1、第 11 讲双曲线新课标要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c 的关系c2a2b23.双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)范围xa 或 xaya
2、或 ya顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点离心率eca(1，)渐近线ybax，ybaxyabx，yabx4.直线与双曲线的位置关系及判定直线：AxByC0，双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)，两方程联立消去 y，得 mx2nxq0.则直线与双曲线的位置关系如下表：位置关系公共点个数判定方法相交2 个或 1 个m0 或m00相切1 个m0 且0相离0 个m0 且0名师导学知识点 1双曲线定义的应用【例 1-1】(1)动点 P 到点 M(1,0)，N(1,0
3、)的距离之差等于 2，则动点 P 的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线(2)若方程x25ky2k31 表示双曲线，则 k 的取值范围是()A(5，)B(，3)C(3,5)D(，3)(5，)【分析】利用双曲线的定义解题【解析】(1)|MN|2，|PM|PN|2|MN|，点 P 的轨迹是以 N 为端点的一条射线，故选 D.(2)x25ky2k31 表示双曲线，5k 与 k3 一正一负，即(5k)(k3)0，解得 k5 或 k3.故选 D.【答案】(1)D(2)D【变式训练 1-1】(1)(马鞍山高二测试)已知点 P 的坐标满足 x12y12 x32y324，则动点 P 的轨迹是(
4、)A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线(2)若动点 P 到 F1(5,0)与 F2(5,0)的距离的差为8，则 P 点的轨迹方程是()A.x225y2161Bx225y2161C.x216y291Dx216y291【解析】(1)点 P 的坐标满足 x12y12 x32y324，动点 P(x，y)到 A(1,1)和 B(3，3)的距离之差等于 4，又 A(1,1)和 B(3，3)两点间的距离为|AB|4 2，动点 P 的轨迹方程是双曲线的一支(2)由双曲线定义知，P 点的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线，且 2a8，a4，c5，b3.P 点的轨迹方程为x216y291.【答案】(1)B(
5、2)D知识点 2求双曲线的标准方程【例 2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在 x 轴上，a3，c5；(2)与椭圆x225y251 有共同焦点，且过点(3 2，2)的双曲线的标准方程；(3)经过两点(3，4 2)，94，5.【分析】对于(1)，只需求出 b2即可；对于(2)，(3)可设出双曲线的方程，代入条件即可【解】(1)a3，c5，b2c2a225916.又此双曲线焦点在 x 轴上，所求的双曲线的标准方程为x29y2161.(2)x225y251 的焦点坐标为(2 5，0)，(2 5，0)，由题意得，所求双曲线的焦点坐标为(2 5，0)，设所求的双曲线的标准方程为x2a2y2
6、20a21.又(3 2，2)在双曲线上，18a2220a21，解得 a2202 10，所求的双曲线的标准方程为x2202 10y22 101.(3)设所求的双曲线的标准方程为 mx2ny21(其中 mn0)由题意得9m32n1，8116m25n1，得m19，n116.故所求的双曲线的标准方程为y216x291.【变式训练 2-1】已知椭圆x2a2y291(a0)与双曲线x24y231 有相同的焦点，则 a 的值为()A.2B 10C4D 34【解析】椭圆x2a2y291 与双曲线x24y231 有相同的焦点(7，0)，a297，a216.又 a0，a4.【答案】C知识点 3双曲线定义及其标准方
7、程的应用【例 3-1】如图所示，若 F1，F2是双曲线x29y2161 的两个焦点(1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离；(2)若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【分析】(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，则点 M 到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积【解】双曲线的标准方程为x29y2161，故 a3，b4，ca2b25.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x，则|16x|
8、6，解得 x10 或 x22.又 ca532,102,222，故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22.(2)将|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2|0，F1PF290，SF1PF212|PF1|PF2|123216.【变式训练 3-1】已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29y236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在
9、双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6 3，试判断MF1F2的形状【解】(1)椭圆的方程可化为x29y241，焦点在 x 轴上，且 c 94 5.故可设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)依题意得9a24b21，a2b25，解得 a23，b22.故双曲线的标准方程为x23y221.(2)不妨设 M 在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2 3.又|MF1|MF2|6 3，解得|MF1|4 3，|MF2|2 3.又|F1F2|2c2 5，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos MF2F1|MF2|2|F1F2|2|MF1|22|MF2|F1
10、F2|2 322 524 3222 32 52150)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_【解析】双曲线 x2y2b21 过点(3,4)，916b21，b22，又 a21，焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y 2x.【答案】y 2x知识点 5利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例 5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)焦点在 y 轴上，实轴长为 10，离心率为125；(2)焦距为 10，实轴长是虚轴长的 2 倍；(3)与双曲线y23x21 共渐近线，焦点坐标为(2,0)【分析】对于(1)只需根据题目条件求出 b2即可；对于(2)，由于焦点所在的坐标轴不确定，故需分情况讨论；对于(
11、3)，利用两双曲线共渐近线求解【解】(1)由题意得 2a10，a5，又 eca125，c12.b2c2a214425119.又焦点在 y 轴上，所求的双曲线的标准方程为y225x21191.(2)由题意得 c5，a2b，又 a2b2c2，5b225，b25，a220.当焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为x220y251；当焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为y220 x251.(3)设所求的双曲线方程为y23x2(0)，焦点在 x 轴上，0，方程再化为x2y231.又焦点坐标为(2,0)，44，1，故所求双曲线的标准方程为 x2y231.【变式训练 5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方
12、程(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为53；(2)两顶点间的距离为 6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分【解】(1)由题意，得 2b8，eca53，b4，c53a，代入 c2a2b2，得 a29.又该双曲线焦点在 x 轴上，双曲线的标准方程为x29y2161.(2)由已知得 2a6,2c4a，a3，c6.b2c2a236927.所求的双曲线方程为x29y2271 或y29x2271.知识点 6双曲线的离心率问题【例 6-1】(1)设 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为(
13、)A.2B 15C4D 17(2)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点为 F1，F2，若 P 为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_【分析】对于(1)，根据双曲线的定义得到 a，b，c 的关系式，再求离心率；对于(2)，欲求离心率的取值范围，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解【解析】(1)根据已知条件，知|PF1|PF2|2a，所以 4a2b23ab，所以 b4a，所以双曲线的离心率 ecaa2b2a2 17.(2)P 为双曲线上一点，|PF1|2|PF2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，又|PF2|ca，即 2aca，eca3.又 e1
14、，1e3.【答案】(1)D(2)1e3【变式训练 6-1】(1)(北京卷)已知双曲线x2a2y21(a0)的离心率是 5，则 a()A.6B4C2D12(2)(全国卷)双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 130，则双曲线 C 的离心率为()A2sin 40B2cos 40C.1sin 50D1cos 50【解析】(1)由题意，得 e 5caa21a 5，5a2a21，解得 a12.(2)由题意，得 kbatan 130，batan 50，即c2a2a2sin250cos250，e2sin250cos25011cos250，e1cos 50.【答案】(1)D(2)
15、D知识点 7直线与双曲线的位置关系【例 7-1】已知过点 P(0,1)的直线 l 与双曲线 x2y241 只有一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值【分析】欲解此题，需将直线与双曲线联立，再利用所得的方程求解【解】设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1.由ykx1，x2y241，得(4k2)x22kx50.当 4k20，即 k2 时，此时的直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当 4k20 时，由4k24(4k2)(5)0，解得 k 5.综上，得直线 l 的斜率 k 的值为2 或 5.【变式训练 7-1】(龙岩一中月考)斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C：x2
16、a2y2b21(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A2，)B(1，3)C(1，5)D(5，)【解析】依题意，斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C：x2a2y2b21 的右焦点且与双曲线的左、右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于 2，即 b2a，因此该双曲线的离心率 ecaa2b2a21b2a2 14 5.【答案】D知识点 8弦长问题【例 8-1】(福州检测)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 5，虚轴长为 4.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为 45的直线 l
17、与双曲线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积【分析】第(1)问，直接由 eca和 c2a2b2，求出 a2，b2；第(2)问，由 l 与 C 联立，消去 y，利用韦达定理和弦长公式可求|AB|，再由点到直线的距离公式求OAB 的高，最后求面积【解】(1)依题意可得ca 5，2b4，c2a2b2，解得 a1，b2，c 5，双曲线的标准方程为 x2y241.(2)由题意，得直线 l 的方程为 yx1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yx1，x2y241，可得 3x22x50，由韦达定理，可得 x1x223，x1x253，|AB|1k2x1x224x1x2 2492
18、038 23，原点到直线 l 的距离为 d22，SOAB12|AB|d128 232243.【变式训练 8-1】已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且AOB 的面积为 2，求实数 k 的值【解】(1)若双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组x2y21，ykx1有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以1k20，4k281k20.解得 2k 2且 k1.即双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围是(2，1)(1,
19、1)(1，2)(2)设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 与 y 轴交于点 D(0，1)，由(1)知，C 与 l 联立的方程为(1k2)x22kx20，所以x1x22k1k2，x1x221k2.当 A，B 在双曲线的一支上且|x1|x2|时，SOABSOADSOBD12(|x1|x2|)12|x1x2|；当 A，B 在双曲线的两支上且 x1x2时，SOABSOADSOBD12(|x1|x2|)12|x1x2|.所以 SOAB12|x1x2|2，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2 2)2，即2k1k2 281k28，解得 k0 或 k62.又因为 2k 2，且 k1，
20、所以当AOB 的面积为 2时，实数 k 的值为 0 或62.知识点 9中点弦问题【例 9-1】(吉林实验中学检测)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，且a2c23.(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 xym0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B 且线段 AB 的中点 P 在圆 x2y25 上，求 m的值【分析】由于 P 为中点，可利用点差法求解【解】(1)由题意，得ca 3，a2c23，解得a63，c 2.b2c2a222343，双曲线 C 的方程为3x223y241.(2)由3x223y241，xym0，得 3x26mx3m240.设 A(x1，y1)，
21、B(x2，y2)，x1x22m，又中点 P 在直线 xym0 上，中点 P 坐标为(m,2m)，代入 x2y25 得，m1，满足判别式0.m 的值为1.【变式训练 9-1】双曲线 C：x2y22 右支上的弦 AB 过右焦点 F.(1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；(2)是否存在以 AB 为直径的圆过原点 O？若存在，求出直线 AB 的斜率 k 的值若不存在，则说明理由【解】(1)设中点 M 的坐标为(x，y)，(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)双曲线 x2y22 的焦点 F 的坐标为(2,0)kAByx2，又x21y212，x22y222，x21x22y21y22，(x1x2)
22、(x1x2)(y1y2)(y1y2)，kyx.yx2yx，y2x22x，(x2)当 x2 时，AB 与 x 轴垂直，AB 的中点 M 的轨迹方程为 x22xy20，(x2)(2)假设存在，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：yk(x2)，由已知得 OAOB，x1x2y1y20，(1k2)x1x22k2(x1x2)4k20，(*)由x2y22，ykx2得(1k2)x24k2x4k220.所以 x1x24k2k21，x1x24k22k21(k21)代入(*)式，化简得 k210 无解所以这样的圆不存在名师导练3.2.1双曲线及其标准方程A 组-应知应会1双曲线x29y2m1 的焦距为
23、10，则实数 m 的值为()A4B16C16D81【解析】由 2c10，得 c5，9m25，m16.【答案】B2双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为()A.22，0B52，0C.62，0D(3，0)【解析】双曲线方程 x22y21 的标准方程为 x2y2121，c211232，c62，右焦点的坐标为62，0.【答案】C3若 M 在双曲线x216y241 上，双曲线的两个焦点分别为 F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF1|的值为()A4B8C12D24【解析】根据双曲线的定义，可知|MF1|MF2|2|MF2|2a8，|MF2|4，|MF1|3|MF2|12.【答案】C4已知
24、 F1，F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，P 点在双曲线 C 上，F1PF260，则 P 到 x轴的距离为()A.32B62C.3D 6【解析】设 P(x，y)，|PF1|m，|PF2|n，不妨设 mn；则|PF1|PF2|mn2.在F1PF2中，|F1F2|2 2，由余弦定理，得(2 2)2m2n22mncos 60，即 8(mn)2mn，mn4.由F1PF2的面积公式，得122 2|y|12mnsin 60，|y|62.【答案】B5已知点 M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 相切于点 B，过 M，N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则点 P 的轨
25、迹方程为()Ax2y281(x1)Bx2y281(x0)Dx2y2101(x1)【解析】设圆与直线 PM，PN 分别相切于 E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422|MN|b，点 P 的轨迹是以 M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且 a1，c3，b28.故点 P 的轨迹方程是 x2y281(x1)【答案】A6已知点 F1(2，0)，F2(2，0)，动点 P 满足|PF2|PF1|2，当点 P 的纵坐标为12时，点 P 到坐标原点的距离是()A.62B32C.3D2【解析】由题意，可得点 P 的轨迹为
26、焦点在 x 轴的双曲线的右支 c 2，a1，b c2a21，双曲线的标准方程为 x2y21(x1)把 y12代入 x2y21，得 x52.点 P 的坐标为52，12，点 P 到原点的距离为52212262.【答案】A7 已知 P 是双曲线x264y2361 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|17，则|PF2|的值为_【解析】由双曲线方程可知 a8，c 643610，|PF2|PF1|2a1ca，不符合题意，|PF2|PF1|2a171633.【答案】338中心在原点，实轴在 y 轴上，一个焦点为直线 3x4y240 与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_【解析】由题意中心在原点，实
27、轴在 y 轴上，一个焦点为直线 3x4y240 与坐标轴的交点，令 x0，解得 y6，故得到 c6,2a236，a218，所求等轴双曲线方程是 y2x218.【答案】y2x2189已知定点 A，B，且|AB|4，动点 P 满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_【解析】由|PA|PB|3|AB|4 知 P 点的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的一支，所以 2a3,2c4，所以 a32，c2，所以|PA|minac72.【答案】7210(马鞍山测试)已知ABC 的两个顶点 A，B 分别为椭圆 x25y25 的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C 满足 sin Bsin A12sin C.(1
28、)求|AB|；(2)求顶点 C 的轨迹方程【解】(1)椭圆 x25y25 化为标准方程为x25y21.可得 a25，b21，c24.即可得 A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin A12sin C，由正弦定理可得，|CA|CB|12|AB|2n，由椭圆及双曲线的定义有|PF1|PF2|2 m，|PF1|PF2|2 p，两式分别平方相减，可得|PF1|PF2|mp.【答案】C3.2.2双曲线的简单几何性质A 组-应知应会1(大庆市模拟)已知双曲线x29y241，则该双曲线的渐近线方程为()A9x4y0B4x9y0C3x2y0D2x3y0【解析】令x29y240，得 4x2
29、9y2，2x3y，渐近线方程为 2x3y0.【答案】D2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy22xDy32x【解析】e 3，e2c2a2a2b2a21b2a23.ba 2，渐近线方程为 y 2x.【答案】A3(淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 A，B 两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.2B 3C.5D 7【解析】设等边三角形边长|BF2|m，且设|AF1|x，根据双曲线的定义有 mxmmx2a，解得m4a，
30、x2a.在BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2(6a)2(4a)226a4acos3，化简得 4c228a2，即 e 7.【答案】D4已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的两个焦点分别为 F1，F2，以线段 F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为()A.y29x2161By24x231C.y216x291Dy23x241【解析】由已知，得c32425，ab34，a2b2c2，解得 a3，b4.双曲线方程为y29x2161.【答案】A5 点 P 在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2
31、的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2B3C4D5【解析】不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|分别为 md，m，md，(d0)，由题意，得mmd2a，md2m2md2，md2c，解得 m4d8a,2c5d，eca52dd25.【答案】D6设 F1，F2分别是双曲线 M：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线 M 交于 A，B 两点，若点 F2满足F2AF2B0，则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A1e 21C1e 2【解析】由双曲线的对称性可知，ABF2是等腰三角形，且AF2B 是钝角，所以4AF2F112AF2B1，即|A
32、F1|F1F2|1.又|AF1|b2a，所以b22ac1，即 c2a22ac，化简得 e22e10，解得 e 21 或 e1 2(舍去)【答案】B7若双曲线x2a2y241(a0)的离心率为52，则 a_.【解析】由已知，得 eca52，c52a.又 c2a24，54a2a24，a216.又 a0，a4.【答案】48已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)与双曲线 C2：x24y2161 有相同的渐近线，且 C1的右焦点F(5，0)，则 a_，b_.【解析】x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，又x24y2161 的渐近线方程为 y2x，ba2，即 b2a.又 C1的右焦点
33、F(5，0)，a2b25a25，a21，a1，b2.【答案】129 设双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)经过点(4,1)，且与y2x241具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_【解析】由题意，得16a21b21，ba12，解得a212，b23，双曲线 C 的方程为x212y231，渐近线方程为 y12x.【答案】x212y231y12x10求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，且与椭圆 x24y264 共焦点；(2)与双曲线x29y2161 有共同渐近线，且经过点(3，2 3)【解】(1)解法一：椭圆方程可化为x264y2161，易得焦
34、点是(4 3，0)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，其渐近线方程是 ybax，则ba33.代入 a2b2c248，解得 a236，b212.所以所求双曲线的标准方程为x236y2121.解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，则另一条渐近线为 x 3y0.已知双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的方程为 x23y2(0)，即x2y231.由椭圆方程x264y2161，知 c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，则348，所以36.所以所求双曲线的标准方程为x236y2121.(2)设所求双曲线方程为x29y216(0)，将点(3，2 3)代入双曲线方程，得99
35、1216，解得14.所以所求双曲线的标准方程为4x29y241.11(1)已知双曲线的渐近线方程为 y34x，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为 2，求双曲线的两渐近线的夹角【解】(1)双曲线的渐近线为 y34x，ba34或ab34.又 eca1ba2，当ba34时，e54；当ab34时，e53.(2)eca 2，a2b2a 2，ab，双曲线渐近线方程为 yx，双曲线的两条渐近线的夹角为 90.12 设双曲线x2a2y2b21(ba0)的半焦距为 c，直线 l 过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线 l 的距离为34c，求双曲线的离心率【解】由直线 l 过(a,0)，(0，b)两点，
36、得 l 的方程为 bxayab0，由原点到 l 的距离为34c，得aba2b234c，将 b c2a2代入 3c2a2 216c2a2160，即 3e416e2160，e2 33或 e2.ba0，ecaa2b2a21ba2 2，e2 33应舍去，故所求离心率为 2.B 组-素养提升(全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则双曲线 C 的离心率为()A.2B 3C2D 5【解析】以 OF 为直径的圆 xc22y2c24，减去 x2y2a2得，cxa2，即 xa2c为两圆公共
37、弦方程，弦长为 c，半弦长c2，O 到 xa2c的距离为a2c，半径为 a，三者满足勾股定理，c24a4c2a2，化简得，c44a44a2c20，解得 c22a2，e 2.【答案】A3.2.3直线与双曲线的位置关系A 组-应知应会1(哈尔滨三中二模)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线经过圆 E：x2y22x4y0 的圆心，则双曲线 C 的离心率为()A.5B52C2D 2【解析】圆 E：x2y22x4y0 的圆心为 E(1，2)，双曲线 C：x2a2y2b21 的渐近线为 ybax，由题意，得ba2，离心率 eca1ba2 14 5.【答案】A2过双曲线 x2y221 的
38、右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|4，则这样的直线 l 有()A1 条B2 条C3 条D4 条【解析】双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于 4；当直线与实轴垂直时，有 3y221，解得 y2，此时直线 AB 的长度是 4，即只与右支有交点的弦长为 4 的线仅有一条综上，有三条直线满足|AB|4.【答案】C3(龙岩一中月考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个顶点分别为 A，B，点 P 为双曲线上除 A，B外任意一点，且点 P 与点 A，B 连线的斜率分别为 k
39、1、k2，若 k1k23，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy 2xCy 3xDy2x【解析】根据题意得到 A(a,0)，B(a,0)，设点 P 为(x，y)，根据题意得到 3y2x2a2，则x2a2y23a21，从而渐近线方程为x2a2y23a20，化简为 y 3x.【答案】C4若圆(x 3)2(y1)23 与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为()A.2 33B72C2D 7【解析】因为圆(x 3)2(y1)23 的圆心为(3，1)，半径为 3，由图(图略)得该圆与渐近线 ybax相切，所以 d|3ba|b2a2 3，所以3ba，即ba33.又因为
40、e21b2a243，所以 e2 33.【答案】A5若斜率存在且过点 P1，ba 的直线 l 与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()A2B4C1 或 2D2 或 4【解析】因为直线斜率存在，则过 P1，ba 与左顶点的直线必与 ybax 平行，所以有baa1ba，解得 a2.所以实轴长为 4.【答案】B6已知直线 y12x 与双曲线x29y241 交于 A，B 两点，P 为双曲线上不同于 A，B 的点，当直线 PA，PB 的斜率 kPA，kPB存在时，kPAkPB()A.49B12C.23D与 P 点位置有关【解析】由
41、题意可设 A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)，kPAkPByy0 xx0yy0 xx0y2y20 x2x204x2914x2091x2x2049x2x20 x2x2049.【答案】A7已知直线 l：ykx 与双曲线 4x2y216，若直线 l 与双曲线有两个公共点，则实数 k 的取值范围是_【解析】由ykx，4x2y216，得(4k2)x2160，由题意，得当 4k20，即2k2 时直线与双曲线有两个公共点【答案】(2,2)8(北京西城区二模)双曲线 C：y29x2161 的焦距是_；若圆(x1)2y2r2(r0)与双曲线 C 的渐近线相切，则 r_.【解析】由双曲线 C：y29
42、x2161，知 c291625，c5，2c10.双曲线 C 的一条渐近线方程为 y34x，即 3x4y0.因为圆与 3x4y0 相切，所以|3140|3242r，所以 r35.【答案】10359(吉林实验中学期中)已知直线 y33x2 与双曲线x212y231 的右支交于 A，B 两点，且在双曲线的右支上存在点 C，使OAOBtOC，则 t 的值_【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，由OAOBtOC，得 x1x2tx0，y1y2ty0，由直线 y33x2 与双曲线x212y231 方程联立，可得 x216 3x840，x1x216 3，y1y23316 3412，
43、x0y04 33，x2012y2031，解得 x04 3，y03，t4.【答案】410已知双曲线x23y2b21(b0)的右焦点为(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线 x2 围成的三角形的面积【解】(1)双曲线x23y2b21 的右焦点为(2,0)，c2，a 3，b2c2a2431.双曲线的方程为x23y21.(2)由(1)，得 a 3，b1，双曲线x23y21 的渐近线方程为 y33x，令 x2，得 y2 33.设直线 x2 与渐近线 y33x 的交点为 A，B，则|AB|433.直线 x2 与渐近线 y33x 围成的三角形面积为 S1243324 33.11(平顶山
44、期末调研)已知双曲线 C 的渐近线方程为 y33x，右焦点坐标为(2,0)，O 为坐标原点(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OAOB0，试求实数 k 的取值范围【解】(1)由题意，ba33，即 a 3b，又 c2，c243b2b24b2，b21，a23，则双曲线 C的标准方程为x23y21.(2)直线 l：ykx 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点，方程组x23y23，ykx 2恒有两组不同的实数解，方程(13k)2x26 2kx90 有两个不同实根，13k20，72k23613k20，k20，x1x2y1y2(1k2)
45、x1x2 2k(x1x2)20，(1k2)913k2 2k6 2k13k223k273k210，可得 k213，k20，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与双曲线 C的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1AAB，F1BF2B0，则双曲线 C 的离心率为_【解析】如图，由题意，可设 Bx0，bax0(x00)，F1(c,0)，F2(c,0)，F1Bx0c，bax0，F2Bx0c，bax0.F1BF2B0，(x0c)(x0c)b2a2x200，(a2b2)x20c2a2，即 c2x20c2a2，x20a2，即 x0a，B(a，b)又F1AAB，A 为 F1B 的中点，Aac2，b2.又A 在渐近线 ybax 上，b2baac2，2ac，即 eca2.【答案】2
