1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题等差数列与等比数列教学目的教学内容第二节 等差数列（一）高考目标考纲解读1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系考向预测1以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”2以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质3数列与函数交汇是解答题综合考查的热点（二）课前自主预习知识梳理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母
2、d表示2等差数列的通项公式如果等差数列 的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.(3)若是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 .(4)若 ，bn是等差数列，则pqbn是 (5)若是等差数列，则ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为的等差数列5等差数列的前n项和公式 设等差数列的公差为d，其前n项和Sn 或 .6等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的，即Sn 7在等差数列中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10，则Sn存在最 值8等差数列与等差数列各项的和有关的性质(1)若an是等差数列，则也成数列，其首项与a
3、n首项相同，公差是an公差的.(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2mSm，S3mS2m成 数列（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则= , 若项数为2n-1，则=（n-1）,= . = , .(4)两个等差数列 、的前n项和、之间的关系为：= （三）基础自测1(2010重庆文)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5B6 C8 D10答案A解析本题考查等差数列的基本性质等差中项由等差中项知2a5a1a910，所以a55，故选A.2(2009安徽文)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于()A
4、1 B1 C3 D7答案B解析an是等差数列，a1a3a53a3105，a335，a2a4a63a499，a433，da4a32，a20a416d33321.3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析解法1：an是等差数列，S3、S6S3、S9S6为等差数列2(S6S3)S3(S9S6)，S9S62S63S345.解法2：Sn为等差数列an的前n项和，令bn，则bn成等差数列由题设b33，b66，b92b6b39.a7a8a9S9S69b93645.4(08广东)记等差数列an的前n项和Sn.若a1，S420，则S6()
5、A16 B24 C36 D48答案D解析设公差为d，由S66a1348.5(2010辽宁文)设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.答案15解析考查等差数列性质及其通项公式解析：S33S624有a1a2a33a1a2a3a4a5a6243a23a213(a2a5)24a573d716d2 a9a54d7815.6(2009全国理)设等差数列an的前n项和为Sn.若a55a3，则_.答案9解析本题考查等差数列基本量的运算及其简单性质解法1：设等差数列an的公差为d，a55a3，a14d5(a12d)，a1d，9.解法2：，a55a3，5，9.点评比较上述两种解法，显然解法二
6、利用了等差数列的性质，计算简单；解法一利用了基本量之间的关系，计算较麻烦，但这是解决等差数列的通法7设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知a41，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解析由a41，S1575得，解得a12，d1.Sn2n1n2n，n，而，是公差为的等差数列，首项2.Tn2nn2n.（四）典型例题1.命题方向：等差数列中基本量的计算例1(2010全国卷文)记等差数列an的前n项和为Sn，S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解析本题考查等差数列和等比数列的知识，渗透方程的思想，考查综合运算能力设数列an的首项为a1，公差为d.S33a212，a24，
7、又2a1，a2，a31成等比数列，a222a1(a31)16，即解得或Sn8n(4)2n210n或Snn3n2n.点评1.等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式Snna1d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法跟踪练习1已知等差数列an中，公差d0，又a2a345，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列bn，数列bn的前n项和记为Sn，求Sn.解析(1)由题意得即.解得或(与d0矛盾，舍去)da
8、3a24.ana2(n2)d54(n2)4n3.(2)由(1)得an14n1.bn()Snb1b2bn(1)()()(1).2.命题方向：等差数列的判断与证明例2(2009湖北卷)已知数列an的前n项和Snann12(n为正整数)令bn2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式分析SnSn1an2nan2n1an11bnan.解析在Snann12中，令n1，可得S1a112a1，即a1.当n2时，Sn1an1n22，anSnSn1anan1n1，2anan1n1，即2nan2n1an11.bn2nan，bnbn11.即当n2时，bnbn11.又b12a11，数列bn是首项和公差
9、均为1的等差数列于是bn1(n1)1n2nan，an.点评1.由SnSn1an来转化为an与an1的递推关系时，要注意是n2成立，即要验证a1或b1是否成立2等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1(n2)3解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列提醒：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可跟踪练习2已知数
10、列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式分析(1)由an与Sn的关系anSnSn1消去an，构造证明其为常数(2)由(1)可求，进而求出Sn，再求an.解析(1)anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0.2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，an.3.命题方向：等差数列的性质例3等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A130 B170 C210 D26
11、0解析解法1：将Sm30，S2m100代入Snna1d得解之得d，a1.S3m3ma1d210.解法2：根据等差数列性质知：Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)S3m3(S2mSm)210.解法3：Snna1d，a1d，点(n，)是直线ya1上的一串点，由三点(m，)、(2m，)、(3m，)共线易知S3m3(S2mSm)210.解法4：令m1得S130，S2100，从而a130，a1a2100，得到a130，a270，a370(7030)110，S3a1a2a3210.答案C点评1.解法1利用方程思想；解法2设而不求、整体处理，利用等差数列依次
12、每k项之和仍然成等差数列的性质；解法3是数形结合思想的运用；解法4利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法2等差数列的简单性质：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)S2n1(2n1)an.(2)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)(3)数列can，can，panqbn也是等差数列，其中c、p、q均为常数，bn是等差数列跟踪练习3(1)在等差数列an中，a1a4a739，a3a6a927，则数列an的前9项之和Sn等于( )A66B99 C144 D297答案B解析a1a4a739，a3a6a927(a1a9)(a4a6)(a3a7)3(a1a9)66a1a922，
13、S999.(2)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A2 B3 C4 D5答案B解析由S偶S奇d15，得d3.4.命题方向：等差数列前n项和的最值问题例4已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值分析由Sn与an的关系，可写出Sn1与an1之间的关系，两式相减，即可得出an1与an间的关系bn的前n项和最小，估计bn的前几项为负值，后面为正值，所有负值之和最小解析方法一：2an1anan2，an是等差数列设an的首项为a1，公差为d，由a310，S672，得an4
14、n2.则bnan302n31.解得n.nN*，n15，bn前15项为负值S15最小可知b129，d2，S15225.方法二：同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，当n15时，Sn有最小值，且最小值为225.点评若an是等差数列，求前n项和的最值时，若a10，d0，且满足，前n项和Sn最大；若a10，且满足，前n项和Sn最小；除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用二次函数的图像或配方法求解；还可以利用Sn与n的函数关系，进行求导来求最值跟踪练习4：等差数列an中，a10，S9S12，该数列前多少项的和最小？解析由条件S9S12可得9a
15、1d12a1d，即da1.由a10，即数列an为递增数列考虑常用方法，可找转折项或利用二次函数求解方法一：由，得，解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小方法二S9S12，a10a11a123a110，a110.又a10，从而前10项或前11项和最小方法三S9S12.Sn的图像所在抛物线的对称轴为x10.5，又nN*，a10，方法四由Snna1dn2(a1)n，结合da1得Sn(a1)n2(a1)n(n)2a1(a10.(1)求a1，a2；(2)求数列an的通项公式；(3)令bn20an，问：数列bn的前多少项和最大？解析(1)a1S1(a11)2，a
16、11，a1a2(a21)2.a23.(2)当n2时，anSnSn1(an1)2(an11)2(an2an12)(anan1)，由此得(anan1)(anan12)0.anan10，anan12.an是以1为首项，公差为2的等差数列an2n1.(3)bn212n，b10，bn是递减函数，令得n.nN*，n10，即bn的前10项和最大14在数列an中，a13，an13an3n1(nN*)(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.分析数列的递推公式经常在已知条件中给出，此类题只需利用累加、累乘等方法求数列的通项及前n项和即可解析(1)an13an3n1，1，得bn1bn
17、1，b11，数列bn是首项和公差均为1的等差数列(2)由(1)易知，数列是首项和公差均为1的等差数列，所以n，ann3n.Sn131232(n1)3n1n3n，3Sn132232(n1)3nn3n1，两式相减，得2Snn3n1(31323n)，故Sn()3n1.点评对于由递推关系确定通项公式的问题，通常可对递推关系式进行变形，从而转化为等差或等比数列的问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型从此题可以看出，构造特殊数列以及对代数式的灵活变形是处理此题的关键复习时要加强数列基础知识的掌握15已知数列an中，a11，且点P(an，an1)(nN*)在直线xy10上(1)求数列an的通项公式；(
18、2)若函数f(n)(nN*，且n2)，求函数f(n)的最小值；(3)设bn，Sn表示数列bn的前n项和试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由解析(1)由点P(an，an1)在直线xy10上，即an1an1，且a11，故数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an1(n1)1n.(2)f(n)f(n1)f(n1)f(n)0.所以f(n)是单调递增函数，故f(n)的最小值是f(2).(3)bn，可得Sn1，SnSn1(n2)，n(SnSn1)1，nSn(n1)
19、Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn212S2S1S11nSnS1S1S2S3Sn1n1S1S2S3Sn1nSnnn(Sn1)，n2.g(n)n，故存在关于n的整式g(n)n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立点评数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考的热点，要灵活结合有关知识求解本例中点在直线上，则点的坐标满足直线方程，求f(n)最小值要考虑求最值的常用方法，数列中常用单调性求数列中的最值，等式恒成立问题则要建立恒成立的关系式第三节 等比数列（一）高考目标考纲解读1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知
20、识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系考向预测1以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定2以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差、等比数列的综合应用3以选择题、填空题的形式考查等比数列的性质（二）课前自主预习知识梳理1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母 表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an.3等比中项若三个数，那么G叫做a与b的等比中项，即.4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam，(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn，(k
21、，l，m，nN)，则.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则(0)， ，anbn， 仍是 数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 .（三）基础自测1(2010江西文)等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an()A(2)n1B(2)n1 C(2)n D(2)n答案A解析本题是不等式与数列综合的题目，考查了等比数列的性质及不等式的内容，a5a28a2a29a20a20，a58a28q
22、38q2，a2a1q0.|a1|1a11，an1(2)n1(2)n1，故选A.2(2010辽宁文)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3 B4 C5 D6答案B解析本题考查等比数列公比的求解S3S2a3 ,3S3a423S33(S2a3)a423S2a32a323a3a424a3a4q4，选B.3(2009海南宁夏理)等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4()A7 B8 C15 D16答案C解析本题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查运算能力设等比数列an的首项为a1，公比为q；由4a1,2a2，a3成等差数列
23、，得4a24a1a3，4a1q4a1a1q3，又a11，q24q40，解得q2，S415.4在等比数列an中，若an0且a3a764，则a5的值为()A2 B4 C6 D8答案D解析an是等比数列a3a7a5264.又an0，a58.故选D.5若数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，.是首项为1，公比为2的等比数列，则an等于_答案2n1解析anan1a1qn12n1即相加：ana12222n12n2an2n2a12n1.6(2011安徽怀宁一模)设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.答案3解析本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式若q1时，S33a1，
24、S66a1，显然S64S3，故q1，4，1q34，q33.a4a1q3q33.点评解有关等比数列的前n项和问题时，一定要注意对公比q进行分类讨论，否则会出现漏解现象7(2009浙江)设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数(1)求a1及an；(2)若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值解析(1)由Snkn2n得，a1S1k1，anSnSn12knk1(n2)a1k1也满足上式，所以an2knk1，nN*.(2)由am，a2m，a4m成等比数列得，(4mkk1)2(2kmk1)(8kmk1)，将上式化简得，2km(k1)0，因为mN*，所以m0，故k0
25、，或k1.（四）典型例题1.命题方向：等比数列中基本量的计算例1(2009福建文)等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.分析本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解析(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，ana1qn12n；(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532，设bn的公差为d，则有解得从而bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn 6n222n.点评(1)等比数列的通项公式ana1qn
26、1以前n项和公式Sn(q1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用(2)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算跟踪练习1等比数列an的各项均为正数，其前k项中，数值最大的一项是54，若该数列的前k项之和为Sk，且Sk80，S2k6560，求：(1)前100项之和S100；(2)通项公式an.分析利用等比数列的通项公式及前n项和公式列出关于a1与q的方程
27、组，求出a1和q即可解析设公比为q，S2kSk6 480Sk，q1.则最大项是aka1qk154(ak0)又Sk80，S2k6 560，由，解得a12，q3，则(1)前100项之和S10031001.2.命题方向：等比数列的判定与证明例2设数列an的首项a1a，且an1记bna2n1，n1,2,3.(1)求a2，a3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论分析本题是高考题目中常见的探索性试题，它与直接证明一个数列是等比数列比较而言难度更大，这是因为要解决这一问题需要先有一个探索、研究、归纳的过程，本题中的第一问在某种意义上讲，就为解答第二问奠定了基础解析(1)a2a1a，a3a2a.(2)a4a3a，a5a4a，b1a1a，b2a3(a)，b3a5(a)，猜想：bn的公比为的等比数列证明如下：bn1a2n1a2n(a2n1)(a2n1)bn，(nN*)bn是首项为a，公比为的等比数列点评等比数列的判定方法有：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且an12anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN*
