1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题三角函数（一）教学目的教学内容一、 知识网络 二、 命题分析1从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以13个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大2预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多
2、以小而活的选择题和填空题形式出现形如yAsin(x)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主三、复习建议1复习中要注意几个知识点的综合应用，这就要求我们要从整体上掌握本单元的知识结构，注重知识点之间的联系和综合运用并加大练习力度，解决公式的综合运用问题，提高计算能力2掌握正弦函数、余弦函数和yAsin(x)的图像和性质，这是历年高考的重点3在训练中，强化“变换”意识，但训练难度不宜过大，立足课
3、本，掌握常见问题的解法，熟记课本中出现的公式和常用到的重要的结论，并注意其变形应用4从“整体处理”的思想高度去认识理解运用“五点法”，尤其是对yAsin(x)的图像和性质的理解、应用5在复习过程中，要着重加强三角函数应用意识的训练四、知识讲解第一节 任意角、弧度制及三角函数定义（一）高考目标考纲解读1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义考向预测1三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函数值符号的确定2主要以选择题、填空题的形式考查（二）课前自主预习知识梳理1角的有关概念(1)角：角可以看成由 绕着端点从一个位置到另一个位
4、置所成的 .旋转开始时的射线叫做角的 ，旋转终止时的射线叫做角的 ，射线的端点叫做角的 (2)角的分类：角分 (按角的旋转方向)(3)在直角坐标系内讨论角象限角：角的顶点在原点，始边在 上，角的终边在第几象限，就说这个角是 象限界角：若角的终边在 ，就说这个角不属于任何象限，它叫 与角终边相同的角的集合：|k360，kZ(4)弧度制1弧度的角： 叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径以“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制比值与所取的r的大小 ，仅与 有关弧度与角度的换算：3602弧度；180 弧度弧长公式：
5、，扇形面积公式：S扇形lr|r2.2任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin，cos，tan，它们都是以角为 ，以比值为的函数3设角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中cos，sin，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T(T)，则tan .我们把有向线段OM、MP、AT(或AT)叫做的 （三）基础自测1与610角终边相同的角可表示为()
6、Ak360230，kZ Bk360250，kZCk36070，kZ Dk360270，kZ答案B解析由于610360250，所以610与250角的终边相同2已知角的终边经过点(，1)，则角的最小正值是()A. B. C. D.答案B解析sin，且的终边在第四象限，.3若，则点(tan，sin)在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案B解析易知在第二象限，则tan0.4若的终边过点P(2sin30，2cos30)，则sin的值为()A. B C D答案C解析P(2sin30，2cos30)即P(1，)，r2，故sin，故选C.5已知角的终边在直线y3x上，则10sin_.答案0解
7、析设终边上任一点P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin，cos，10sin330.当k0时，rk，sin，cos，10sin0.6若，则sin、cos、tan的大小关系为_答案cossin0)，且sinm，求 tan，cos的值解析m0，则P(，m)在第二象限，x，ym，r，sin，又sinm，.可知m，tan，cos.（四）典型例题1.命题方向：判断角所在象限例1(1)若sincos0，试确定所在象限(2)已知为第二象限角，则为第几象限角？分析(1)先确定sin与cos的符号，再判断所在象限；(2)用不等式表示出的范围，讨论可得所在象限解析(1)由sincos0，得 或由知在第一
8、象限，由知在第三象限，在第一或第三象限(2)为第二象限角，2k2k，kZ.kk，kZ.k为偶数时k2n(nZ)，2n2k为第一象限角；k为奇数时k2n1(nZ)，2n2n为第三象限角为第一或第三象限角点评问题(1)主要是利用三角函数值在各象限的符号来判断，注意是满足两个条件的公共解问题(2)主要是利用不等式表示出的范围，对k进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定所在象限跟踪练习1：设为第三象限角，试判断的符号解析为第三象限角，2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时在第二象限，(2n1)(2n1)(nZ)，即2n2n(nZ)，此时在第四象限，sin0，0.
9、综上可知：0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？分析(1)直接套用公式lR可求弧长，利用S弓S扇S可求弓形面积(2)将S扇表示为的函数，转化为函数求最大值问题解析(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60，R10，l，S弓S扇S10102sin6050()(2)解法1：扇形周长C2Rl2RR.R，S扇R2，当即2(2舍去)时，扇形面积有最大值.解法2：由已知2RlC，R(lC)，SRll(Cll2)2，当l时，Smax，此时2，当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.点评此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给
10、出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致跟踪练习2(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析(1)设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r，所以扇形的周长是（2rr）.依题意，得（2rr）r，2(2)()1.14257.3065.446526，扇形的面积为Sr2(2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r20，即l202r(0r0，r5a，角在第二象限，sin，cos，tan；若a0，cos0，点(si
11、n，cos)落在第一象限，又tan，故选D.4.命题方向：单位圆的应用已知：，求证：sintan.分析构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明证明设角与单位圆交于P，则MPsin，ATtan，如图所示， 的长l.连接AP.POA的面积OAMPsin.扇形OAP的面积lOA.OAT的面积OAATtan.SPOAS扇形OAPSOAT，即sintan.sincosx成立的x的取值范围是_答案解析由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2)内，使sinxcosx成立的x的取值范围为.（五）思想方法点拨：1弧度制与角度制不能混用，如2k30(kZ)，k360(kZ)都是不正确的2在
12、学习中要正确区分象限角和象限界角(角的终边落在坐标轴上的角)及它们的表示方法，特别是第一象限的角|k360k36090，kZ与锐角|090终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同3在高考中，主要考查象限角、终边相同的角，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是解题的关键点4在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更方便、简捷5要确定角所在的象限，只要把表示为2k0(kZ,002)，由0所在象限即可判定出所在的象限，由已知角的范围求复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围6扇形的弧长公式l|r和面积公式Slr，是解决有关圆问题的有效工具7已知角的终边上一点坐
13、标可利用三角函数的定义求三角函数的值，但注意可能情况的讨论8三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形问题中，显然十分重要，根据三角函数的定义，可简记为：正弦，上正下负，余弦，右正左负（六）课后强化作业一、选择题1若0，则点Q(cos，sin)位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析由于0，sin0，即该点位于第四象限2如果点P(sincos，2cos)位于第三象限，那么角所在的象限是()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案B解析因为点P(sincos，2cos)位于第三象限，所以sincos0,2cos0，即，为第二象限角3若角的终边落在直线yx上
14、，则的值等于()A0B2 C2D2tan答案A解析角的终边在直线yx上，k(kZ)，sin与cos符号相反，0.4已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4答案C解析设扇形圆心角为rad，半径为r，弧长为l.则或4或1.选C.5已知锐角终边上一点P的坐标是(2sin2，2cos2)，则等于()A2 B2 C2 D.2答案C解析点P位于第一象限，且tancot2tantan，2，2.6若A、B、C为ABC的三个内角，且ABC，则下列结论中正确的是()AsinAsinC BcosAcosC CtanAtanC DcotAcotC答案A解析解法
15、1：若C为锐角，由已知ABC及单调性可排除B、D；若C为钝角，则tanAtanC不成立，选A.解法2：由三角形中大边对大角及正弦定理可知：ACacsinAsinC，选A.7若cos2cos0，则sin2sin的值等于()A0 B C0或 D0或答案D解析由cos2cos0得2cos21cos0，所以cos1或.当cos1时，有sin0；当cos时，有sin.于是sin2sinsin(2cos1)0或.8若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于()Asin B. C. D2sin答案C解析设圆的半径为r.由题意知rsin1，r，弧长lr.二、填空题9若k18045，kZ，则为第
16、_象限角答案一或三解析当k2n时，n36045，当k(2n1)时，n360225，为第一或第三象限角10函数y的定义域是_答案(kZ)解析由题意知即x范围为2kx2k(kZ)11若角的终边与直线y3x重合且sin0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn等于_答案2解析依题意：解得：m1，n3或m1，n3，又sin0，的终边落在第三象限，n0，m1，n3，mn2.三、解答题12已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值解析设l为扇形的弧长，由Slr得l，故扇形的周长C2r.即2r2Cr2S0.由于r存在，故方程有解，因此有C216S0，即C4.周长C
17、的最小值为4.此时，r，中心角2rad所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4.13已知角终边经过点P(x，)(x0)，且cosx，求sin的值解析P(x，)(x0)，点P到原点的距离r.又cosx，cosx.x0，x，r2.当x时，P点坐标为(，)，由三角函数的定义，有sin，sin；当x时，同样可求得sin.14设f(x)，求f(1)f(2)f(59)的值解析f(x)f(60x).f(1)f(2)f(59)(f(1)f(59)(f(2)f(58)(f(29)f(31)f(30)29.15已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(1，2)求co
18、s的值解析P(1，2)是角终边上一点，由此求得r|OP|，sin，cos.sin22sincos，cos2cos2sin2.coscos2cossin2sin.第二节 同角的三角函数基本关系式与诱导公式（一）高考目标考纲解读1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan.2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式考向预测1同角三角函数间的关系，可能在与向量、解析几何、解三角形、数列等知识的交汇点处命题2利用诱导公式求某角的三角函数值或求某三角函数式的值3借助诱导公式对三角函数式进行化简或证明4多以选择题或填空题的形式考查诱导公式（二）课前自主预习知识梳理1同角
19、三角函数的基本关系式(1)平方关系： 1(R) (2)商数关系： 2诱导公式(填表)：R，有22k正弦余弦记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说，kZ的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时，原函数值的符号”3角的终边与180角的终边关于 对称，角的终边与角的终边关于 对称（三）基础自测1(2010全国卷)cos300()AB C.D.答案C解析该题考查三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值cos300cos(36060)cos(60)cos60.2(2011无锡调研)若3sincos0，则的值为()A. B.
20、 C. D2答案A解析本小题主要考查同角三角函数基本关系式和倍角公式3sincos0，tan，原式.3对非零实数x，y，z，定义一种运算“”：xyR；xx1；x(yz)(xy)z.或f(x)sinxcosx，则f()A B. C. D.分析本题考查学生的思维能力、学习新知识、理解新定义的能力切入点是：通过“”运算的规则，找出xy.答案D解析由x1x(xx)(xx)xx，xx1x(yy)(xy)y，得xy，所以f(x)sinxcosxtanx，所以ftan.4(2011温州高三摸底)若cos2sin，则tan()A. B2 C D2答案B解析将已知等式两边平方得cos24sin24sincos5
21、(cos2sin2)，化简得sin24sincos4cos20，即(sin2cos)20，故tan2.5(2011曲塘中学期中)已知，则sin2_.答案解析由已知得sincossincos，两边平方得12sincossin2cos2，化简得4sin229sin290，则sin2或sin23(舍去)故sin2.6已知sin，则cos的值为_答案解析，coscossin.7已知为第四象限角，且cos，求1tan2的值解析为第四象限角，且cos，sin，tan，1tan21()213.（四）典型例题1.命题方向：同角三角函数的关系例1是第四象限角，tan，则sin等于 ()A. B C.D解析解法1
22、：，解得sin.又为第四象限角，sin0，sin.故选D.解法2：设tan1，1为锐角，如图在RtABC中，由tan1，设AC5，BC12，则AB13，sin1，为第四象限角，sin0，从而sin.解法3：是第四象限角，sin0，排除A、C，又tan，由勾股数组5,12,13知排除B，选D.答案D点评记住常用的勾股数组非常方便常用的有：3,4,55,12,137,24,25以及它们的倍数，如3k,4k,5kkN.跟踪练习1：(2010全国卷理)记cos(80)k，那么tan100()A.B C. D答案B解析sin80，所以tan100tan80.2.命题方向：sincos与sincos的关系
23、例2已知x0，sinxcosx.(1)求sinxcosx的值；(2)求的值分析(1)可与sin2xcos2x1联立求出sinx和cosx，再代入求值，(2)中注意化简的方向性和目的性：切化弦、扩角降幂，目的是化简为关于sinx和cosx的代数式解析解法1：联立方程：由得sinxcosx，将其代入，整理得25cos2x5cosx120.因为x0，所以所以sinxcosx.解法2：sinxcosx(sinxcosx)212sinxcosx2sinxcosx(sinxcosx)212sinxcosx，由x0知，sinx0.sinxcosxcosAcosBcosC.解析ABC是锐角三角形，AB，即AB
24、0，sinAsin，即sinAcosB；同理sinBcosC，sinCcosA，sinAsinBsinCcosAcosBcosC.（五）思想方法点拨1计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角是大于360的角时，可用k360 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0，360)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360间的角时，可利用180，360的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90间的角的三角函数值(对于非特殊角用
25、查表或用计算器求出结果)2已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号要注意公式的合理选择和方法的灵活性3在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式4在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取应用公式时把角看成锐角，如果出现k的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限5在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，一般思路是将切化弦，但在某些特殊问题中就不要化切为弦，只须利用倒数关系即可，否
26、则解法较繁，如“求证tancot”，利用倒数关系可得简证（六）课后强化作业一、选择题1sin600tan240的值是()AB. C D.答案B解析sin600tan240sin240tan240sin(18060)tan(18060)sin60tan60.2设tan(5)m，则的值为()A. B. C1 D1答案A解析.又tan(5)m，tanm，原式.3若sin2且，则cossin的值是()A. B. C D答案C解析(cossin)21sin2，cossin，cossin.4已知x是三角形的内角，sinxcosx，则tanx的值是()A B. C. D答案A解析因为0x，且sinxcosx
27、，所以x0，cosx|cosx|，tanx1，故选A.5已知tan2，则()A2 B2 C0 D.答案B解析2.6已知tan22，且满足，则 的值为()A. B C32 D32答案C解析.又tan222tan22tan20.解得tan或.又1，而tan在上小于1，故排除答案A、B；因为sincos，而在上tan，sincos与tan不可能相等，故排除D.方法二：由sincostan，0，tan212sincosa1sin2，0，02，0sin21，1tan22，00，1tan，而，.二、填空题9(2010全国卷)已知是第二象限角且tan，则cos_.答案解析本题考查了同角三角函数关系tan 又
28、sin2cos21 又为第二象限角cos0，cos.10若asin(sin2012)，bsin(cos2012)，ccos(sin2012)，dcos(cos2012)，则a、b、c、d从小到大的顺序是_答案badc解析2012536018032，asin(sin32)sin(sin32)0，bsin(cos32)sin(cos32)0，dcos(cos32)cos(cos32)0，又0sin32cos321，badc.点评本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练11设f(x)asin(x)bcos(x
29、)，其中a，b，R，且ab0，k(kZ)若f(2011)5，则f(2012)_ _.答案5解析f(2011)asin(2011)bcos(2011)asinbcos5，asinbcos5.f(2012)asinbcos5.三、解答题12已知sin()cos()，求下列各式的值：(1)sincos；(2)sin3cos3.分析(1)化简已知条件sincos，再平方求sincos则可求(sincos)2，最后得sincos.(2)化简cos3sin3，再因式分解并利用(1)求解解析由sin()cos()，得sincos，两边平方，得12sincos，故2sincos.又a0，cos0.(1)(sincos)212sincos1，sincos.(2)sin3cos3cos3sin3(cossin)(cos2cossinsin2).13已知cos2sin.求的值解析cos2sin，sin2sin，sin2cos，即tan2.14已知sin，cos是方程x2(1)xm0的两根(1)求m的值；(2)求的值解析(1)由韦达定理可得，由得12sincos42.将代入得m，满足(1)
