1、2.4.1圆的标准方程本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习圆的标准方程。在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点
2、和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。课程目标学科素养A. 会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.B.能根据所给条件求圆的标准方程.C.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 1.数学抽象：圆的标准方程 2.逻辑推理：圆的标准方程的推导 3.数学运算：根据条件求圆的标准方程4.数学建模：圆的标准方程 重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点： 根据所给条件求圆的标准方程 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学古朗月行 唐 李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学
3、作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?二、探究新知思考1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.思考2已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？|MA|r,由两点间的距离公式,得r,化简可得：(xa)2(yb)2r2.一、 圆的标准方程 点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,
4、方程为x2+y2=1,称为单位圆.(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.答案:A 二、点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=(x0-a
5、)2+(y0-b)2.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内dr(x0-a)2+(y0-b)24,故点P在圆外.答案:B三、典例解析例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.解:(方法1)设点C为圆心,点C在直线:x-2y-3=0上,可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,|CA|=|CB|.(2a
6、+3-2)2+(a+3)2=(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2.圆心坐标为C(-1,-2),半径r=10.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b), 由条件知(2-a)2+(-3-b)2=r2,(-2-a)2+(-5-b)2=r2,a-2b-3=0, 解得a=-1,b=-2,r2=10.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法3)线段AB的中点为(0,-4),kAB=-3-(-5)2-(-2)=12,所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,所以线段AB的垂直平分线
7、的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4.故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,由y=-2x-4,x-2y-3=0,得x=-1,y=-2.即圆心为(-1,-2),圆的半径为r=(-1-2)2+(-2+3)2=10,所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:设设所求圆的方程为(x-a)
8、2+(y-b)2=r2;列由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;解解方程组,求出a,b,r;代将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.跟踪训练1已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的方程解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0,5)，B(1,2)，C(3,4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二：因为A(0,5)，B(1,2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y，即x7y100.同理可得线段BC
9、的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心的坐标为(3,1)，又圆的半径长r5，故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.跟踪训练2 已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即AB中点(0,1)为圆心,半径r=12|AB|=10.则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)(方法1)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0.由x-3y+3=0,2x-y-4=0,得x=3,y=2,即圆心坐标是C(3,2),r
10、=|AC|=(3-1)2+(2+2)2=25.圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.(方法2)待定系数法.设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,则(1-a)2+(-2-b)2=r2,(-1-a)2+(4-b)2=r2,2a-b-4=0a=3,b=2,r2=20.圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定(2)已知点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是.思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和
11、圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.解析:(1)因为(m2)2+52=m4+2524,所以点P在圆外.(2)由题意知a0,(5a+1-1)2+(a)226,解得0a1.答案:(1)B(2)0,1) 点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.跟踪训练3 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取
12、值范围是()A.a1 B.-1a1 C.0a1D.a=1解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)24,解得a21,故-1am,即m0,故m的取值范围是(0,10).答案:(0,10)4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为.解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:(x-2)2+y2=55.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程. 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有，解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.法二：(几何法)
13、由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。在本节课的教学中，引导学生回顾确定直线的几何要素两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素圆心位置和半径大小。由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。在求解圆的标准方程中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养。
