1、3.2.2双曲线的简单几何性质 (1)本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习双曲线的简单几何性质 学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进
2、行教学 课程目标学科素养A.掌握双曲线的简单几何性质.B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.1.数学抽象：双曲线的几何性质2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质 3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质 4.直观想象：双曲线的几何性质 重点：运用双曲线的方程获得几何性质 难点：双曲线的渐近线及离心率的意义多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线x2a2-y2b2=1 (a0，b0)，的哪些几何性质，如何研究这些性质？1、范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x2a2-y2b2=1可得x2a2=1+y2b21 于是，
3、双曲线上点的坐标（ x， y）都适合不等式，x2a21，yR所以xa 或x-a; yR2、对称性 x2a2-y2b2=1 (a0，b0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .顶点是A1-a,0、A2 a,0，只有两个。（2）如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线（1）双曲线x2a2-y2b2=1 (a0，b0)，的渐近线方程为：y=b
4、ax（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率（1）定义：e = ca（2）e的范围：e 1（3）e的含义：因为ca0,所以可以看出e1，另外，注意到ba=c2-a2a=c2-a2a2=e2-1,说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是y2a2-x2b2=1 (a0，b0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？双曲线的几何性质 标准方程图形标准方程性质范围x-a或xa yRy-a或ya xR对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0)
5、,A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线 y=bax y=abx离心率a,b,c间的关系 c2=a2+b2(ca0,cb0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e10e0,b0)的形状相同. ()(2)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a0,b0)的渐近线相同. ()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ()答案:(1)(2)(3) 2.圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2
6、,则实数m的值为()A.-5B.-35 C.19 D.-11解析:由圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,所以m0,n0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:把方程nx2-my2=mn(m0,n0)化为标准方程为x2m-y2n=1(m0,n0),由此可知,半实轴长a=m,半虚轴长b=n,c=m+n,焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),离心率e=ca=m+nm=1+nm,顶点坐标为(-m,0),(m,0),所以渐近线方程为y=nm x,即y=mnmx.例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-5),离心率为2;(2
7、)与椭圆x29+y24=1有公共焦点,且离心率e=52;(3)与双曲线x29-y216=1有共同渐近线,且过点(-3,23).解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),e=2,c2a2=2,即a2=b2.又双曲线过P(3,-5),9a2-5b2=1,由得a2=b2=4,故双曲线方程为x24-y24=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),同理有a2=b2,5a2-9b2=1,由得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x24-y24=1.(2)由椭圆方程x29+y24=1,知半焦距为9-4=5,焦点是F1(-
8、5,0),F2(5,0).因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由已知条件,有ca=52,a2+b2=c2,c=5,解得a=2,b=1.所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.(3)设所求双曲线方程为x29-y216=(0),将点(-3,23)代入得=14,双曲线方程为x29-y216=14,即双曲线的标准方程为x294-y24=1.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=(0).(6)渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=(0).(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程
9、可设为x2a2-y2b2=1(a0,b0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2-x2b2=1(a0,b0).(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点的双曲线方程可设为x2a2-y2b2+=1(0,-b20,b0),由题意知2b=8,e=ca=53,从而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x29-y216=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为x264-y216=(0),将点(2,0)的坐标代入方程得=116,故所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的
10、核心素养。通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养三、达标检测1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为() A.4B.-4C.-14D.14解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m0,则双曲线方程可化为y2-x2-1m=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,b=2,-1m=b2=4,m=-14,故选C.答案:C 2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=43x,则下列结论正确的是 ()A.C的方程为x29-y216=1 B
11、.C的离心率为54C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=43x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以ba=43,因为c=5,所以b=4,a=3,所以C的方程为x29-y216=1,A正确;离心率为e=53,B不正确;焦点到渐近线的距离为d=4542+32=4,C不正确;|PF|的最小值为c-a=2,D正确.答案:AD 3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是.解析:令y=0,得x=-4,等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),c=4,a2=b2=12c2=1216=8,故等轴双曲线的
12、方程为x2-y2=8.答案:x2-y2=84.关于双曲线x29-y216=-1,有以下说法:实轴长为6;双曲线的离心率是54;焦点坐标为(5,0);渐近线方程是y=43x;焦点到渐近线的距离等于3.正确的说法是.(把所有正确说法的序号都填上)解析:双曲线x29-y216=-1,即y216-x29=1,a=4,b=3,c=9+16=5,实轴长为2a=8,故错误;双曲线的离心率是e=ca=54,故正确;焦点坐标为F(0,5),故错误;渐近线方程是y=43x,故正确;焦点到渐近线的距离为d=|0+15|9+16=3,故正确.答案: 5.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同
13、一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.解析:根据题意,双曲线C:x24-y29=1的左焦点F(-13,0),所以点A(13,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12. 双曲线图像如图.|PF|-|AP|=2a=4,|QF|-|QA|=2a=4,+得|PF|+|QF|-|PQ|=8,周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:32通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。引导学生类比椭圆几何性质的研究，让学生自主探究双曲线的几何性质，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
