1、理论力学（第三版）第5章第3节拉格朗日方程 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 基本拉格朗日方程基本拉格朗日方程 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程导读导读5.3 拉格朗日方程拉格朗日方程 循环积分循环积分 广义速度广义速度 广义动量广义动量按照牛顿运动定律按照牛顿运动定律,力学系统的第力学系统的第i质点的运动方程是质点的运动方程是0 iiiirmRF 只要把最后一项理解为一种力只要把最后一项理解为一种力,上式就变为平衡方程的上式就变为平衡方程的类型类型.事实上事实上,研究第研究第i个质点的运动时个质点的运动时,若选用跟随这个若选用跟随这个质点一同平动的参考系统质点一同平动的参考系统,这个质点显然
2、是这个质点显然是(相对相对)静止的静止的,它应当遵守平衡方程它应当遵守平衡方程.最后一项就是惯性力最后一项就是惯性力.这就叫做这就叫做达达朗贝尔原理朗贝尔原理.(5.23)01niiiiirrmF 达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程1 1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作为逻辑推理的出发点导出的为逻辑推理的出发点导出的.从这个基本法出发再从这个基本法出发再利用约束对虚位移的限制关系式利用约束对虚位移的限制关系式,可以导出力学系可以导出力学系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律统的动力学方程，从而概括了力学
3、系统的运动规律.由于约束的性质是纯几何的或运动学的由于约束的性质是纯几何的或运动学的,因此可认因此可认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方程方程,故称之为故称之为“原理原理”.这比承认牛顿运动定律再这比承认牛顿运动定律再加上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括加上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性性.当存在非理想约束时当存在非理想约束时,达朗贝尔原理达朗贝尔原理也适用也适用,它可它可叙述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之叙述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零和为零.对于完整约束或非完整约束对于完整约束或非完整约
4、束,这个原理都适这个原理都适用用,因此它可以称为因此它可以称为分析动力学的普遍原理分析动力学的普遍原理.nizzmFyymFxxmFiiiiziiiiyiiiiix,2,10)()()(),2,1(0)(niramFiiiii iiiiiiiiiziyixizyxrzyxaFFFF,BACllll3 应用举例2IIsinmlFFBACllllO1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 g rB rA rC0211IICBABBAAygmygmygmxFxFsincossincos2 cosAABBCxlylxlylyl-cos sin cos sin 2 sin AABBCxlylxlylyl
5、-0sin2sin2cossin22121glmglmllmcos)(1212lmgmm 0211IICBABBAAygmygmygmxFxFCllllO1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 g rB rA rCxyC2DC1ACB O11I1amF 12I2eamFr2I2ramF22I2rJM22221rmJxyC2DC1ACB Om1gm2ga1aeF12F11M12 2，xxyC2DC1ACB Om1gm2gF12rF12F11M12 x 00，令x0cossin22r2Ie2I2RJRFRFRgm0)23cos(1sinr1aag00，令x0cos)(r2Ie2I1IxFxFFco
6、s)(121rmamma222121r222121cos2)3()(sin2cos2)3(sin2mmmmmgammmgmaxyC2DC1ACB Om1gm2gF12rF12F11M12 x 由于约束条件由于约束条件,n个矢径并不独立个矢径并不独立.现在引入独立的广义现在引入独立的广义坐标坐标q 把矢径用广义坐标表示出：把矢径用广义坐标表示出：;,21tqqqrrsii对时间求导对时间求导 dd dd1tqqrtrtrsiii因为位矢只是广义坐标和时间的函数因为位矢只是广义坐标和时间的函数,它对广义坐标的它对广义坐标的偏导数也是广义坐标和时间的函数偏导数也是广义坐标和时间的函数,因此速度就是广
7、义因此速度就是广义坐标、广义速度以及时间的函数坐标、广义速度以及时间的函数,但是位矢对时间和但是位矢对时间和广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数.4 4 基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程因为广义速度也是独立的因为广义速度也是独立的,所以所以(5.24)11qrqqqrqqrtrqqrisisiii再来看位矢对广义坐标的偏导数的时间变化率再来看位矢对广义坐标的偏导数的时间变化率(5.25)dd dd1212trqtrqqrqqtrqqqrqrtiisiisii即位矢对广义坐标的偏导数和对时间的偏导数可以即位矢对广义坐标的偏导数和对时间的偏导数可以对
8、易对易这样把广义坐标表示代入达朗贝尔这样把广义坐标表示代入达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程,qQqqrFqqrFrFsiniissiniiniii 111111qqrrmqqrrmrrminiissiniiniiii 11111 niiiniiiiniiiniiqrtrmqrrtmqrtrmqrrm1111 dd dd dd 考虑考虑(5.24)和和(5.25)式式niiniiniiiniiiiniirmqrmqtqrrmqrrtmqrrm121211121 21 dd dd 上式中的两个括号正是力学系统的动能上式中的两个括号正是力学系统的动能T,所以所以qTqTtqrrminii dd 1
9、(5.26)0 dd 1sqTqTtQ(5.27),1,2,ddsQqTqTt拉拉格朗日方程格朗日方程 这里已经甩掉了虚位移这里已经甩掉了虚位移.因为因为T 和和Q 都是都是t,q 和和它它的时间变化率的的时间变化率的已知函数已知函数,所以这是关于所以这是关于s 个未知函数个未知函数q(t)的常微分方程组的常微分方程组,其中每个方程一般其中每个方程一般都含有都含有这这s 个个未知函数的二阶导数未知函数的二阶导数.,1,2,sqT叫叫广义动量广义动量q 叫广义速度叫广义速度qT叫叫拉拉格朗日格朗日力力Q 叫叫广义力广义力广义动量时间变化率等广义主动力与拉格朗日力之和广义动量时间变化率等广义主动力
10、与拉格朗日力之和所以所以注意注意：拉格朗日方程在数学上是拉格朗日方程在数学上是q 的常微分方程的常微分方程,在物理上在物理上是实际运动所遵从的运动定律是实际运动所遵从的运动定律.(1)方程中的方程中的 d/dt 运算当然是把描写实际运动的运算当然是把描写实际运动的q 当作当作时间时间t的函数的函数q(t),(2)而广义速度则是而广义速度则是q(t)的时间变化率的时间变化率.(3)可是可是,为了具体写出为了具体写出(5.27)式式,必须先计算必须先计算T(q ,dq/dt,t)的偏导数的偏导数dT/dq 和和dT/d(dq/dt),(4)在作这种运算时在作这种运算时,是把广义坐标、广义速度和时间
11、是把广义坐标、广义速度和时间当作独立变数看待的当作独立变数看待的,也就是说也就是说,不把不把q 作为时间的作为时间的函数，也不把广义速度作为函数，也不把广义速度作为q 的时间变化率的时间变化率.这是怎么回事这是怎么回事?原来原来,作为研究问题的出发点作为研究问题的出发点,我们并我们并不局限于实际实现的运动情况不局限于实际实现的运动情况,而是考虑瞬时而是考虑瞬时“冻结冻结”了的约束条件所允许的一切可能的运动情况了的约束条件所允许的一切可能的运动情况(虚位移虚位移概念就是这样引入的概念就是这样引入的).q 并不是指某个时刻的实际的并不是指某个时刻的实际的广义坐标广义坐标,而是约束条件所允许的任意的
12、广义坐标而是约束条件所允许的任意的广义坐标,所以它不是时间的函数所以它不是时间的函数.广义速度也是约束条件所允广义速度也是约束条件所允许的任意的广义速度许的任意的广义速度,所以它也不是广义坐标时间变所以它也不是广义坐标时间变化率化率,而是独立于广义坐标的而是独立于广义坐标的.例例1 试推导平面极坐标中的质点运动方程试推导平面极坐标中的质点运动方程解解:这里有两个自由度这里有两个自由度,广义坐标即极径广义坐标即极径 和极角和极角.径向速径向速度和横向速度分别是度和横向速度分别是广义动量为广义动量为 ,2221mTvv它们分别是径向动量和相对于极点的角动量它们分别是径向动量和相对于极点的角动量.拉
13、格朗日力拉格朗日力为为2 ,mTpmTp0 ,2TmT前一个是质点绕极点运动的惯性离心力前一个是质点绕极点运动的惯性离心力.广义力广义力Q ,Q 可利用虚功来求可利用虚功来求.先令先令 =0,虚功虚功 W=F r=F ,得到得到Q =F .这是力的径向分量这是力的径向分量.0 ,2TmT同理同理 先令先令 =0,利用虚功利用虚功得到得到Q=F .这是相对极点的这是相对极点的力矩力矩.例例2 如果某一广义坐标如果某一广义坐标q ,反映力学系统的整体平移反映力学系统的整体平移,其平移方向沿着单位矢量其平移方向沿着单位矢量 (如图如图).即即nqtq,qrtqq,qrriiid,d 其中其中q代表代
14、表q 以外的所有各广义坐标以外的所有各广义坐标,dq 则是所有质则是所有质点的共同平移点的共同平移.在这情况下在这情况下,qrni相应的广义动量相应的广义动量 n n dqn)(qri)d(qqriniiiiniiiiniiiiniiirmnqrrmqrrmrrmqqTqLp111121 这正是力学系统的动这正是力学系统的动量量在在 方向的分量方向的分量.同理可以证明同理可以证明相应的广义力是主动力之和在相应的广义力是主动力之和在n方向的分量方向的分量.(课下作业课下作业)ntq,qrnqtq,qrtqq,qrriiii,d,d q 是系统绕转动轴转过的角度是系统绕转动轴转过的角度,此时此时i
15、irnqr 相应的广义动量相应的广义动量Lnrrmnrnrmqrrmqrrmpniiiiniiiiiniiiiniii1111例例3 如广义坐标如广义坐标q ,反映系统的整体转动反映系统的整体转动,其转动轴沿着其转动轴沿着单位矢量单位矢量 ,则则 n这正是力学系统的角动量上在这正是力学系统的角动量上在 方向的分量方向的分量,即力学系统即力学系统对对n轴的角动量轴的角动量.相应广义力相应广义力Q 为为MnFrnrnFqrFQniiniiiinii111 n 当主动力当主动力 全是保守力时全是保守力时,存在一个势能函数存在一个势能函数V(r1,r2,rn,t)使使V Fii则则,广义力为广义力为q
16、VqzzVqyyVqxxVqrVqrFQniiiiiiiiniiinii 111拉格朗日方程就可以改写为拉格朗日方程就可以改写为(5.28),1,2,ddsqVqTqTt6 6 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程iF因为势能中一般不包括广义速度因为势能中一般不包括广义速度,令令 代表系统代表系统的动能和势能之差的动能和势能之差,则则VTLqVqTqLqTqL 则则(5.28)式变为式变为(5.29),1,2,0ddsqLqLt这是保守系的拉格朗日方程这是保守系的拉格朗日方程,L叫拉格朗日函数叫拉格朗日函数.通常定义广义动量通常定义广义动量 所以所以,广义动量的时间变化率等于广义力广义动量
17、的时间变化率等于广义力sqLp,1,2,(2)xOxl0ABCk222121CCJmvTsin2cos2lxxlxxCCcos2sin2lylyCC)31sin(2121)cos21()sin2(21222222llxxmJlxmTCxOxl0ABCk)cos2(212lxmgkxV)cos2(212lxmgkxVTL)31sin-(21222llxxm0)(ddjjqLqLt2121,2,1,qxqqxqjqj广义坐标xOxl0ABCkmgxkxxLsin21-lmxmxLcos21sin21-)(dd2lmlmxmxLt sin21-cos21mgllxmLsin21-312xmlmlL)
18、cos2(212lxmgkxVTL)31sin-(21222llxxmcos21sin21-3)(dd2lxmxmlmlLt sin21-312xmlmlL0cos21sin212mgkxmlmlxm 0sin21sin213gxl 例题例题2 不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮(图图),滑轮的重量很轻滑轮的重量很轻,质量为质量为m1,m2和和m3的物体分别悬挂的物体分别悬挂于绳的两端和动滑轮下于绳的两端和动滑轮下.求各物体的加速度求各物体的加速度.解解:三个物体作上下方向的一维运三个物体作上下方向的一维运动动,又受到一不可伸缩的绳的限制又
19、受到一不可伸缩的绳的限制,因此只有因此只有2个自由度个自由度.取左右两边的绳长取左右两边的绳长l1和和l2作为力学系作为力学系统的广义坐标统的广义坐标.l1+2l3+l2=常数常数l.三个物体受到的都是重力三个物体受到的都是重力,是保守系是保守系统统,所以所以l1l3l3l2m2m1m3213221121 lllgmglmglmV2213222211812121 llmlmlmT VTL拉格朗日方程给出拉格朗日方程给出0214141d d0214141d d32132323123131gmmlmlmmtgmmlmlmmtgmmmmmmmmmmmmlgmmmmmmmmmmmmlgmmmmmmmm
20、mmmml13232113232131323212313212132321132321144434434 所以所以BAkOr0 22222)31(21)(21lgWrrgWT20)r(21cos2cosrklWWrV20)r(21cos2cosrklWWr22222)31(21)(21lgWrrgWVTL0sin2sin2)31(22lWWrrrgWlrgW 0)(cos)(02rrkWrrgW BAkOr0BrWWFF例题例题4 图示系统中，物块图示系统中，物块A与球与球B看成两个质点，质看成两个质点，质量分别为量分别为 ,用质量不计的长为用质量不计的长为 l 的杆相连的杆相连.水平面光滑，
21、求系统的运动微分方程水平面光滑，求系统的运动微分方程.21mm与解：解：系统受理想约束系统受理想约束,主动力主动力(重力重力)有势有势.系统系统的自由度为的自由度为2,选选 x,为广义坐标为广义坐标.xl椭圆摆椭圆摆AB222212121vmxmT)cos2(2121222221xllxmxm cos21)(212222221xlmlmxmm cos2glmV代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程xVxTxTt)(ddVTTt)(dd系统运动微分方程系统运动微分方程 0sinsincos0sincos)(2222222221glmx lmlmxlmlmlmxmm 小小 结结 01niiiiirrmF
22、 达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程,1,2,ddsQqTqTt拉拉格朗日方程格朗日方程,1,2,sqT叫叫广义动量广义动量q 叫广义速度叫广义速度qT叫叫拉拉格朗日格朗日力力Q 叫叫广义力广义力,1,2,0ddsqLqLt这是保守系的拉格朗日方程这是保守系的拉格朗日方程,L=T-V拉格朗日函数拉格朗日函数.附：拉格朗日介绍（Lagrange,Joseph-Louis）是法国数学家、力学家、天文学家.1736年1月25日生于意大利西北部的都灵；1813年4月10日卒于巴黎.拉格朗日在中学时代读了天文学家哈雷写的一篇谈论计算方法的小品文在解决求光学玻璃的焦点问题时，近世代数优越性的一个实
23、例之后，就对数学和天文学发生了兴趣，不久进入都灵皇家炮兵学院学习.通过自学的方式钻研数学，尚未毕业就担任了该院的部分数学教学工作.18岁时开始撰写论文，19岁被正式聘任为该院的数学教授.1755年，拉格朗日开始和欧拉通信讨论“等周问题”，从而奠定了变分法的基础.拉格朗日最得意的著作是分析力学，撰写这部巨著，他倾注了大量的智慧和精力，整整经历了37个春秋.在这部著作中，他利用变分原理建立了优美、和谐的力学体系，把宇宙描绘成为一个由数字和方程组成的有节奏的旋律.这部著作里的精辟论述，使得动力学这门科学达到了登峰造极的地步，它还把固体力学和流体力学这两个分支统一了起来，从而奠定了现代力学的基础.哈密顿(Hamilton)把这部著作誉之为一部“科学诗篇”.拉格朗日1759年被选为柏林科学院院士，1772年被选为法国科学院院士，1776年被选为彼得堡科学院名誉院士，1766一1786年担任柏林科学院的主席.“我此生没有什么遗憾，死亡并不可怕，它我此生没有什么遗憾，死亡并不可怕，它只不过是我要遇到的最后一个函数只不过是我要遇到的最后一个函数”.
