1、2.3.1 两直线的交点坐标本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习两直线的交点坐标 从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.课
2、程目标学科素养A. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；B.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系；C.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.1.数学抽象：两直线交点和二元一次方程组的联系 2.逻辑推理：方程组解的个数判定两条直线的位置关系3.数学运算：解方程组求两条相交直线的交点坐标 4.直观想象：直线与方程的关系重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程
3、就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。二、探究新知两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.2. 方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个
4、零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是()A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1)解析:解方程组x+y=5,x-y=3,得x=4,y=1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 三、典例解析例1.直线l过直线xy20和直线xy40的交点，且与直线3x2y40平行，求直线l的方程解法一：联立方程解得即直线l过点(1,3)因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y3(x1)，即3x2y90.法二：因为直线xy20不与3x2y40平行，所以
5、可设直线l的方程为xy4(xy2)0，整理得(1)x(1)y420，因为直线l与直线3x2y40平行，所以，解得，所以直线l的方程为xy0，即3x2y90.求过两直线交点的直线方程的方法(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.(2)过两条相交直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线方程可设为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含直线l2).跟踪训练1三条直线ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一点，求a的值解解方程组得所以两
6、条直线的交点坐标为(4,2)由题意知点(4,2)在直线ax2y70上，将(4,2)代入，得a42(2)70，解得a.例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.解:(1)方程组2x-y-7=0,3x+2y-7=0的解为x=3,y=-1.因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组2x-6y+4=0,4x-12y+8=0有无数个解
7、,这表明直线l1和l2重合.(3)方程组4x+2y+4=0,y=-2x+3无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1l2.跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是.解析:由5x+4y=2a+1,2x+3y=a,得x=2a+37,y=a-27,由2a+370,a-27-32,a2.-32a2.答案:-32,2例3 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程; (2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.思路分析:(1)设所求直线方程为x+2
8、y-2+(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出,即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.解方程组-x-y-1=0,x+2=0,得直线所过定点.解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0.点P(1,0)在直线上, 1-2+(3+2)=0.=15.所求方程为x+2y-2+15(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.解方程组-x-y-1=0,x+2=0,得x=-2,y=1.所以方程(a-1)x-y+2
9、a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1). 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.跟踪训练3 已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0解析:(方法1)解方程组
10、2x+3y+8=0,x-y-1=0,得交点为(-1,-2).又直线l经过原点,由两点式得其方程为y-0-2-0=x-0-1-0,即2x-y=0.(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-)=0,=8,直线l的方程为2x-y=0.答案:B 例4 光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.思路分析:求点A关于直线l的对称点A求反射光线所在直线的方程求入射光线与反射光线的交点坐标求入射光线所在的直线方程解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0,y0),则2+x02+3+y
11、02+1=0,y0-3x0-2=1, ，解之,得A(-4,-3).由于反射光线经过点A(-4,-3)和B(1,1),所以反射光线所在直线的方程为y-1=1+31+4(x-1),即4x-5y+1=0.解方程组4x-5y+1=0,x+y+1=0,得反射点P(-23,-13).所以入射光线所在直线的方程为y-3=3+132+23(x-2),即5x-4y+2=0.点关于直线的对称点的求法 点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系Ax+x02+By+y02+C=0,y-y0x-x0=BA,解方程组可得点P0的坐标.跟踪训练4 直线y=2x是ABC的一个内角平分线所在的
12、直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A(a,b),则kAA=b-2a+4,线段AA的中点坐标为(a-42,b+22),则b-2a+42=-1,b+22=2a-42,解得a=4,b=-2,A(4,-2),y=2x是角C平分线所在直线的方程,A在直线BC上,直线BC的方程为y+21+2=x-43-4,即3x+y-10=0,由y=2x,3x+y-10=0,解得x=2,y=4,C(2,4).金题典例 过点P(3,0)作一直线分别交直线2
13、x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.由x=3,2x-y-2=0,得A(3,4).， 由x=3,x+y+3=0,得B(3,-6).由于4+(-6)2=-10,P不为线段AB的中点.若直线斜率存在,设为k,则方程为y=k(x-3).由y=k(x-3),2x-y-2=0,得A(3k-2k-2,4kk-2).由y=k(x-3),x+y+3=0,得B(3k-3k+1,-6kk+1).P(3,0)为线段AB的中点,3k-2k-2+3k-3k+1=6,4k
14、k-2-6kk+1=0.2k-16=0,k2-8k=0.k=8.所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).点A,B分别在已知两直线上,2x1-y1-2=0,(6-x1)+(-y1)+3=0.解得x1=113,y1=163.A113,163.点A,P都在直线AB上,直线AB的方程为y-0163-0=x-3113-3,即8x-y-24=0.分析
15、三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.2(3+a)-b-2=0,3-a+(-b)+3=0.a=23,b=163.直线AB的斜率即直线AP的斜率,值为b-03+a-3=ba=8.所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.点睛:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.解法三:P(3,0)为线段AB的中点,可设A(3+a,b),B(3-a,-b).点A,B分别在已知直线上,通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生
16、感悟运用坐标法研究几何问题的方法。理解运用解方程组，求解直线交点坐标的方法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过典型例题的分析和解决，让学生逐步感悟运用解析法研究几何问题的方法。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典例解析，进一步灵活运用直线方程，解决两直线的位置关系及对称问题，提高学生解决问题的能力。 三、达标检测1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是()A.(-9,-10)B.(-9,10) C.(9,10) D.(9,-10)解析:解方程组2x+y+8=0,x+y-1=0,得x=-9,y=10,即交点坐标是(-9,10).答案
17、:B 2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24 B.24 C.6 D. 6解析:直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),2a-k=0,a+12=0,解得a=-12,k=-24,故选A.答案:A 3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1l2,则点P的坐标为.解析:直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1l2,a1+1(a-2)=0,解得a=1,联立方程x+y-6=0,x-y=0,易得x=3,y=3,点P的坐标为(
18、3,3).答案:(3,3) 4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点. 证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4.m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).5已知两直线l1：x8y70和l2：2xy10.(1)求l1与l2的交点坐标；(2)求过l1与l2交点且与直线xy10平行的直线方程. 解析： (1)联立两条直线的方程： 解得x1，y1.所以l1与l2的交点坐标是(1，1)(2
19、)设与直线xy10平行的直线l方程为xyc0，因为直线l过l1与l2的交点(1,1)，所以c0.所以直线l的方程为xy0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.
