1、4.2.1 等差数列的概念（1） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。课程目标学科素养A. 理解等差数列的概念B.掌握等差数列的通项公式及应用C.掌握等差数列的判定方法1.数学抽象：等差数列的概念 2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导3.数
2、学运算：通项公式的应用4.数学建模：等差数列的应用重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用 难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 导语 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，
3、下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。二、 新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为25,24,23,22,21 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=
4、a12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为ar,ar-br,ar-2br,ar-3br, 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*)2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A.1. 判断(正
5、确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列( )(2)数列0,0,0,0，不是等差数列( )(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项( ); ; 问题探究思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1-an= d所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,于是 a2=a1+ d,a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,归纳可得a
6、n=a1+(n-1) d(n2)当n=1时，上式为a1=a1+(1-1) d=a1，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1) d思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？提示还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf (n)a1(
7、n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列 ()(2)等差数列an的单调性与公差d有关 () (3)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列( )解析： (1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d0时为递减数列(3)正确若a，b，c满足2bac，即bacb，故a，b，c为等差数列 答案(1)
8、(2)(3)3在等差数列an中，a32，d6.5，则a7()A22 B24C26D28Da7a34d246.528，故选D.4如果三个数2a，3，a6成等差数列，则a的值为()A1 B1 C3 D4D由条件知2a(a6)32，解得a4.故应选D.三、典例解析例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2n，求an公差和首项；（2）求等差数列8,5,2的第20项。分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1-an= d，即可求出公差d，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项解：（1）当 n2时，由an的通项公式为an=5-2n，
9、可得an-1 =5-2n-1=7-2n.于是d=an-an-1=(5-2n)-(7-2n)=-2.把代入通项公式an=5-2n，可得a1=3（2）由已知条件，得d=5-8=-3把a1=8, d=-3代入an=a1+(n-1) d,得an=8-3(n-1)=11 - 3n,把n=20代入上式，得a20=11 - 320=-49,所以，这个数列的第20项是-49求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用ana1(n1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法(2)已知等差数列中的两项，可用d直接求得公差，再利用anam(nm)d写出通项公式(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，
10、通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解跟踪训练1(1)在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d.(2)已知数列an为等差数列，a158，a6020，求a75.解：(1)设等差数列an的公差为d.a510，a1231，则解得这个等差数列的首项a12，公差d3. (2)法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由题意得解得故a75a174d7424.法二：a60a15(6015)d，d，a75a60(7560)d201524.法三：已知数列an是等差数列，可设anknb.由a158，a6020得解得a7575424.例2 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n
11、的等差中项是10，则m和n的等差中项是_(2)已知，是等差数列，求证：，也是等差数列思路探究(1)(2) (1)6由题意得3(mn)201636，mn12，6.(2)证明，成等差数列，即2acb(ac)，成等差数列等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有ac2b；反之，若ac2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c
12、是3与7的等差中项，c5.该数列为：1，1，3，5，7.通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生类比，展望数列学习的路线。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过等差数列通项公式的推导，。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用等差数列的中项性质，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1数列an的通项公式为a
13、n53n，则此数列()A是公差为3的等差数列 B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列 D是公差为n的等差数列A等差数列的通项公式ana1(n1)d可以化成andn(a1d)对比an3n5.故公差为3.故选A.2等差数列an中，已知a22，a58，则a9()A8 B12C16D24C设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由a22，a58，得解得a10，d2，所以a9a18d16.故选C.3已知a，b，则a，b的等差中项为_.4.在等差数列an中，已知a511，a85，则a10_.解析：(方法一)设ana1(n1)d，则即解得an2n21(nN*)a10210211.(方法二)设公差为d，
14、a8a5(85)d，d2，a10a8(108)d1.(方法三)设anAnB，则即解得an2n21，a101.5若等差数列an的公差d0且a1，a2是关于x的方程x2a3xa40的两根，求数列an的通项公式解由题意得解得an2(n1)22n.故数列an的通项公式为an2n.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
