1、第5章正弦交流电路1 1第5章 正弦交流电路 5.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 5.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示 5.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容正弦交流电路中的电阻、电感和电容 5.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 5.5 阻抗串联电路的分析阻抗串联电路的分析 5.6 导纳并联电路的分析导纳并联电路的分析 5.7 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率 第5章正弦交流电路2 25.8 功率因数的提高功率因数的提高 5.9 交流电路中的谐振交流电路中的谐振 本章小结本章小结 阅读材料：示波器简介阅读材料：示波器简介 实验实验8 典型电信号的
2、观察与测量典型电信号的观察与测量 实验实验9 日光灯功率因数的提高日光灯功率因数的提高 第5章正弦交流电路3 35.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念交流电(AlternatingCurrent)也称“交变电流”，简称AC，一般指大小和方向随时间作周期性变化的电压或电流。交流电可以有效传输电力，它的最基本的形式是正弦交流电，但实际上还有其他的波形，例如三角波和方波。生活中使用的市电就是具有正弦波形的交流电。第5章正弦交流电路4 45.1.1 正弦交流电量的三要素正弦交流电量的三要素大小与方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电流、电压、电动势分别称为正弦交流电流、电压、电动势。在某一时
3、刻t的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即)sin()()sin()()sin()(emumimtEtetUtutIti第5章正弦交流电路5 5式(5-1)中，u、i、e分别为电压、电流和电动势的瞬时值；Im、Um、Em分别叫做交流电流、电压、电动势的最大值(也叫做峰值或振幅)；叫做交流电的角频率；i、u、e分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相。以电流为例，其波形如图5-1所示。由于角频率、最大值和初相可决定一个正弦量，因此将它们称为正弦量的三要素。第5章正弦交流电路6 6图5-1 正弦量波形示意图 第5章正弦交流电路7 71.最大值及有效值最大值及有效值正弦交流电量瞬时值中的最大值称
4、为振幅或峰值。它表明了正弦量振动的幅度。在公式中分别用Im(单位为安培A)、Um、Em(单位为伏特V)表示。正弦量的瞬时值大小是随时间变化的，这给计量正弦量的大小带来了困难。电路的一个重要作用是电能转换，正弦量的瞬时值不能确切反映电路在能量转换方面的效果，为此，我们引入正弦交流电有效值的概念，它是根据热效应定义的。第5章正弦交流电路8 8有效值的定义为：让交流电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。有效值用大写字母表示，如I、U等。由此可知，在相同时间T内电阻R消耗的能量为即交流电流的有效值为 tR
5、iRTIWTd022TtiTI02d1第5章正弦交流电路9 9将正弦交流电流的瞬时值表达式代入上式，可得 由此得出正弦量有效值和最大值的关系为mm2m002m02m022m707.02)0(2)d2cosd(2d22cos1dsin1IITTItttTIttTIttITITTTTmmmm7070270702U.UUI.II(5-2)(5-3)第5章正弦交流电路10 10【例5-1】日常所说的照明电压为220V，其最大值是多少？解 在日常生活和生产中常提到的220V、380V电压指的是交流电的有效值，用于测量交流电压和交流电流的各种仪表所指示的数字以及电气设备铭牌上的额定值也是有效值。应当注意，
6、并非在所有场合中都用有效值来表征正弦交流电的大小。例如，在确定交流电气设备的耐压值时，就应考虑电压的最大值。V311V22202mUU第5章正弦交流电路11 11【例5-2】一个电容器的耐压值为250V，能否用在220V的单相交流电源上？解 因为220V的单相交流电源为正弦电压，其振幅值为311V，大于电容器的耐压值250V，电容器可能被击穿，所以不能接在220V的单相电源上。注意：各种电气元件和电气设备的绝缘水平(耐压值)要按最大值考虑。第5章正弦交流电路12 122.角频率、周期与频率角频率、周期与频率角频率：表征正弦电量每秒内变化的电角度，用表示，单位为弧度/秒(rad/s)。周期：正弦
7、电量变化一周所需的时间称为周期，通常用T表示，单位为秒(s)。常用单位有毫秒(ms)、微秒(ms)、纳秒(ns)。频率：正弦电量每秒钟变化的周期数称为频率，用f表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互为倒数，即Tf1(5-4)第5章正弦交流电路13 13我国和世界上大多数国家一样，电力工业的标准频率即所谓的“工频”是50Hz，其周期为0.02s，少数国家(如美国、日本)的工频为60Hz。在其他技术领域中也要用到各种不同的频率，例如：声音信号频率约为20Hz20000Hz，广播中波段载波频率为535Hz1605Hz，电视用的频率以MHz计。、T、f三者都反映了正弦量变化的快慢。在一个周期T内，正弦
8、量所经历的电角度为2弧度，如图5-2所示。由角频率的定义可知，角频率与频率及周期间的关系为 Tf22(5-5)第5章正弦交流电路14 14图5-2 角频率与周期及频率间的关系 第5章正弦交流电路15 15我国使用的工频电信号其周期频率f=50Hz，T=1/f=0.02s，则角频率为=100rad/s=314rad/s3.初相及相位初相及相位相位是反映正弦交流电任一时刻状态的物理量。正弦交流电的大小和方向是随时间变化的，它的表达式是i(t)=Imsin(t+i)，其中的t+i相当于角度，它反映了交流电任一时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等，因此把t+i叫做相位或者相位角。第5章
9、正弦交流电路16 16初相位指t=0时所对应的相位角0，它反映了计时起点的状态，取值范围在180+180 。图5-3给出了几种不同计时起点的正弦电流的解析式和波形图。由波形图可以看出：(1)若正弦量波形起点就在坐标原点，则初相i=0，如图5-3(a)所示。(2)若正弦量波形起点在坐标原点左侧，则初相i0，如图5-3(b)所示。(3)若正弦量波形起点在坐标原点右侧，则初相i0，且120因此，这两个正弦量的相位差是30，u1超前u2。第5章正弦交流电路2828【例5-6】分别写出图5-7中电流i1、i2的相位差，并说明i1与i2的相位关系。解(1)由图5-7(a)可知1=0，2=，12=12=0，
10、表明i1超前于i2。2222434343第5章正弦交流电路29295.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示前面介绍的两种正弦量表示方法：瞬时值表达式及波形图表示法中，都具有最大值、角频率及初相这三个主要特征，而这些特征量还可以用其他方法来描述。不同的描述方法之间能够相互转换，它们都是分析与计算正弦交流电路的必要工具。其中，用复数表示正弦电量，即相量表示法，可以大大简化电路的分析与计算。第5章正弦交流电路30305.2.1 正弦量的旋转矢量表示法正弦量的旋转矢量表示法假设有一个正弦电流i=Imsin(ti)，用旋转矢量表示该正弦电流的方法如下：在一个直角坐标系中，过原点做一条有向线段，它
11、与横轴的夹角等于正弦量的初相位i，线段的长度等于正弦量的最大值Im，并以角速度绕原点逆时针旋转，旋转中的线段在纵轴上的投影，与正弦量在该时刻的瞬时值保持一一相等的对应关系，如图5-8所示。像这样旋转的有向线段称为旋转矢量，它不仅表示了正弦量的瞬时值，还表示了正弦量的三要素。第5章正弦交流电路31 31图5-8 旋转矢量示意图 第5章正弦交流电路3232对于任意时刻t，各旋转矢量之间的相对位置不变。这样，即可用一个长度等于正弦量最大值，与横轴夹角为初相角的静止矢量来表示正弦量。这种静止在t=0时刻的旋转矢量称为相量，相量的表示方法为在大写字母上方加一个“”。图5-8所示的旋转矢量对应的相量如图5
12、-9所示。正弦量的相量是用复数来表示正弦量的最大值和初相位的，因此学习相量法之前，应首先复习巩固一下有关复数的概念及其运算法则。第5章正弦交流电路3333图5-9 相量图 第5章正弦交流电路34345.2.2 复数及复数运算复数及复数运算一个复数是由实部和虚部组成的。设A为一复数，a和b分别为其实部和虚部，则A=a+jb取一直角坐标系，其横轴称为实轴，以+1为单位；纵轴称为虚轴，单位是(在数学中虚轴单位用i表示，这里为了与电流符号i相区别而用j表示)，这两个坐标轴所在的平面称为复平面。每一个复数都可以在复平面上用一有向线段来表示，如图5-10所示。1j第5章正弦交流电路3535图5-10 用矢
13、量表示复数 第5章正弦交流电路3636图中原点指向A的有向线段长度称为复数A的模，用r表示；模r与正向实轴的夹角称为复数A的幅角，用表示，模r与幅角的大小决定了该复数的唯一性。复数A在实轴上的投影是它的实部数值a；复数A在虚轴上的投影是它的虚部数值b。1.复数的表示复数的表示复数有代数式、三角函数式、指数式及极坐标式四种表示形式。(1)代数形式：A=a+jb第5章正弦交流电路3737式中为虚部单位。a、b均为实数，分别为复数A的实部和虚部，用符号表示为：取复数A的实部ReA=a；取复数A的虚部ImA=b。(2)三角函数形式：A=r(cos+jsin)式中r为复数A的模；为复数A的幅角。(3)指
14、数形式：A=rej指数形式是将三角函数形式用数学中的尤拉公式ej=cos+jsin替代得来的。1j第5章正弦交流电路3838(4)极坐标形式：A=r在以后的运算中，代数形式和极坐标形式是最常用的，因此对它们之间的换算应十分熟练。由图5-10可知，复数几种形式之间的相互转换关系为实部a=rcos 虚部b=rsin复数的模复数的幅角22barabarctan第5章正弦交流电路3939【例5-7】写出复数A1=4j3，A2=3+j4的极坐标形式。解 A1的模为辐角为 则A1的极坐标形式为 A1=5375)3(4221r3743arctan1(在第四象限)第5章正弦交流电路4040A2的模为辐角为则A
15、2的极坐标形式为A2=512754)3(222r12734arctan2(在第二象限)第5章正弦交流电路41 41【例5-8】写出复数A=100120的三角函数形式和代数形式。解 三角函数形式为A100(cos120jsin120)代数形式为A100(cos120jsin120)50j50 3第5章正弦交流电路42422.复数的四则运算复数的四则运算设有两个复数：A1=a1+jb1=r11，A2=a2+jb2=r22加、减运算应用代数形式计算较为方便：A=A1A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2)(5-7)也可通过图像法来求解，如图5-11所示，应用平行四边形法则
16、分别实现复数的加、减法。乘、除法运算应用极坐标形式计算较为方便：A=A1A2=r1r2(1+2)(5-8)(212121rrAAA(5-9)第5章正弦交流电路4343图5-11 用平行四边形法则求和、差的方法 第5章正弦交流电路4444【例5-9】已知复数A1553，A23。求A1A2和A1A2，并在复平面内画出矢量图。解 A15533j4A1A23j436j4=6.333.7A1A23j43490矢量图如图5-12所示。第5章正弦交流电路4545图5-12 例5-9图 第5章正弦交流电路46465.2.3 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法1.正弦量的相量表示正弦量的相量表示与正弦量相对应
17、的复数形式的电压和电流称为相量。如正弦交流电流i、电压u的瞬时值表达式分别为 它们的有效值、最大值相量分别表示为和，即 注意：相量是一个表示正弦电流的复数，但它不等于正弦量。)sin(2)sin()sin(2)sin(uumiimtUtUutItIim、IIm、UUummuimmiUUUUIIII第5章正弦交流电路4747【例5-10】已知工频条件下，两正弦电压的相量分别为，。试求这两个正弦电压的瞬时值表达式。解 由题可知，频率f50Hz，则角频率为=2f=250=100rad/s两正弦电压的最大值分别为VU602201VU302202V 402220 V,22202mm1UU第5章正弦交流电
18、路4848初相分别为1=60，2=-30所以两正弦电压的瞬时值表达式为V)60100sin(22201tuV)45100sin(402tu第5章正弦交流电路49492.相量图及相量的运算正弦量的相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，相量的长度是正弦量的有效值，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相0。这种表示相量的图形称为相量图。但是，只有同频率的多个正弦量对应的相量画在同一复平面上才有意义，把不同频率的正弦量相量画在同一复平面上是没有意义的。因此，只有同频率的正弦量才能应用相量运算，运算方法可按复数的运算规则进行。第5章正弦交流电路5050【例5-11】已知同频率正弦量的瞬时值表达式分别为i=
19、10sin(t+30)A，分别写出电流和电压的有效值相量，并绘出相量图。解 由瞬时值表达式可得相量图如图5-13所示。V)45sin(2220tuV45220A3025A302102uimUUII第5章正弦交流电路51 51例5-11相量图 第5章正弦交流电路5252【例5-12】电路如图5-14所示，已知i1、i2分别为i1=5sin(t+37)Ai2=10sin(t53)A试求电流i，并绘出相量图。解 将i1、i2用相量表示为=537A=(4+j3)A=1053A=(6j8)A 根据KCL，有i=i1+i2，m1Im2Im2m1mIII第5章正弦交流电路5353则 所以电流i=11.8si
20、n(t26.6)A，相量图见图5-15。m2m1mIII=(4+j3)+(6j8)=10j5=11.826.6A 第5章正弦交流电路5454图5-14 例5-12图 第5章正弦交流电路5555图5-15 例5-12相量图 第5章正弦交流电路56565.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容正弦交流电路中的电阻、电感和电容在正弦交流电路中，由电阻、电感和电容中任一个元件组成的电路，称为单一参数正弦交流电路。工程实际中的一些电路可以认为是由单一电路元件组成的交流电路，因此，单一参数电路的电压、电流关系是分析交流电路的基础。5.3.1 电阻元件电阻元件纯电阻电路是最简单的交流电路，它由交流电源和电阻元
21、件组成。人们平时使用的电灯、电炉、电热器、电烙铁等都属于电阻性负载，它们与交流电源连接构成纯电阻电路。第5章正弦交流电路57571.电阻元件上电压与电流的关系电阻元件上电压与电流的关系如图5-16(a)所示，当线性电阻R两端加上正弦电压uR时，电阻中便有电流iR通过。如图5-16(a)所示，电阻元件上的电压和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压uR和电流iR的瞬时值仍服从欧姆定律，即设电压的瞬时值表达式为uR=Umsin(t+u)，代入式(5-10)得RuiRR(5-10)sin(umRRtRURui第5章正弦交流电路5858图5-16 纯电阻电路模型 第5章正弦交流电路5959将上式与电流
22、的瞬时值表达式iR=Imsin(t+i)相对比，可知它们具有如下关系：(1)数值关系。电压与电流的最大值关系为两边同除以，可得有效值关系为说明电阻元件的最大值和有效值关系与瞬时值一样，都遵循欧姆定律。RUImm2RUI(5-11)第5章正弦交流电路6060(2)相位关系。根据推导的电流瞬时值结果，有电压与电流的相位关系为t+u=t+i，即u=i(5-12)说明电阻元件的电流和电压之间为同频、同相关系。相应的波形图如图5-17(a)所示。(3)相量关系。由瞬时值表达式，得电流有效值相量为)(2)sin(iimtItIii II第5章正弦交流电路61 61将式(5-11)和式(5-12)代入上式，
23、可得 式(5-13)同时表示了电压与电流之间的数值与相位关系，称为欧姆定律的相量形式，相应的相量图如图5-17(b)所示。RURUIIuiRUImm或 第5章正弦交流电路6262图5-17 纯电阻电路电压、电流波形图及相量图 第5章正弦交流电路63632.纯电阻电路的功率1)瞬时功率电阻在任一瞬间所吸收的功率，等于电阻元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积。瞬时功率用小写字母p表示，即p=ui。电阻元件通过正弦交流电时，在关联参考方向下，瞬时功率为 0)2cos1()2cos1(2sinsinsinRRRmRm2RmRmRmRmRRRtIUtIUtIUtItUiup第5章正弦交流电路6464图
24、5-18画出了电阻元件的瞬时功率曲线。由上式和功率曲线可知，电阻元件的瞬时功率是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍。电压和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压与电流同号，所以瞬时功率恒为正值，即p0。说明电阻元件在每一瞬间都消耗电能，所以电阻元件是耗能元件。第5章正弦交流电路6565图5-18 电阻元件的功率波形图 第5章正弦交流电路66662)平均功率P(或称有功功率)电阻元件消耗功率的大小在工程上都用平均功率来表示，用大写字母P表示，单位为瓦(W)，也常用千瓦(kW)表示。周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时功率在一个周期内的平均值，即正弦交流电路中电阻元件的平均功率为 Ttp
25、TP0d1RRRR00RRR00R)0()d2cosd1(d)2cos1(1d1IUTTIUtttTIUttIUTtpTPTTTT第5章正弦交流电路6767因IRUR/R或URIRR，代入上式可得由于平均功率反映了电阻元件实际消耗电能的情况，因此又称有功功率。习惯上常把“平均”或“有功”二字省略，简称功率。例如，60W的灯泡，1kW的电炉等，其瓦数都是指平均功率。RURIIUP2R2RRR(5-14)第5章正弦交流电路6868【例5-13】电阻R100，其两端的电压。试求：(1)通过电阻R的电流IR和iR；(2)电阻R的有功功率PR；(3)作的相量图。解(1)根据有效值的欧姆定律可知因为纯电阻
26、的电流、电压同频率、同相位，所以 A1100100RRRUIV)30sin(2100Rtu)A30sin(2Rti第5章正弦交流电路6969(2)有功功率为PR=URIR=1001=100W(3)由题意知电压的相量为因此 相量图如图5-19所示。V 30100RUA 30110030100RRRUI第5章正弦交流电路7070图5-19 例5-13图 第5章正弦交流电路71 71【例5-14】一只额定电压为220V、额定功率为100W的电烙铁，误接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率为多少？是否安全？若接到110V的交流电源上，它的功率又为多少？解 由电烙铁的额定值可求出电烙铁的等效电阻为
27、当电源电压为380V时，电烙铁消耗的功率为 48410020022RPUR W100 W29848438022RRUP第5章正弦交流电路7272实际消耗功率大于额定功率，电烙铁将被烧坏。当接到110V的交流电源上时，电烙铁消耗的功率为 W100 W2548411022RRUP第5章正弦交流电路73735.3.2 电感元件电感元件1.电感元件上电压与电流的关系在图5-20(a)所示电路中，设电感的电压与电流为关联参考方向，则 式(5-15)是电感元件上电压和电流的瞬时关系式，二者是微分关系，而不是正比关系。tiLuddLL(5-15)第5章正弦交流电路7474图5-20 纯电感电路模型及波形图
28、第5章正弦交流电路7575若设iL=ILmsin(t+i)，代入式(5-15)可得如设电流初相i=0，可绘出电压、电流波形如图5-20(c)所示。将式(5-16)与电压瞬时值表达式uC=UCmsin(t+u)相对比，可知它们具有如下关系：)2sin()2sin()cos(d)sin(diLmiLmiLmiLmLtUtLItLIttILu(5-16)第5章正弦交流电路7676(1)数值关系。电感元件电压与电流的最大值关系为ULm=ILmL=ILmXL有效值关系为式(5-17)中，L称为电感元件的感抗，表示电感线圈对电流的阻碍作用，用XL表示，单位为欧姆()，即UL=ILL=ILXL或 LLLLX
29、ULUI(5-17)LLL2IUfLLX(5-18)第5章正弦交流电路7777由式(5-18)可看出，感抗XL与电感值L、电源的频率f成正比，即电源频率越高，感抗越大，表示电感对电流的阻碍作用越大；反之，频率越低，线圈的感抗也就越小。对直流电来说，频率f0，感抗也就为零，说明电感元件在直流电路中相当于短路。因此，电感元件具有“通直流、阻交流，通低频、阻高频”的性质。(2)相位关系。电感元件电压和电流之间的相位关系为正交，即电压超前电流90，或电流滞后于电压90，即图5-20(c)给出了电流和电压的波形图。2iu(5-19)第5章正弦交流电路7878(3)相量关系。在关联参考方向下，通过电感的电
30、流为其相量为 则电感两端的电压为其相量形式为 )sin(2iLLtIiiIILL2sin2iLLtUu222iLLILLiLLXUXIUU第5章正弦交流电路7979即 相量图如图5-21所示。LLLIjXULLLjXUI或(5-20)第5章正弦交流电路8080图5-21 电感元件相量图 第5章正弦交流电路81 812.电感元件的功率电感元件的功率1)瞬时功率电感元件的瞬时功率等于电感元件上电压瞬时值与电流瞬时值的乘积。设电流初相为零，则iL=ILmsint)2sin(LmLtUutsinUItUItItUiup2 2sin21 sin)2sin(LLLmLmLmLmLL第5章正弦交流电路828
31、2由上式可知，电感元件上的瞬时功率是随时间而变化的正弦函数，其频率为电流频率的两倍，图5-22给出了功率曲线图。由图可知电感元件在不断地与电源交换电能，所以电感元件是储能元件。第5章正弦交流电路8383图5-22 电感元件的功率波形图 第5章正弦交流电路84842)有功功率P(平均功率)电感元件瞬时功率在一个周期内的平均值为上式表明电感元件是不消耗能量的。由图5-22也可以看出：电感吸收的瞬时功率不为零，在第一及第三个周期内，瞬时功率为正值，电感元件从电源吸收能量；在第二及第四个周期内，瞬时功率为负值，电感元件释放能量。在一个周期内，吸收能量和释放能量是相等的，即平均功率为零，这说明电感元件不
32、是耗能元件，而是储能元件。0d2sin1d1L00LttIUTtpTPTT4141第5章正弦交流电路85853)无功功率QL电感虽然不消耗有功功率，但要与电源进行能量交换，这种能量交换的规模，即能量交换的最大速率，我们用电感元件上电压有效值和电流有效值的乘积来衡量，叫做电感元件的无功功率，用QL表示，即无功功率的单位为“乏”(var)，工程中也常用“千乏”(kvar)。1kvar1000var。储能元件(L或C)虽本身不消耗能量，但需占用电源容量并与之进行能量交换，对电源也是一种负担。L2LL2LLLLXUXIIUQ(5-21)第5章正弦交流电路86864)电感元件储存的能量电感线圈储存的能量
33、为磁场能，用WL表示，单位为焦耳(J)，即2LL21LIW(5-22)第5章正弦交流电路8787【例5-15】已知一个电感L2H，接在的电源上。求：(1)感抗XL；(2)通过电感的电流iL；(3)电感上的无功功率QL。解(1)电感元件的感抗为XLL3142628(2)通过电感的电流为V)60314sin(2220LtuA15035.0j62860220jLLLXUI第5章正弦交流电路8888(3)电感上的无功功率为QLULIL2200.3577var【例5-16】若流过电感元件中的电流，无功功率QL=500var。求：(1)电感元件的感抗XL和L；(2)电感元件中储存的最大磁场能量WLm。第5
34、章正弦交流电路8989解(1)电感元件的感抗为电感量为(2)电感元件中储存的最大磁场能量为 51050022LLIQXmH 501005LXLJ5)210(05.0212122LmLmLIW第5章正弦交流电路90905.3.3 电容元件电容元件1.电容元件上电压与电流关系电容元件上电压与电流关系图5-23(a)所示电路中，设电容的电压与电流为关联参考方向，则电流表示为 若设uC=UCmsin(t+u)，代入式(5-23)可得 如设电压初相u=0，可绘出电压、电流波形如图5-23(c)所示。tuCidd(5-23)2sin()cos(dduCmuCmCCtCUtCUtuCi(5-24)第5章正弦
35、交流电路91 91图5-23 纯电容电路模型及波形图 第5章正弦交流电路9292将式(5-24)与电流瞬时值表达式iC=ICmsin(t+i)相对比，可知它们具有如下关系：(1)数值关系。电容元件电压与电流的最大值关系为有效值关系为式(5-25)中，称为电容元件的容抗，表示电容对电流的阻碍作用，用XC表示，单位为欧姆()，即ICm=CUCm或 CmCCmCm1IXICUIC=CUC 或 CCCC1IXICU(5-25)C1CmCmCCC211IUIUfCCX(5-26)第5章正弦交流电路9393由式(5-26)可看出，容抗XC与电容值C及电源的频率(角频率)成反比，在直流电路中，=0，容抗XC
36、趋于无穷大，相当于开路。因此，电容元件具有“通交流、隔直流，通高频、阻低频”的性质。(2)相位关系。电容元件的电压和电流之间的相位关系为正交，即电流超前电压90，或电压滞后于电流90，即图5-23(c)给出了电流和电压的波形图。2ui(5-27)第5章正弦交流电路9494(3)相量关系。在关联参考方向下，电容两端的电压为其相量为通过电容的电流为 )sin(2uCCtUuuCCUU2sin2uCCtIi第5章正弦交流电路9595其相量形式为 即 相量图如图5-24所示。222uCuCCuCCCUXUIICCCjIXU或 CCjXUI第5章正弦交流电路9696图5-24 电容元件相量图 第5章正弦
37、交流电路97972.电容元件的功率电容元件的功率1)瞬时功率电容元件的瞬时功率为电容元件上电压瞬时值与电流瞬时值的乘积。设电压初相为零，则uC=UCmsint)2sin(CmCtIitIUtItUiup2sin)2sin(sinCCCmCmCC第5章正弦交流电路9898由上式可知，电容元件上的瞬时功率也是随时间而变化的正弦函数，其频率为电流频率的两倍，图5-25给出了功率曲线图。由图可知电容元件在不断地与电源交换电能，所以电容元件是储能元件。2)有功功率P(平均功率)电容元件瞬时功率在一个周期内的平均值为与电感元件一样，电容元件也不是耗能元件，而是储能元件，即P0。0d2sin1d1C00Ct
38、tIUTtpTPTT第5章正弦交流电路9999图5-25 电容元件的功率波形图 第5章正弦交流电路1001003)无功功率QC无功功率指瞬时功率的最大值，即能量交换的最大速率，等于电容元件上电压有效值和电流有效值的乘积，用QC表示，即4)电容元件储存的能量任意时刻电容储存的能量为电场能，用WC表示，单位为焦耳(J)，即C2CC2CCCCXUXIIUQ(5-29)CqqUCUWCCC2212122(5-30)第5章正弦交流电路101101【例5-17】已知一电容C=50mF，接到220V、50Hz的正弦交流电源上。求：(1)电容元件的容抗XC；(2)电路中的电流IC和无功功率QC；(3)电源频率
39、变为1000Hz时的容抗。解(1)电容元件的容抗为(2)流过电容元件的电流为7.6350105014.3212116CfCCXA45.37.63220CCCXUI第5章正弦交流电路102102无功功率为QC=UCIC=2203.45=759var无功功率前加负号表示元件的无功功率呈容性。(3)当f1000Hz时，有 18.31050100014.3212116CfCCX第5章正弦交流电路103103【例5-18】已知一电容C100mF，接到的电源上。(1)求流过电容的电流IC。(2)求电容元件的有功功率PC和无功功率QC。(3)求电容中储存的最大电场能量WCm。(4)绘出电流和电压的相量图。解
40、(1)电容元件的容抗为电容上的电压为 V)451000sin(2220Ctu10101001000116CCXV45220CU第5章正弦交流电路104104所以流过电容的电流为(2)有功功率为PC0无功功率为QCUCIC220224840var(3)电容元件中储存的最大电场能量为 (4)相量图如图5-26所示。A4522901045220jCCXUIJ84.4)2220(101002121262CmCCUW第5章正弦交流电路105105图5-26 例5-18图 第5章正弦交流电路1061065.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式欧姆定律和基尔霍夫定律是分析各种电路的理论依据，我们
41、已经讨论了电阻、电感、电容元件的欧姆定律的相量形式。在交流电路中，由于引入了电压、电流的相量，因此基尔霍夫定律也应有相应的相量形式。1.基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律根据电流连续性原理，在交流电路中，基尔霍夫电流定律可阐述如下：任一瞬间流过电路的一个节点(或闭合面)的各电流瞬时值的代数和等于零，即i=0第5章正弦交流电路107107正弦交流电路中，若各电流都是与电源同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量表示，即得电流前的正、负号是由其参考方向决定的。若支路电流的参考方向流入节点，取正号；流出节点取负号。式(5-31)就是相量形式的基尔霍夫电流定律(KCL)。【例5-19】图5-27(a)
42、、(b)所示电路中，已知电流表A1、A2、A3的读数，求电路中电流表A的读数。0I(5-31)第5章正弦交流电路108108图5-27 例5-19电路图 第5章正弦交流电路109109解 设端电压。(1)选定电流的参考方向如图5-27(a)所示，则有 由KCL得即电流表A的读数为。注意：这与直流电路是不同的，总电流并不是20A。A0101IA90102I(与电压同相)(滞后于电压90)A45210A)10j10(A)9010010(21IIIA210第5章正弦交流电路110110(2)选定电流的参考方向如图5-27(b)所示，则有由KCL得 即电流表A的读数为5A。例5-19若用相量图分析更为
43、方便。并联电路以电压为参考相量，绘出图5-27(a)、(b)的相量图分别如图5-28(a)、(b)所示。A908A904A03321III(超前于电压90)A535A)j84 j3(A)90890403(321IIII第5章正弦交流电路111111图5-28 用相量图分析并联电路 第5章正弦交流电路1121122.基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律根据能量守恒定律，基尔霍夫电压定律也同样适用于交流电路，即任一瞬间，电路的任何一个回路中各段电压瞬时值的代数和等于零,即u=0在正弦交流电路中，各段电压都是同频率的正弦量，所以一个回路中各段电压相量的代数和也等于零，即这就是相量形式的基尔霍夫电压定律(
44、KVL)。应用KVL时，先对回路选一个绕行方向，参考方向与绕行方向一致的电压相量取正号，反之取负号。0U(5-32)第5章正弦交流电路113113【例5-20】如图5-29(a)、(b)所示电路中，已知电压表V1、V2、V3的读数，试分别求各电路中电压表V的读数。解 设电流为参考相量，即(1)选定i、u1、u2、u的参考方向如图5-29(a)所示，则 由KVL可得 所以电压表V的读数为。01IIV061UV9062U(与电流同相)(超前于电流90)V4526j6)V6(V)90606(21UUUV 26第5章正弦交流电路114114图5-29 例5-20图 第5章正弦交流电路115115(2)
45、选定i、u1、u2、u3的参考方向如图5-29(b)所示，则由KVL可得 即电压表V的读数为5V。此例也可用相量图来简化分析，串联电路以电流为参考相量，请参照例5-19自行绘出图5-29(a)、(b)的相量图。V902V905V04321UUU(滞后于电流90)V375j2)V-j54(V)90290504(21UUUU第5章正弦交流电路116116从上述两例题可以看出，正弦量的有效值并不满足KCL和KVL。在图5-27中，II1I2I3，在图5-29中，UU1U2U3，这正是正弦交流电路与直流电路的不同之处，它是由正弦交流电路本身固有的规律所决定的。第5章正弦交流电路1171175.5 阻抗
46、串联电路的分析阻抗串联电路的分析前面讨论了电阻、电感、电容元件在交流电路中的特性，当将这些电路元件串联连接时，其特点是流经每个元件的电流相同，因此可根据基尔霍夫定律进行分析。5.5.1 阻抗阻抗电阻元件对直流电和交流电都有阻碍作用，而作为常见的电路元器件，除了电阻还有电容和电感，前面我们提到过，这两者对交流电和直流电同样有阻碍作用，分别称之为容抗和感抗，用XC、XL表示。但是它们的这种作用跟电阻的阻碍作用有所不同。第5章正弦交流电路118118电容具有“隔直通交”的特性，就是对直流电有隔断作用，不能通过，而交流电可以通过，而且随着电容值的增大或者交流电频率的增大，电容对交流电的阻碍作用越小，这
47、种阻碍作用可以理解为“电阻”，但是又不等同于电阻。而电感，是对直流电无阻碍作用(如果严谨地研究的话，在通电达到饱和之前的短暂的几毫秒的暂态内，也是有阻碍的)，对交流电有阻碍作用。第5章正弦交流电路119119容抗和感抗分别用来表示电容和电感这两种储能元件对交流电的阻碍作用，两者可合称为电抗，用X表示。电抗的单位与电阻一样都是欧姆，两者的共同作用合称“阻抗”，即在交流电路中，所有电路元件对交流电所起的总的阻碍作用叫做阻抗，用Z表示。类比电阻元件的欧姆定律可得阻抗Z的表达式，也可写成代数形式和极坐标形式，即ZXRIUZj(5-33)第5章正弦交流电路120120由上式可知，阻抗是一个复数，也叫做复
48、阻抗，等于电压相量和电流相量的比值，但阻抗不是正弦量，也不是相量，所以上面不能加点。阻抗的实部是电阻，虚部是电抗|Z|称为阻抗的模，Z称为阻抗角，量纲是欧姆。对于一个具体电路，阻抗不是不变的，而是随着电源频率变化而变化。第5章正弦交流电路1211215.5.2 RLC串联电路分析串联电路分析RLC串联交流电路是正弦电路的典型示例。1.电压与电流的关系电压与电流的关系RLC串联电路如图5-30(a)所示，设电流i=Imsint为参考正弦量，其相量为=I0，各元件电压uR、uL、uC的参考方向均与电流的参考方向关联。由KVL得端口总电压为 ItiCtiLiRuuuud1ddCLR第5章正弦交流电路
49、122122图5-30 RLC串联电路 第5章正弦交流电路123123由于都是线性元件，所以各元件上的电压以及电路端电压、端电流都是同频率的正弦量，故电压可以用相量表示为由于单一参数的电压、电流关系为所以，总电压为 式中的Z=R+jX=R+j(XLXC|Z|fZ，即为阻抗。CLRUUUUIXUIXUIRUCCLLRjjIZIXRIXXRIXIXIRU)j()(jjjCLCL(5-34)第5章正弦交流电路124124式(5-34)称为RLC串联电路欧姆定律的相量形式，可用图5-30(b)所示的相量模型表示，相量图如图5-31(a)所示。由电压相量图可看出，(电抗电压)、组成一个直角三角形，该三角
50、形称为电压三角形，如图5-31(b)所示。从电压三角形可知电阻、电感及电容电压有效值与总电压有效值之间的关系为CLX,UUUURURCLRXiu2X2R2CL2Rarctanarctan)(UUUUUUUUUUU(5-35)第5章正弦交流电路125125图5-31 RLC串联电路电压、电流、阻抗关系 第5章正弦交流电路126126在RLC串联电路中，电流处处相等，将电压三角形的每边除以电流I，得出新的三边，构成阻抗三角形，如图5-31(c)所示。可见RLC串联电路中，电压三角形与阻抗三角形相似。由阻抗三角形得出RXRXXXRXXRIUZarctanarctan)(CLiu222CL2(5-36
