1、6.3.2 二项式系数的性质 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主本节课主要学习二项式系数的性质本节是在学习了二项式定理的基础上，探究二项式系数的性质。由于二项式系数组成的数列就是一个离散型函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识前后联系，使学生运用利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想进行思考。研究二项式系数这组特定的性质，对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要作用，对后续学习微分方程也具有重要地位。 课程目标学科素养A.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.B.会
2、用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.1.数学抽象：二项式系数的性质 2.逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性3.数学运算：运用二项式性质解决问题4.几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新 1二项式定理(ab)n_ (nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式
3、中一共有_项(3)二项式系数：各项的系数_ (k0,1,2，n)叫做二项式系数CanCan1bCan2b2CankbkCbnn1 ；C2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第_项叫做二项展开式的通项，记作Tk1_.k1 ；Cankbk二、 新知探究探究1：计算a+bn展开式的二项式系数并填入下表二项式系数:Cn0,Cn1, Cn2,Cnk, ,Cn0.通过计算、填表、你发现了什么规律？na+bn的展开式的二项式系数 111 2121 31331 414641 515101051 61615201561将上表写成如下形式：a+b2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5
4、 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1a+b1a+b3a+b4a+b5a+b6思考：通过上表和上图，能发现什么规律？对于a+bn展开式的二项式系数Cn0,Cn1, Cn2,Cnk, ,Cn0.我们还可以从函数的角度分析它们。Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是0,1,2,n我们还可以画出它的图像。例如，当n=6时，函数fr=Cnr(r0,1,2,n)的图像是7个离散的点，如图所示。1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Cnm=Cnn-m.2.增减性与最大值 当kn+12时,Cnk随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值;当n是
5、奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等,且同时取得最大值.探究2.已知1+xn =Cn0+Cn1x+.+Cnkxk+.+Cnnxn 3.各二项式系数的和Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.令x=1 得1+1n=Cn0+Cn1+.+Cnn=2n所以，a+bn的展开式的各二项式系数之和为2n1. 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为.解析:因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为C84a4b4=70a4b4.因为(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C94a5b4
6、=126a5b4,C95a4b5=126a4b5.答案:1.70a4b4126a5b4与126a4b52. A=Cn0+Cn2+Cn4+与B=Cn1+Cn3+Cn5+的大小关系是()A.ABB.A=BC.ABD.不确定 解析:(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n,(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-+(-1)nCnn=0,Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1,即A=B.答案:B 三、典例解析例3.求证:在a+bn的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明:在展开式a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnkan-kbk+.+
7、Cnnbn中，令a=1,b=-1，得1-1n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+.+(-1)nCnn即0=(Cn0+Cn2+.)-(Cn1+Cn3+.)因此Cn0+Cn2+.=Cn1+Cn3+.即在a+bn的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各
8、项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=f(1)-f(-1)2.跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9.(1)二项式系数之和为C90+C91+C92+C99=29=512.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-a9=59,又a0+a1+a2+a9=-1,将
9、两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=59-12=976 562,即所有奇数项系数之和为976 562. 例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解:T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,依题意有Cn525=Cn626,解得n=8.在(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C84(2x)4=1 120x4.设第k+1项的系数最大,则有C8k2kC8k-12k-1,C8k2kC8k+12k+1,解得5k6.k=5或k=6(k0,1,2,8).系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.求二项展
10、开式中系数的最值的方法(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.(2)若二项展开式的系数为f(k)=Cnkmg(k)的形式.如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,An+1,且第k+1项系数最大,应用Ak+1Ak+2,Ak+1Ak解出k,即得系数最大的项.跟踪训练2.已知x+2x2n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的个数;(2)求该展开式中系数最大的项.解:(1)由题意可知n2+1=6,n=10.Tk+1=C10kx10-k22kx-2k
11、=C10k2kx10-5k2(0k10,且kN),要求该展开式中的有理项,只需令10-5k2Z.k=0,2,4,6,8,10.有理项的个数为6.(2)设第Tk+1项的系数最大,则C10k2kC10k-12k-1,C10k2kC10k+12k+1,即2k111-k,110-k2k+1,解不等式组得193k223.kN,k=7.展开式中系数最大的项为T8=C10727x-252=15 360x-252.通过回顾二项式定理，从数学知识内部提出问题，引导学生观察、发现二项式系数的性质。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。让学生亲身经历了从特殊到一般，获得二项式性质的过程。发展学生
12、逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过典例解析，让学生体会利用二项式系数的性质，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为()A.第6项 B.第7项 C.第8项D.第9项解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.答案:C2.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64 B.32 C.63 D.31 解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.则Cn
13、1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B 3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212 B.211 C.210 D.29解析:因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10,所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为12210=29.答案:D 4.已知14+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为.解析:由Cn0+Cn1+Cn2=37,得1+n+12n(n-1)=37,解得n=8(负值舍去),则第5项的二项式系数最大,T5=C8
14、4144(2x)4=358x4,该项的系数为358.答案:3585.已知12+2xn,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数.解:Cn4+Cn6=2Cn5,n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数为C7312423=352,T5的系数为C7412324=70;当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为C14712727=3 432.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。
