1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (二十七 ) 1.如图 所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离 ， 李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C(ABC 的角 A， B， C 所对的边分别记为 a， b， c)， 然后给出了三种测量方案： 测量 A， C， b； 测量 a， b， C； 测量 A， B， a， 则一定能确定 A， B 间的距离的所有方案的序号为 ( ) A B C D 答案 D 解析 由题意可知 ， 在 三个条件下三角形均可唯一确定 ， 通过解 三角形的知识可求出AB.故选 D. 2.(2017 广东中山上学期期末 )如图所 示 ， 设 A， B 两点在河
2、的两岸 ， 一测量者在 A 的同侧 ， 在所在的河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m，ACB 45， CAB 105 后 ， 就可以计算出 A， B 两点的距离为 ( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D.25 22 m 答案 A 解析 由题意 ， 得 B 30 .由正弦定理 ， 得 ABsin ACB ACsinB， AB AC sin ACBsinB 50 2212 50 2 (m)故选 A. 3 某人在 C 点测得某塔 在南偏西 80， 塔顶仰角为 45 ， 此人沿南偏东 40 方向前进 10米到 D， 测得塔顶 A 的仰角为 30， 则塔高为 (
3、 ) A 15 米 B 5 米 C 10 米 D 1 米 答案 C 解析 如图所示 ， 设塔高为 h， 在 Rt AOC 中 ， ACO 45， 则 OC OAh. 在 Rt AOD 中 ， ADO 30， 则 OD 3h， 在 OCD 中 ， OCD 120，CD 10， 由余弦定理得 OD2 OC2 CD2 2OCCD cos OCD， 即 ( 3h)2 h2 1022h10 cos120， h2 5h 50 0， 解得 h 10 或 h 5(舍去 ) 4 有一长为 1 千米的斜坡 ， 它的倾斜角为 20， 现要将倾斜角改为 10， 则斜坡长为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A
4、 1 千米 B 2sin10 千米 C 2cos10 千米 D cos20 千米 答案 C 解析 由题意知 DC BC 1， BCD 160， BD2 DC2 CB2 2DCCB cos160 1 1 211 cos(180 20 ) 2 2cos20 4cos210， BD 2cos10 . 5.(2017 湖南师大附中月考 )如图所示 ， 测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D， 测得 BCD 15， BDC 30，CD 30， 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60， 则塔高 AB ( ) A 5 6 B 15 3 C 5 2 D 15 6
5、答案 D 解析 在 BCD 中 ， CBD 180 45 135 . 由正弦定理得 BCsin30 30sin135 ， 所以 BC 15 2. 在 Rt ABC 中 ， AB BCtan ACB 15 2 3 15 6.故选 D. 6 在 200 m 高的山顶上 ， 测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30， 60， 则塔高为 ( ) A.4003 m B.400 33 m C.200 33 m D.2003 m 答案 A 解析 如图 ， 在 Rt BAC 中 ， ABC 30， AB 200， BC ABcos30 4003 3. EBD 30， EBC 60， DBC 30， BDC 120
6、 . 在 BDC 中 ， DCsin30 BCsin120 . DC BC sin30sin120 4003 31232 4003 (m) 7 (2018 广东佛山二模 )某沿海四个城市 A， B， C， D 的位置如图所示 ， 其中 ABC 60，=【 ;精品教育资源文库 】 = BCD 135， AB 80 n mile， BC (40 30 3) n mile， CD 250 6 n mile， D 位于 A的北偏东 75 方向现在有一艘轮船从城市 A 出发以 50 n mile/h 的速度向城市 D 直线航行 ， 60 min 后 ， 轮船由于天气原因收到指令改向城市 C 直线航行 ，
7、 收到指令时城市 C 对于轮船的方位角是南偏 西，则 sin _ 答案 6 24 解析 设轮船行驶至 F 时收到指令 ， 则 AF 50 n mile.连接 AC， CF， 过 A 作 AEBC 于 E，则 AE ABsin60 40 3(n mile)， BE ABcos60 40(n mile)， CE BC BE 30 3(n mile)， AC AE2 CE2 50 3(n mile)， 所以 cos ACE 35， sin ACE 45， 所以 cos ACD cos(135 ACE) 22 35 22 45 210 ACCD， 所以 CAD 90 .因为 AF 50 n mile，
8、AC 50 3 n mile， 可得 AFC 60， 所以 75 AFC 15， 故 sin 6 24 . 8 要测底部不能到达的电视塔 AB 的高度 ， 在 C 点测 得塔顶 A 的仰角是 45， 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30， 并测得水平面上的 BCD 120， CD 40 m， 求电视塔的高度 答案 40 米 解析 如图设电视塔 AB 高为 x， 则在 Rt ABC 中 ， 由 ACB 45， 得 BC x.在 Rt ADB 中 ， ADB 30， BD 3x. 在 BDC 中 ， 由余弦定理 ， 得 BD2 BC2 CD2 2BCCD cos120 . 即 ( 3x)2 x2
9、 402 2x40 cos120， 解得 x 40， 电视塔高为 40 米 9.衡水市某广 场有一块不规则的绿地如图所示 ， 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志 ， 小李、小王设计的底座形状分别为 ABC ， ABD，经测量 AD BD 7 米 ， BC 5 米 ， AC 8 米 ， C D. (1)求 AB 的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元 ， 不考虑其他因素 ， 小李、小王谁的设计使建造费用较低 (请说明理由 )？较低造价为多少？ ( 3 1.732， 2 1.414) 答案 (1)7 米 (2)小李的设计建造费用低， 86 600 元 =【 ;
10、精品教育资源文库 】 = 解析 (1)在 ABC 中 ， 由余弦定 理 ， 得 cosC AC2 BC2 AB22AC BC 82 52 AB22 8 5 . 在 ABD 中 ， 由余弦定理 ， 得 cosD 72 72 AB22 7 7 . 由 C D ， 得 cosC cosD. AB 7， AB 长为 7 米 (2)小李的设 计建造费用较低 ，理由如下： S ABD 12AD BD sinD， S ABC 12AC BC sinC. AD BDAC BC， S ABDS ABC. 故选择 AB C 建造环境标志费用较低 AD BD AB 7， ABD 是等边三角形 ， D 60 . S
11、ABC 10 3 101.732 17.32. 总造价为 5 00017.32 86 600(元 ) 10 (2017 盐城一模 )如图所示 ， 经过村庄 A 有两条夹角为 60 的公路 AB， AC， 根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P， 分别在两条公路边上建两个仓库 M， N(异于村庄 A)，要求 PM PN MN 2(单位：千米 )如何设计 ， 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 (即工厂与村庄的距离最远 )? 答案 当设计 AMN 60 时 ， 工厂产生的噪声对居民影响最小 解析 设 AMN ， 在 AMN 中 ， MNsin60 AMsin（ 120 ） . 因为 MN 2
12、， 所以 AM 4 33 sin(120 ) 在 APM 中 ， cos AMP cos(60 ) AP2 AM2 MP2 2AMMP cos AMP 163 sin2(120 ) 4 22 4 33 sin(120 ) cos(60 ) 163 sin2( 60 ) 16 33 sin( 60 )cos( 60 ) 4 831 cos(2 120 ) 8 33 sin(2 120 ) 4 83 3sin(2 120 ) cos(2 120 ) 203 203 163sin(2 150 )， (0 ， 120 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 2 150 270， 即 60 时
13、， AP2取得最大值 12， 即 AP 取得最大值 2 3. 所以设计 AMN 60 时 ， 工厂产生的噪声对居民影响最小 为了测量两山顶 M， N 之间的距离 ， 飞机沿水平方向在 A， B 两点进行测量 A， B， M， N 在同一个铅垂平面内 (如图所示 ) 飞机能够测量的数据有俯角和 A， B 间的距离请设计一个方案 ， 包括： 指出需要测量的数据 (用字母表示 ， 并在图中标出 )； 用文字和公式写出计算M， N 间的距离的步骤 答案 略 解析 方案一： 需要测量的数据有： A 点到 M， N 点的俯角 1， 1， B 点到 M， N 的俯角 2， 2； A， B 间的距离 d(如图
14、所示 ) 第一步：计算 AM.由正弦定理 ， 得 AM dsin 2sin（ 1 2）； 第二步：计算 AN.由正弦定理 ， 得 AN dsin 2sin（ 2 1）； 第三步：计算 MN.由余弦定理 ， 得 MN AM2 AN2 2AMAN cos（ 1 1） . 方案二： 需要测量的数据有： A 到 M， N 点的俯角 1， 1； B 点到M， N 点的俯角 2， 2； A， B 间的距离 d(如图所示 ) 第一步：计算 BM.由正弦定理 ， 得 BM dsin 1sin（ 1 2）； 第二步：计算 BN.由正弦定理 ， 得 BN dsin 1sin（ 2 1）； 第三步：计算 MN.由余弦定理 ， 得 MN BM2 BN2 2BMBN cos（ 2 2） .
