1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 基本不等式及其应用 A组 基础题组 1.下列不等式一定成立的是 ( ) A.lg lg x(x0) B.sin x+ 2(xk,kZ) C.x2+12|x|(xR) D. 1(xR) 2.当 x0时 ,函数 f(x)= 有 ( ) A.最小值 1 B.最大值 1 C.最小值 2 D.最大值 2 3. (-6a3) 的最大值为 ( ) A.9 B. C.3 D. 4.若正实数 x,y满足 x+y=2,且 M 恒成立 ,则 M的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知直线 ax+by-6=0(a0,b0)被圆 x2+y2-2x-4y=0截
2、得的弦长为 2 ,则 ab 的最大值是 ( ) A.9 B. C.4 D. 6.若 2x+2y=1,则 x+y的取值范围是 . 7.已知 0-1),当 x=a时 ,y 取得最小值 b,则 a+b 等于 . 9.(1)当 x0,y0,且 2x+8y-xy=0,求 : (1)xy的最小值 ; (2)x+y 的最小值 . B组 提升题组 1.若正数 a,b满足 a+b=2,则 + 的最小值是 ( ) A.1 B. C.9 D.16 2.不等式 x2+x0,y0,且 2x+5y=20. 求 :(1)u=lg x+lg y的最大值 ; (2) + 的最小值 . 4.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为
3、 162平方米的三级污水处理 池 ,池的深度一定 (平面图如图所示 ),如果池四周的围墙建造单价为 400元 /米 ,中间两道隔墙建造单价为 248元 /米 ,池底建造单价为 80元 /平方米 ,水池所有墙的厚度忽略不计 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)试设计污水处理池的长和宽 ,使总造价最低 ,并求出最低总造价 ; (2)若由于地形限制 ,该水池的长和宽都不能超过 16米 ,试设计污水处理池的长和宽 ,使总造价最低 ,并求出最低总造价 . 答案精解精析 A组 基础题组 1. C lg lg x?x2+ x(x0),即 4x2-4x+10.当 x= 时 ,4 -4 +1=0,A 错
4、 ; 当 sin x=-1时 ,sin x+ =-20,f(x)= =1. 当且仅当 x= ,即 x=1时取等号 . 所以 f(x)有最大值 1. 3.B 因为 -6a3, 所以 3-a0,a+60, 则由基本不等式可知 , = ,当且仅当 a=- 时等号成立 . 4.A 因为正实数 x,y满足 x+y=2, 所以 xy = =1,所以 1; 又 M 恒成立 , 所以 M1, 即 M的最大值为 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.B 将圆的一般方 程化为标准方程为 (x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为 (1,2),半径为 ,故直线过圆心 ,即a+2b=6,a+2b=62 ,可得
5、ab ,当且仅当 a=2b=3时等号成立 ,即 ab的最大值是 ,故选 B. 6. 答案 (-, -2 解析 1=2 x+2y2 =2 (当且仅当 2x=2y时等号成立 ), ,2 x+y ,x+y -2. 7. 答案 解析 x(4-3x)= (3x)(4-3x) = , 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时 ,取等号 . 8. 答案 3 解析 y=x-4+ =x+1+ -5,因为 x-1,所以 x+10, 0, 所以由基本不等式 ,得 y=x+1+ -52 -5=1, 当且仅当 x+1= ,即 x=2时取等号 , 所以 a=2,b=1,则 a+b=3. 9. 解析 (1)y= (2x-3)
6、+ + =- + . 当 x0, 此时 + 2 =4, 当且仅当 = ,即 x=- 时取等号 . 于是 y -4+ =- ,故函数的最大值为 - . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)00, y= = = , 当且仅当 x=2-x,即 x=1时取等号 , 函数 y= 的最大 值为 . 10. 解析 (1)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, 又因为 x0,y0, 所以 1= + 2 = , 所以 xy64, 当且仅当 x=16,y=4时 ,等号成立 , 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, 则 x+y= (x+y)=10+ + 10+2 =1
7、8, 当且仅当 x=12,y=6时 ,等号成立 , 所以 x+y的最小值为 18. B组 提升题组 1.B + = = = .当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取等号 ,故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2. 答案 (-2,1) 解析 由于不等式 x2+x0,y0, 所以由基本不等式 ,得 2x+5y2 . 因为 2x+5y=20,所以 2 20,xy10, 当且仅当 2x=5y时 ,等号成立 . 因此有 解得 此时 xy 有最大值 10. 所以 u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1. 所以当 x=5,y=2时 ,u=lg x+lg y有最大值 1. (2)因为 x
8、0,y0, 所以 + = = 7+2 = . 当且仅当 = 时 ,等号成立 . 由 解得 所以 + 的最小值为 . 4. 解析 (1)设总造价为 f(x)元 ,污水处理池的宽为 x米 ,则长为 米 . f(x)=400 +2482x+80162 =【 ;精品教育资源文库 】 = =1 296x+ +12 960 =1 296 +12 960, x0,f(x)1 2962 +12 960=38 880, 当且仅当 x= ,即 x=10时取等号 . 当污水处理池的长为 16.2 米 ,宽为 10米时总造价最低 ,最低总造价为 38 880元 . (2)由限制条件知 x16. 设 g(x)=x+ ,则 g(x)=1- , 因为 g(x)=1- 在 上恒大于零 , 故 g(x)在 上是增函数 , 当 x= 时 ,g(x)取最小值 ,即 f(x)取最小值 ,为 1 296 +12 960=38 882. 当污水处理池的长为 16米 ,宽为 米时总造价最低 ,最低总造价为 38 882元 .
