
8、x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断即若有：f(x)f(x)或f(x)f(x)0或f(x)f(x)2f(x)或f(x)f(x)f 2(x)或f(x)/f(x)1为奇函数若有f(x)f(x)或f(x)f(x)0或f(x)f(x)2f(x)或f(x)f(x)f 2(x)或f(x)/f(x)1为偶函数(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称”来判断(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”(4)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不
9、为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性，求参数常常采用待定系数法利用关系式f(x)f(x)0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等求得字母的值2运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函
10、数在对称区间上的单调性相反，且f(x)f(x)f(|x|)。 （六）课后强化作业一、选择题1(2010重庆理)函数f(x)的图像()A关于原点对称 B关于直线yx对称C关于x轴对称 D关于y轴对称答案D解析f(x)2x2xf(x)f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称2已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0 Bf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0答案D解析x10，|x1|x2|，0x1x2又f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.选D.3(200
11、9辽宁理)已知偶函数f(x)在区间0，)单调递增，则满足f(2x1)f的x取值范围是()A. B. C. D.答案A解析考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法由题意得|2x1|2x12xx，选A.4(2010山东理)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1 C1 D3答案D解析f(x)是奇函数，f(0)0，即020b，b1，故f(1)2213，f(1)f(1)3.5已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D以上都有可能答案A
12、解析由x1x20，得x1x2.又f(x)为减函数，f(x1)f(x2)，又f(x)为R上的奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.同理f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，f(x1)f(x2)f(x3)0.6若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)f(2)0，因此g(0)f(2)0时，f(x)x，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值是_分析该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力答案1
13、解析因为函数f(x)x在(0,2)上为减函数，在2，)上为增函数，则当x1,3时，4f(x)5.又函数yf(x)为偶函数，故当x3，1时，4f(x)5，则mn的最小值是1.第四节 幂函数（一）高考目标考纲解读1了解幂函数的概念2结合函数yx，的图像，了解它们的变化情况考向预测1常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图像与性质2多以小题形式出现，常与函数性质、二次函数、方程、不等式交汇命题（二）课前自主预习知识梳理1幂函数概念形如 (aR)的函数称为幂函数，其中x是 ，a为 2幂函数的图像(以yx， 为例)3幂函数的图像和性质(1)所有的幂函数在 都有定义，并且图像都过点 (2 a)0时，幂函
14、数的图像通过原点，并且在区间0，)上是 (3) a 0，所以在第一象限内的图像是单调递增，因此在(，0)上为减函数3.下列各组函数中，定义域相同的是（ ）A. 与 B. 与C与 D. 与答案B解析选项A中，y=中x0,y=中xR;选项C，y= 中x 0, y= 中，xR，选项D中， y=中X0，而中x0，故选B.4下列命题：幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图像不可能在第四象限；n0时，函数yxn的图像是一条直线；幂函数yxn，当n0时是增函数；幂函数yxn，当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小其中正确的是()A B C D答案D解析yx在0时是增函数没有指明单调
15、区间，如y 在(，0)上是增函数是错误的，由幂函数的图像性质知正确5已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是_函数(填“奇”或“偶”)答案奇解析设f(x)= ,则=，即=，故a=-3.因此，故f(x)是奇函数。（四）典型例题1.命题方向：幂函数的定义例1已知f(x)(m22m) ，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？(5)在(4)的条件下，满足在(0，)上单调递增？分析(1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定m的值，(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系解析(1)若f(x)为正比例函数，则m1.(2)若f(x)为反比例
16、函数，则m1.(3)若f(x)为二次函数，则m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1.m1.(5)由(4)得m1.当m1时，m2m11，f(x)x1在(0，)上单调递减，不合题意；当m1时，m2m11，f(x)x1在(0，)上单调递增综上，m1.点评本题考查各种函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，并结合函数性质求出参数的值，同时分清哪种条件下的函数是幂函数跟踪练习1如果幂函数y(m23m3) 的图像不过原点，则m的取值是()A1m2 Bm1 Cm2 Dm1或m2答案D解析由幂函数的定义，m23m31，所以m1或m2.又图像不过原点，所以m2m20，解得1m2.综上，m1或m2
17、.2.命题方向：幂函数的图像及其应用例2点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)1或xg(x)；当x1或x1时，f(x)g(x)；当1x1且x0时，f(x)g(x)点评求幂函数解析式的步骤：(1)设出幂函数的一般形式yx(为常数)；(2)根据已知条件求出的值；(3)写出幂函数的解析式跟踪练习2已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)的图像与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式解析由是偶数，得m1或1或3.当m1或3时，解析式为f(x)x0(x0)；
18、当m1时，解析式为f(x)x4.3.命题方向：幂函数性质的应用例2比较下列各组值的大小：（1）和(2) 、和（3）和分析比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值解析（1）-=由于幂函数在上是减函数，所以，因此 ，即-（2）由于1,01，,0，因此.(3)由于指数函数在R上是减函数，所以。又由于幂函数在上是增函数，所以，故有.跟踪练习3当0ab1时，下列不等式正确的是（ ）答案D解析由0ab1，可知ab,0a1，01b1a1，(1a)b(1b)b.（五）思想方法点拨幂函数性质的理解1当0时，幂函数yx有下列性质：图像都过点(0,0)(1,1)；在第一象限内，函数值
19、随x的增大而增大；在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展2当0时，幂函数yx有下列性质：图像都通过点(1,1)；在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；在第一象限内，过(1,1)点后，|越大，图像下落的速度越快3(1)幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数(2)作函数yx的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出xcb Babc Ccab Dbca答案A解析该题考查幂函数和指数函数的性质对b和c，考查指数函数y()x，单调递减故，即bc，acb，故选A.6若集合Ay，1x1，B，则AB()A(，1) B1,1 C D1答
20、案D解析 在1x1时，有1y1；yx，在x0时，有y1，AB17(文)(09山东)给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图像不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A3B2 C1D0答案C解析原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假所以真命题个数为1.(理)函数 (nN且n9)的图像可能是() 答案C解析f(x)=f(x)，函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.令n18，则y，当x0时，y，由其在第一象限的图像知选C.8把函数f(x)x33x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2，若对任意
21、u0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析f(x)x33x，f(x)3(x21)，令f(x)0，得x1.x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上为增函数；x(1,1)时，f(x)0，f(x)在(1，)上为增函数故f(x)极大值f(1)2，f(x)极小值f(1)2.图像C2是由图像C1向右平移u个单位长度，向下平移v个单位长度所得到当图像C2的极大值点与C1的极小值点重合时，v有最小值，如图所示，即v的最小值为4.二、填空题9(2011南通模拟)已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k_.答案解析f(x)kx是幂函数，所以k1，由幂函数f(x)的图像过点，得，则k.10若，则它们的大小关系是_答案cba解析 ，即cba.11当x(0,1)时，yxp(p0)的图像在直线yx上方，则p的取值范围是_答案0,1)解析结合幂函数yx在第一象限的图像，当01时，yx在(0，)上是增函数，且x(0,1)时，图像在yx上方，x(1，)时，图像在yx下方；又p0时，yx01(x0)也满足故p的取值范围是0p1.15
