1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 热点探究课 (二 ) 三角函数与解三角形中的高考热点问题 (对应学生用书第 55 页 ) 命题解读 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1题 (全国卷 T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用 热点 1 三角函数的图像与性质 (答题模板 ) 要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇 偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调
2、区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和 (差 )公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换 (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) 2 3sin? ?x2 4 cos ? ?x2 4 sin(x ) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图像向右平移 6 个单位长度，得到函数 g(x)的图像，求函数 g(x)在区间0， 上的最大值和最小值 . 【导学号： 00090117】 思路点拨 (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将 f(x)化为正弦型函数，然后求其周期 (2)先利用平移变换求出
3、g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值 规范解答 (1)f(x) 2 3sin? ?x2 4 cos ? ?x2 4 sin(x ) 3sin? ?x 2 ( sin x) 3 分 3cos x sin x 2sin? ?x 3 ， 5 分 于是 T 21 2. 6 分 (2)由已知得 g(x) f? ?x 6 2sin? ?x 6 . 8 分 x 0， ， x 6 ? ? 6 ， 76 ， sin? ?x 6 ? ? 12， 1 ， 10 分 g(x) 2sin? ?x 6 1,2. 11 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 故函数 g(x)在区间 0， 上的最大值为 2，最小值为 1
4、. 12 分 答题模板 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为： 第一步 (化简 )：将 f(x)化为 asin x bcos x 的形式 第二步 (用辅助角公式 )：构造 f(x) a2 b2sin x aa2 b2 cos x ba2 b2. 第三步 (求性质 )：利用 f(x) a2 b2sin(x )研究三角函数的性质 第四步 (反思 )：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 温馨提示 1.在第 (1)问的解法中，使用辅助角公式 asin bcos a2 b2 sin ( )? ?其中 tan ba ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关 注 .
5、 2求 g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解 对点训练 1 (2018 秦皇岛模拟 )已知函数 f(x) Asin x Bcos x (A， B， 是常数， 0)的最小正周期为 2，并且当 x 13时， f(x)max 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)在闭区间 ? ?214 ， 234 上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由 解 (1)因为 f(x) A2 B2sin(x )，由它的最小正周期为 2，知 2 2， .2 分 又由当 x 13时， f(x)max 2，可知 13 2k 2(k Z)， 2k 6 (k Z)
6、， 4 分 所以 f(x) 2sin? ? x 2k 6 2sin? ? x 6 (k Z) 故 f(x)的解析式为 f(x) 2sin? ? x 6 . 5 分 (2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令 x 6 k 2(k Z)，解得 x k 13(k Z). 7 分 由 214 k 13 234 ， 解得 5912 k 6512， 9 分 又 k Z，知 k 5， 10 分 由此可知在闭区间 ? ?214 ， 234 上存在 f(x)的对称轴，其方程为 x 163. 12 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 热点 2 解三角形 从近几年全国
7、卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值 (2015 全国卷 ) ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 (1)求 sin Bsin C； (2)若 AD 1， DC 22 ，求 BD 和 AC 的长 解 (1)S ABD 12AB ADsin BAD， S ADC 12AC ADsin CAD 2 分 因为 S ABD 2S ADC， BAD CAD，所以 AB 2AC 由正弦定理，得 sin Bsin C ACAB 12. 5 分
8、(2)因为 S ABD S ADC BD DC， 所以 BD 2. 7 分 在 ABD 和 ADC 中，由余弦定理，知 AB2 AD2 BD2 2AD BDcos ADB， AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 9 分 故 AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC2 6. 由 (1)，知 AB 2AC，所以 AC 1. 12 分 规律方法 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度 进行 “ 角化边 ” 或 “ 边化角 ” ，要抓住能用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边
9、的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到 对点训练 2 在 ABC 中，已知 A 45 ， cos B 45. (1)求 sin C 的值； (2)若 BC 10，求 ABC 的面积 . 【导学号： 00090118】 解 (1)因为 cos B 45，且 B (0 ， 180) ， 所以 sin B 1 cos2B 35. =【 ;精品教育资源文库 】 = sin C sin(180 A B) sin(135 B) sin 135cos B cos 135sin B 22 45 ? ? 22 35 7 210 . (2)由正弦定理，得 BCsin A ABsin
10、 C，即 1022 AB7 210，解得 AB 14， 则 ABC 的面积 S 12AB BCsin B 121410 35 42. 热点 3 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化 (2018 哈尔滨模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 cos B 2cos A2a b cos Cc . (1)求 ab的值； (2)若角 A 是钝角，且 c 3，求 b 的取值范围 解 (1)由题
11、意及正弦定理得 sin Ccos B 2sin Ccos A 2sin Acos C sin Bcos C，2 分 sin Ccos B sin Bcos C 2(sin Ccos A sin Acos C) sin(B C) 2sin(A C) A B C ， sin A 2sin B， ab 2. 5 分 (2)由余弦定理得 cos A b2 9 a22b3 b2 9 4b26b 9 3b26b 3. 7 分 b ca，即 b 32b， b3， 由 得 b 的范围是 ( 3， 3). 12 分 规律方法 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择
12、正、余弦定理 2解三角形常与三角变换交汇在一起 (以解三角形的某一结论作为条件 )，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 =【 ;精品教育资源文库 】 = 对点训练 3 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， C 已知 tan ? ? 4 A 2. (1)求 sin 2Asin 2A cos2A的值 ； (2)若 B 4 ， a 3，求 ABC 的面积 解 (1)由 tan? ? 4 A 2，得 tan A 13， 所以 sin 2Asin 2A cos2A 2tan A2tan A 1 25. 5 分 (2)由 tan A 13， A (0， ) ，得 sin A 1010 ， cos A 3 1010 . 7 分 由 a 3， B 4 及正弦定理 asin A bsin B， 得 b 3 5. 9 分 由 sin C sin(A B) sin? ?A 4 ， 得 sin C 2 55 . 设 ABC 的面积为 S，则 S 12absin C 9. 12 分
