1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 课时作业 A 组 基础对点练 1 (2018 武汉市模拟 )若实数 x， y 满足约束条件? x0 ，y0 ，2x y2 ，则 z x 2y 的最大值是 ( ) A 2 B 1 C 0 D 4 解析：不等式组? x0 ，y0 ，2x y2表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 x 2y 0，平移该直线，当直线经过 点 A(1,0)时， z 取得最大值，此时 zmax 1，故选 B. 答案： B 2已知实数 x， y 满足不等式 |x| |2y|4 ，记 Z x y，则 Z 的最小值为 ( ) A 2 B
2、 6 C 4 D 8 解析： |x| |2y|4 表示的平面区域为如图所示的四边形 ABCD 内部及其边界，由图可知当直线 y x Z 经过点 C( 4,0)时， Z 取得最小值，所以 Zmin 0 ( 4) 4. 答案： C 3 (2018 长沙市模拟 )已知变量 x， y 满足? 2x y0 ，x 2y 30 ，x0 ，则 z 8x2 y 的最大值是( ) A 33 B 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 35 D 34 解析： z 8x2 y 23x y，求 z 的最大值就是求 3x y 的最大值，设 t 3x y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x y 0，
3、平移该直线，当直线经过点 B(1,2)时， t 取得最大值，tmax 3 2 5，则 zmax 25 32. 答案： B 4已知实数 x， y 满足? y x 2，x y6 ，x1 ，则 z 2|x 2| |y|的最小值是 ( ) A 6 B 5 C 4 D 3 解析 ： 画出不等式组? y x 2，x y6 ，x1表示的可行域 ， 如图阴影部分 ， 其中 A(2,4)， B(1,5)，C(1,3)， x 1,2， y 3,5 z 2|x 2| |y| 2x y 4，当直线 y 2x 4 z 过点 A(2,4)时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 有最小值， zmin 22 4 4 4，故
4、选 C. 答案： C 5 (2018 兰州实战模拟 )已知 M( 4,0)， N(0， 3)， P(x， y)的坐标 x， y 满足? x0y03x 4y12，则 PMN 面积的取值范围是 ( ) A 12,24 B 12,25 C 6,12 D 6， 252 解析：作出不等式组? x0y03x 4y12表示的平面区域如图中阴影部分所示又过点 M(4,0)， N(0， 3)的直线的方程为 3x 4y 12 0，而它与直线 3x 4y 12 平行，其距离 d=【 ;精品教育资源文库 】 = |12 12|32 42 245 ，所以当 P 点在原点 O 处时， PMN 的面积最小， 其面积为 OM
5、N 的面积，此时 S OMN 1234 6；当 P 点在线段 AB 上时， PMN 的面积最大，为 12 32 42 245 12，故选 C. 答案： C 6 (2018 太原市模拟 )已知 D (x， y)|? x y 20x y 203x y 60，给出下列四个命题： p1： ? (x，y) D， x y 10 ； p2： ? (x， y) D,2x y 20 ； p3： ? (x， y) D， y 1x 1 4； p4：? (x， y) D， x2 y22. 其中真命题的是 ( ) A p1， p2 B p2， p3 C p2， p4 D p3， p4 解析：因为 D (x， y)|?
6、x y 20x y 203x y 60表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以 z1 x y 的最小值为 2， z2 2x y 的最大值为 2， z3 y 1x 1的最小值为 3， z4 x2 y2的最小值为 2，所以命题 p1为假命题，命题 p2为真命题，命题 p3为假命题，命题 p4为真命题，故选 C. 答案： C 7若实数 x， y 满足： |x| y1 ，则 x2 y2 2x 的最小值为 ( ) A.12 B 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = C. 22 D 22 1 解析：作出不等式 |x| y1 表示的可行域，如图 x2 y2 2x (x 1)2 y2 1， (x 1)2 y2
7、表示可行域内的点 (x， y)到点 ( 1,0)距离的平方，由图可知， (x 1)2 y2的最小值为 ? ?22 2 12，所以 x2 y2 2x 的最小值为 12 1 12.选 B. 答案： B 8 (2018 洛阳市统考 )已知实数 x， y 满足 条件? x y 20x 2y 202x y 20，若 z y ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数 a 的取值集合为 ( ) A 2， 1 B a R|a2 C a R|a 1 D a R|a2 且 a 1 解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示由 z ax y 得 y ax z，若 a 0，直线 y ax z z，此时最大的
8、最优解只有一个，满足条件若 a0，则直线 y ax z 的纵截距最大时， z 取得最大值 ，若 z y ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则 a2.若 a 1，则 (x 2)2 y2的最小值为 ( ) A.3 22 B 5 C.92 D 5 解析：作出不等式组对应的平面区域如图， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 z (x 2)2 y2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方， 由图知 C、 D 间的距离最小，此时 z 最小 由? y 1，x y 1 0 ，得 ? x 0，y 1， 即 C(0,1)， 此时 zmin (x 2)2 y2 4 1 5，故选 D.
9、 答案： D 12若 x， y 满足约束条件? x y 10 ，x 2y0 ，x 2y 20 ，则 z x y 的最大值为 _ 解析：约束条件对应的平面区域是以点 (1， 12)、 (0,1)和 ( 2， 1)为顶点的三角形，当目标函数 y x z 经过点 (1， 12)时， z 取得最大值 32. 答案： 32 13若 x， y 满足约束条件? x y 10 ，x y 30 ，x 30 ，则 z x 2y 的最小值为 _ 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由 z x 2y 得 y 12x 12z，作直线 y 12x 并平移，观察可知，当直线经过点 A(3,4)时， zmin 3 24 5
10、. 答案： 5 14已知 x， y 满足? x y 50 ，x y0 ，x3 ，若使得 z ax y 取最大值的点 (x， y)有无数个，则a 的值等于 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线 z ax y 能和直线 AB重合时， z 取得最大值的点 (x， y)有无数个， a kAB 1， a 1. 答案： 1 15对任意 k 1,5，直线 l： y kx k 1 都与不等式组? x a，x y6 ，x 2y0表示的平面区域有公共点，则实数 a 的最大值是 _ 解：作出不等式组? x a，x y 6，x 2y0的可行域如图中阴影部分所
11、示 而直线 l： y kx k 1 过定点 P(1， 1)，对任意 k 1,5，直线 l： y kx k 1 都与可行域有公共点，当 k 5 时，直线 l： y 5x 6 经过可行域的点 A，联立，得? y 5x 6，x y 6，解得? x 2，y 4， 所以 A(2,4)，点 A 是直线 x a 上的点，可得 a 的最大值是 2. 答案： 2 B 组 能力提升练 1在平面直角坐标系中，不等式组? x y0 ，x y0 ，x2 y2 r2(r 为常数 )表示的平面区域的面积为 ，若 x、 y 满足上述约束条件，则 z x y 1x 3 的最小值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A
12、1 B 5 2 17 C.13 D 75 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知 14 r2 ，解得 r 2， z x y 1x 3 1 y 2x 3，易知 y 2x 3表示可行域内的点 (x， y)与点 P( 3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x， y)与点 P 的连线与圆 x2 y2 r2相切时斜率最小设切线方程为 y 2 k(x 3)，即 kx y 3k 2 0，则有 |3k 2|k2 1 2，解得 k 125 或 k 0(舍 )，所以 zmin 1 125 75，故选D. 答案： D 2已知区域 D：? x y 10 ，x y 10 ，3x y 30的面积为 S，点集
13、 T (x， y) D|y kx 1在坐标系中对应区域的面积为 12S，则 k 的值为 ( ) A.13 B 12 C 2 D 3 解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示 直线 y kx 1 过定点 A(0,1)，点集 T (x， y) D|y kx 1在坐标系中对应区域的面积为 12S，则直 线 y kx 1 过 BC 中点 E.由? x y 1 0，3x y 3 0， 解得 ? x 2，y 3， 即 B(2,3) =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 C(1,0)， BC 的中点为 E? ?32， 32 ，则 32 32k 1，解得 k 13，故选 A. 答案： A 3 (201
14、8 合肥市质 检 )设 x， y 满足? x0 ，x y 20 ，ax y a0 ，若 z 2x y 的最大值为 72，则 a的值为 ( ) A 72 B 0 C 1 D 72或 1 解析：由 z 2x y 存在最大值，可知 a 1，显然 a 0 不符合题意作出不等式组? x0 ，x y 20 ，ax y a0所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中 阴影部分所示，作直线 2x y 0，平移该直线，易知，当平移到过直线 x y 2 0 与 ax y a 0 的交点时， z 取得最大值，由? x y 2 0，ax y a 0， 得 ? x a 2a 1，y aa 1，把? x a 2a 1，y aa 1代入 2x y 72得 a 1，故选 C. 答案： C 4已知实数 x， y 满足条件? 4x y 80 ，2x 3y 60 ，x y 20 ，若 x2 2y2 m 恒成立，则实数 m 的最大值为 ( ) A 5 B 43 =【 ;精品教育资源文库 】 = C. 2 D 83 解析： 设 t 2y，则 y 22 t，因为实数 x， y 满足条件? 4x y 80 ，2x 3y 60 ，x y 20 ，且 x2 2y2 m 恒成立，所以实数 x， t满足条件? 8x 2t 160 ，4x 3 2t 120 ，2x 2t 40 ，且 x2 t2 m 恒成立，?
