1、2.3.4 两条平行线间的距离本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习两条平行线间的距离。学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。本节重点是距离公式的推导和应用。解决问题的关键是理解距离公式的推导。课程目标学科素养A. 理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等
2、数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：两条平行线间的距离公式 2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用 4.数学建模：距离公式重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式难点：应用距离公式解决综合问题多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学 前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。思考1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C. 点到点的距离二、探究新知思考2：已知两条平行直线l1,l2的方程，如何求l1与l2间的距离？根据两条平行直线间距离的含义
3、，在直线l1上取任一点Px0,y0，,点Px0,y0到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。两条平行直线间的距离1. 定义：夹在两平行线间的_的长.公垂线段2. 图示： 3. 求法：转化为点到直线的距离.1原点到直线x2y50的距离是()A BC2 DDd.选D.三、典例解析例1.求证两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=C1-C2A2+B2分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,y0,点Px0,y0到直线Ax+B
4、y+C2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即 d=Ax0+By0+C2A2+B2，因为点Px0,y0在直线Ax+By+C1=0上，所以Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1因此d=Ax0+By0+C2A2+B2=-C1+C2A2+B2=C1-C2A2+B2思考3：两条平行直线间的距离公式写成d时对两条直线应有什么要求？ 提示两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4 B. C.D.解析:因为两直线平行,所以m=2.将6x+2y+1=0化为3x+y+=0,由两条平行线间的距离公式得d=
5、,选D.例2.已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程. 思路探究：由题设知l1l2，故ll1l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程解由直线l1，l2的方程知l1l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d10或d20，不符合题意)设直线l：3x2ym0(m1且m13)，由两平行线间的距离公式，得d1，d2，又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直线l的方程为3x2y250或3x2y90.求两平行直线间距离的两种思路1)利用“化归”法将两条平行线的距离
6、转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.跟踪训练2直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程解若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为ykx1，即kxy10，由点斜式可得l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d5，25k210k125
7、k225，k.l1的方程为12x5y50，l2的方程为12x5y600.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x0，l2的方程为x5，它们之间的距离为5，满足条件则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600；l1：x0，l2：x5.例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？解析：如图，显然有0d|AB|.而|AB|3.故所求的d的变化范围为(0,3变式1上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直而kAB，所求
8、直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.距离公式综合应用的三种常用类型1)最值问题.利用对称转化为两点之间的距离问题.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.2)求参数问题.利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.3)求方程的问题.立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)金题典例：已知正方形的中心为直线2xy20，xy1
9、0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x3y50，求正方形其他三边所在直线的方程思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解解设与直线l：x3y50平行的边所在的直线方程为l1：x3yc0(c5)由得正方形的中心坐标为P(1,0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得，得c7或c5(舍去)l1：x3y70.又正方形另两边所在直线与l垂直，设另两边所在直线的方程分别为3xya0,3xyb0.正方形中心到四条边的距离相等，得a9或a3，另两条边所在的直线方程分别为3xy90,3xy30.另三边所在的直线方程分别为3xy90，x3y70,3xy3
10、0.母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程解由例题知，正方形中心坐标为P(1,0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大kOP0，此时所求直线方程为x1.2本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？解由可得交点坐标为，又正方形中心为P(1,0)由两点式方程得对角线方程为：，即2xy20.由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(1,0)，由两点式得另一对角线方程为：，即x2y10.综上可知正方形的两条对角线方程为x2y10或2x2y20.通过生活中两平行线间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略。让
11、学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。通过两平行线间距离公式的推导，体会数学中的转化思想，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会点两平行线间的距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三、达标检测1平行直线l1：3xy0与l2：3xy0的距离等于()A1 B0 C D3 【答案】Al1、l2的距离为d1.选A.2分别过点A(2,1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_【解析】d|3(2)|5.【答案】53.已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m_
12、. 【答案】或6由，解得m或m6.4求与直线l：5x12y60平行且与直线l距离为3的直线方程.【解析】与l平行的直线方程为5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得3，解得b45或b33.所求直线方程为5x12y450或5x12y330.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)之间的距离d五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。在本节课的教学中，通过对两条平行线间的距离公式的推导，注意进一步让学生感悟化归思想和分类方法。教师要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。
