1、第 9 讲直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。知识梳理一、直线与圆的位置关系及判断(直线：AxByC0，圆：(xa)2(yb)2r2)位置关系相交相切相离公共点个数2 个1 个0 个判定方法几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2drom代数法：由消元得到一元二次方程的判别式00r1r2d|r1r2|r1r2|d0 时，C1与 C2相交(2)判别式0 时，C1与 C2外切或内切(3)判别式0 时，C1与 C2外离或内含名师导学知识点 1直线与圆位置关系的判定【例 1
2、-1】已知圆的方程是 x2y22，直线 yxb，当 b 为何值时，圆与直线相交、相切、相离？【解】法一直线与圆的位置关系问题可转化为方程组x2y22，yxb，有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题代入，整理得 2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)当2b0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当 b2 或 b2 时，0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当 b2 时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离法二圆心(0，0)到直线 yxb 的距离为 d|b|2，圆的半径
3、r 2.当 dr，即|b|2 2时，直线与圆相交，2br，即|b|2 2时，直线与圆相离，b2 或 b2.当2b2 或 b1，故点 M 在圆外当切线斜率存在时，设切线方程是y4k(x2)，即 k xy42k0，由于直线与圆相切，故|k342k|k2（1）21，解得 k247.所以切线方程为 24x7y200.又当切线斜率不存在时，直线 x2 与圆相切综上所述，所求切线方程为 24x7y200 或 x2.【变式训练 2-1】若将例 2-1 中的点 M 的坐标改为(1，2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？【解】由于(11)2(23)21，故点 M 在圆上，设圆的圆心为 C，则 C(1，3)，显
4、然 CM 的斜率不存在圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率 k0，切线方程为 y2.知识点 3直线与圆相交的有关问题【例 3-1】求直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长【解】法一直线 x 3y2 30 和圆 x2y24 的公共点坐标就是方程组x 3y2 30，x2y24的解解这个方程组，得x1 3，y11，x20，y22.所以公共点的坐标为(3，1)，(0，2)，所以直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长为（30）2（12）22.法二如图，设直线 x 3y2 30 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则 OMAB(O为坐标原点)，
5、所以|OM|002 3|12（3）2 3.所以|AB|2|AM|2 OA2OM22 22（3）22.【变式训练 3-1】已知直线 ykx(k0)与圆 C：(x2)2y21 相交于 A，B 两点，若|AB|255，则 k_【解析】圆心到直线的距离 d|2k|k21，|AB|255，|2k|k2125521，k12.k0，k12.【答案】12知识点 4两圆位置关系的判定【例 4-1】a 为何值时，两圆 C1：x2y22ax4ya250 和 C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外离？【解】将两圆方程写成标准方程，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.
6、两圆的圆心和半径分别为 C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为 d，则 d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当 d5，即 2a26a525 时，两圆外切，此时 a5 或 a2.(2)当 1d5，即 12a26a525 时，两圆相交，此时5a2 或1a5，即 2a26a525 时，两圆外离，此时 a2 或 a5.【变式训练 4-1】圆(x4)2y29 和圆 x2(y3)24 的公切线有()A1 条B2 条C3 条D4 条【解析】圆(x4)2y29 的圆心为(4，0)，半径等于 3，圆 x2(y3)24 的圆心为(0，3)，半径等于 2.两圆的圆心距等于42325
7、23，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为 3，故选 C.【答案】C知识点 5两圆相切问题【例 5-1】已知以 C(4，3)为圆心的圆与圆 O：x2y21 相切，则圆 C 的方程是_【解析】设圆 C 的半径为 r，又圆心距 d（40）2（30）25，当圆 C 与圆 O 外切时，r15，r4，当圆 C 与圆 O 内切时，r15，r6，圆 C 的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336.【答案】(x4)2(y3)216 或(x4)2(y3)336【变 式 训 练 5-1】若 圆 C1：x2 y2 1 与 圆 C2：x2 y2 6x 8y m 0 外 切，则 m 等 于()A21B19
8、C9D11【解析】C2：x2y26x8ym0 化为(x3)2(y4)225m.C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，两圆圆心距 d（30）2（40）25，又两圆半径分别为 1，25m，则 dr1r2，即 51 25m，解得 m9.【答案】C知识点 6两圆相交的问题【例 6-1】已知两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y80，判断两圆的位置关系【解】将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，则圆 C1的圆心为(1，5)，半径 r15 2.圆 C2的圆心为(1，1)，半径 r2 10.又|C1C2|2 5，r1r25 2
9、10，r1r25 2 10，r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交【变式训练 6-1】在例 6-1 的条件下，求公共弦的长度【解】法一由例 6-1 知圆 C1的圆心为(1，5)，其到直线 x2y40 的距离 d|12（5）4|1（2）23 5，公共弦长 l2 r21d22 50452 5.法二设两圆相交于点 A，B，则 A，B 两点满足方程组x2y40，x2y22x2y80，解得x4，y0或x0，y2，所以|AB|（40）2（02）22 5，即公共弦长为 2 5.知识点 7直线与圆的方程的应用【例 7-1】某圆拱桥的水面跨度 20 m，拱高 4 m现有一船，宽 10 m，水面以上高 3 m，这
10、条船能否从桥下通过？【解】建立如图所示的坐标系，使圆心 C 在 y 轴上依题意，有A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0)设这座圆拱桥的拱圆的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有（a10）2b2r2，（a10）2b2r2，a2（b4）2r2.解此方程组，得 a0，b10.5，r14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点 D 的横坐标 x5 代入上式，得 y3.1.由于船在水面以上高 3 m，30)，将 A(x0，3)代入圆的方程，得 x0 51，当水面下降 1 米后，水面宽为 2x0251米【答案】2 51知识点 8坐标
11、法证明几何问题【例 8-1】如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于点E，F，且 EF 与 CD 相交于 H，求证：EF 平分 CD.【证明】以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a，0)，则|CD|r2a2，C(a，r2a2)，圆 O：x2y2r2，圆 C：(xa)2(y r2a2)2r2a2.两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax2 r2a2yr2a2.令 xa，得 y12r2a2，H(a，12r2a2)，即 H 为 CD 中点，EF 平分 CD.【变式训练 8
12、-1】如图，直角ABC 的斜边长为定值 2m，以斜边的中点 O 为圆心作半径为 n 的圆，直线BC 交圆于 P，Q 两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值【证明】如图，以 O 为坐标原点，以直线 BC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，于是有 B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)设 A(x，y)，由已知，点 A 在圆 x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)名师导练2.5.1直线与圆的位置关系A 组-应知应会1已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位
13、置关系是()A相切B相交C相离D不确定【解析】点 M(a，b)在圆 x2y21 外，a2b21.圆心(0，0)到直线 axby1 的距离 d1a2b21r，则直线与圆的位置关系是相交【答案】B2平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程是()A2xy 50 或 2xy 50B2xy 50 或 2xy 50C2xy50 或 2xy50D2xy50 或 2xy50【解析】依题意可设所求切线方程为 2xyc0，则圆心(0，0)到直线 2xyc0 的距离为|c|22125，解得 c5.故所求切线方程为 2xy50 或 2xy50.【答案】D3已知圆 C 与直线 xy0 及 xy40
14、都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 C 的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22【解析】由条件，知 xy0 与 xy40 都与圆相切，且平行，所以圆 C 的圆心 C 在直线 xy20上由xy20，xy0，得圆心 C(1，1)又因为两平行线间距离 d422 2，所以所求圆的半径长 r 2，故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.【答案】B4若直线 ykx 与圆 x2y26x80 相切，且切点在第四象限，则 k_【解析】圆 x2y26x80，即(x3)2y21，其圆心为(3，0)、半径等于 1.由题意可得 k0 时，得 m5，
15、当 m5 时，曲线 C 表示圆；(2)圆 C 的圆心坐标为(1，2)，半径为 5m.直线 l：yxm 与圆 C 相切，|12m|2 5m，解得：m3，满足 m5.m3.B 组-素养提升8在圆 x2y22x4y30 上且到直线 xy10 的距离为 2的点共有()A1 个B2 个C3 个D4 个【解析】圆心为(1，2)，半径 r2 2，从而圆心到直线 xy10 的距离 d|121|2 2，故圆上有 3 个点满足题意【答案】C9圆 x2y24x6y120 过点(1，0)的最大弦长为 m，最小弦长为 n，则 mn 等于()A102 7B5 7C103 3D5322【解析】圆的方程 x2y24x6y12
16、0 化为标准方程为(x2)2(y3)225.所以圆心为(2，3)，半径长为 5.因为(12)2(03)21825，所以点(1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即 m10.当(1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距 d（21）2（30）23 2，所以最小弦长为 2 r2d22 25182 7，所以 mn102 7.【答案】A10设直线 axy30 与圆(x1)2(y2)24 相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则 a_【解析】圆心到直线的距离 d|a23|a21 22（3）21，解得 a0.【答案】011由直线 yx1 上的一点向圆 x26xy280 引切线，则切线
17、长的最小值为_【解析】切线长的最小值在直线 yx1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为 d|301|22 2，圆的半径为 1，故切线长的最小值为 d2r2 81 7.【答案】712(1)求圆 x2y210 的切线方程，使得它经过点 M(2，6)；(2)求圆 x2y24 的切线方程，使得它经过点 Q(3，0)【解】(1)点 M 的坐标适合圆的方程，点 M 在圆 x2y210 上，由题可知圆心为 O(0，0)，则直线 OM 的斜率 kOM62.圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率为 k26.故经过点 M 的切线方程为y 626(x2)，整理得：2x 6y100.(2)
18、容易判断点 Q(3，0)在圆外设切线的方程为 yk(x3)，即 kxy3k0，又圆的圆心为(0，0)，半径为 2，所以|3k|1k22.解得：k2 55.所求切线方程为：y2 55(x3)，即 2 5x5y6 50 或 2 5x5y6 50.13已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)求证不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时的 l 的方程(1)【证明】因为 l 的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以2xy70，xy40，解得x3，y1，即 l 恒过定点 A(3，1)因为圆心为 C(1
19、，2)，所以|AC|55(半径)，所以点 A 在圆 C 内，从而直线 l 与圆 C 恒交于两点(2)【解】由题意可知弦长最小时，lAC.因为 kAC12，所以 l 的斜率为 2.又 l 过点 A(3，1)，所以 l 的方程为 2xy50.2.5.2圆与圆的位置关系A 组-应知应会1圆 x2y29 和 x2y28x6y90 的位置关系是()A外离B相交C内切D外切【解析】圆 C1：x2y29 的圆心为 C1(0，0)，半径 r13；圆 C2：x2y28x6y90 化为(x4)2(y3)216，圆心为 C2(4，3)，半径 r24，圆心距|C1C2|42（3）25.因为|r1r2|C1C2|34r
20、1r2，所以两圆相交【答案】B2过两圆 x2y26x4y0 及 x2y24x2y40 的交点的直线的方程是()Axy20Bxy20C5x3y20D不存在【解析】由x2y26x4y0，x2y24x2y40，得 xy20.【答案】A3 若 圆 C1：(x 2)2(y m)2 9 与 圆 C2：(x m)2(y 1)2 4 外 切，则 实 数 m 的 值 为()A2B5C2 或5D不确定【解析】两圆的圆心分别为(2，m)，(m，1)，两圆的半径分别为 3，2，由题意得（m2）2（1m）232，解得 m2 或5.【答案】C4已知圆 C1：x2y26x70 与圆 C2：x2y26y270 相交于 A，B
21、 两点，则线段 AB 的中垂线方程为_【解析】圆 C1的圆心为 C1(3，0)，圆 C2的圆心为 C2(0，3)，直线 C1C2的方程为 xy30，AB 的中垂线即直线 C1C2，故其方程为xy30.【答案】xy305圆 C1：x2y22mxm240 与圆 C2：x2y22x4my4m280 相交，则实数 m 的取值范围是_【解析】整理圆 C1得(xm)2y24，整理圆 C2得(x1)2(y2m)29，C1的圆心为(m，0)，半径为 2，圆 C2的圆心为(1，2m)，半径为 3.两圆相交，圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，即 1（m1）2（2m）25，解得：0m2或125m25
22、.【答案】(0，2)或125，256求圆 C1：x2y22x0 和圆 C2：x2y24y0 的圆心距|C1C2|，并确定圆 C1和圆 C2的位置关系【解】圆 C1：x2y22x0 化为(x1)2y21，圆 C2：x2y24y0 化为 x2(y2)24，圆 C1，C2的圆心坐标，半径长分别为 C1(1，0)，r11；C2(0，2)，r22.|C1C2|（10）2（02）2 5.又 21|C1C2|50，解得 m5；所以m 的取值范围为(，5)(2)把圆 x2y28x12y360 化为标准方程得：(x4)2(y6)216，得到圆心坐标为(4，6)，半径为 4，则两圆心间的距离 d（41）2（62）
23、25，因为两圆的位置关系是外切，所以 dRr 即 4 5m5，解得 m4；(3)因为圆心 C 的坐标为(1，2)，则圆心 C 到直线 l 的距离 d1555，所以(5m)212|MN|2d2，即 5m1，解得 m4.13已知圆 C1：x2y24x2y50，圆 C2：x2y22x2y140.(1)试判断两圆的位置关系；(2)直线 l 过点(6，3)与圆 C1相交于 A，B 两点，且|AB|2 6，求直线 l 的方程【解】(1)圆 C1：x2y24x2y50，即(x2)2(y1)210，其圆心为 C1(2，1)，半径等于 10，C2：x2y22x2y140，即(x1)2(y1)216，其圆心为 C
24、2(1，1)为圆心，半径等于 4.由于两圆的圆心距等于 32023，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交(2)当 AB 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x6，此时直线 l 与圆 C1相离，不满足条件当 AB 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y3k(x6)，即 kxy36k0，由弦长公式可得圆心到直线 l 的距离 d 1062，再由点到直线的距离公式可得 d2|2k136k|k21，解得 k0 或 k43.故直线 l 的方程为 y3 或 4x3y150.2.5.3 直线与圆的方程的应用A 组-应知应会1方程 1x2xk 有唯一解，则实数 k 的取值范围是()A 2B(2，2)C1，1
25、)Dk|k 2或1k1【解析】由题意知，直线 yxk 与半圆 x2y21(y0)只有一个交点，结合图形(图略)易得1k0)，它表示的图形是圆 x2y29 在 x 轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得，当30)有公共点【答案】(3，3 211过点 P(1，1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_【解析】由题意知点 P(1，1)在圆 x2y24 内，若过点 P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心 O 和 P(1，1)的连线垂直，该直线斜率为1，由点斜式方程得 y1(x1)，即 xy20.【答案】xy2
26、012如图，已知一艘海监船 O 上配有雷达，其监测范围是半径为 25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)【解】如图，以 O 为原点，东西方向为 x 轴建立直角坐标系，则 A(40，0)，B(0，30)，圆 O 方程 x2y2252.直线 AB 方程：x40y301，即 3x4y1200.设 O 到 AB 距离为 d，则 d|120|52425，所以外籍轮船能被海监船监测到设监测时间为 t，则 t2 2522
27、422812(h)所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是 0.5 h.13如图，过半径为 2 的圆 M 上两点 P，Q 的切线相交于点 T，自点 P 向平行于 PQ 的直径 AB 的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于 PQ 的直径所在直线于点 R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|ST|.【证明】如图，以圆心 M 为原点，平行于 PQ 的直径 AB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则可得圆的方程 x2y24，A(0，2)，B(0，2)，设 P(x0，y0)，则 x20y204.直线 AP 的方程为：yy02x0 x2，令 y0 得 xR2x02y0，直线 BP 的方程为：yy02x0 x2，令 y0 得 xS2x02y0.切线 PT 方程为 x0 xy0y4，由对称性知点 T 在 x 轴上，故令 y0 得 xT4x0.|RT|xRxT|2x02y04x0|2y0（2y0）（2y0）x0|2y0 x0|，|ST|xSxT|2x02y04x0|2y0（2y0）（2y0）x0|2y0 x0|，|RT|ST|.
