1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式选讲 第一节 绝对值不等式 1绝对值三角不等式 定理 1：如果 a， b 是实数，则 |a b| |a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么 |a c| a b| |b c|，当且仅当 (a b)(b c)0时，等号成立 2绝对值不等式的解法 (1)含绝对值不等式 |x|a 的解法： 不等式 a0 a 0 aa x|xa或 x0)型不等式的解法： |ax b| c? c ax b c； |ax b| c?ax b c 或 ax b c. 1设 a， b 为满足 ab|a b| B |a b|a b|. 2
2、若不等式 |kx 4|2 的解集为 x|1 x3 ，则实数 k _. 解析：由 |kx 4|2 ?2 kx6. 不等式的解集为 x|1 x3 ， k 2. 答案： 2 3函数 y |x 4| |x 4|的最小值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： 因为 |x 4| |x 4|( x 4) (x 4)| 8， 所以所求函数的最小值为 8. 答案： 8 4不等式 |x 1| |x 2|1 的解集是 _ 解析：令 f(x) |x 1| |x 2|? 3， x 1，2x 1， 11 恒成立 所以不等式的解集为 x|x 1 . 答案： x|x1 考点一 绝对值不等式的解法 基础送分型考点 自
3、主练透 考什么 怎么考 绝对值不等式的解法是每年高考的重点，既单独考查，也与函数的图象、含参问题等的综合考查，难度较小，属于低档题 . 1 (2016 全国卷 )已知函数 f(x) |x 1| |2x 3|. (1)画出 y f(x)的图象； (2)求不等式 |f(x)|1 的解集 解 ： (1)由题意得 f(x)? x 4， x 1，3x 2， 132，故 y f(x)的图象如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x) 1 时，可得 x 1 或 x 3； 当 f(x) 1 时，可得 x 13或 x 5. 故 f(x)1 的解集为 x|1
4、5 . 所以 |f(x)|1 的解集为?x? x5 . 2解下列不等式 (1)|2x 1| 2|x 1|0； (2)|x 3| |2x 1|2|x 1|， 两边平方得 4x2 4x 14(x2 2x 1)， 解得 x14， 所以原不等式的解集为 ? ?x|x14 . 法二：原不等式等价于? x1，x x 解得 x14，所以原不等式的解集为 ? ?x|x14 . (2) 当 x12时， 原不等式化为 (x 3) (1 2x)2， x2. 综上可知，原不等式的解集为 ? ?x|x2 . 怎样快解 准解 绝对值不等式的常见 3 解法 (1)零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零
5、点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 (组 )，一般步骤如下： 令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； 将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间； 在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集； 这些解集的并集就是原不等式的解集 (2)利用绝对值的几何意义 由于 |x a| |x b|与 |x a| |x b|分别表示数轴上与 x 对应的点到与 a， b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如 |x a| |x b|0)或 |x a| |x b|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 (
6、3)数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解 易错提醒 用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论 考点二 绝对值三角不等式的应用 重点保分型考点 师生共研 应用绝对值三角不等式证明不等式或求最值是高考的常考内容，难度适中 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 典题领悟 1若对于实数 x， y 有 |1 x|2 ， |y 1|1 ， 求 |2x 3y 1|的最大值 解：因为 |2x 3y 1| |2(x 1) 3(y 1)| 2| x 1| 3|y 1|7 ， 所以 |2x 3y 1|的
7、最大值为 7. 2若 a2 ， x R，求证： |x 1 a| |x a|3. 证明：因为 |x 1 a| |x a| |( x 1 a) (x a)| |2a 1|， 又 a2 ，故 |2a 1|3 ， 所以 |x 1 a| |x a|3 成立 解题师说 证明绝对值不等式的 3 种主要方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明 (2)利用三 角不等式 |a| |b| a b| a| |b|进行证明 (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明 冲关演练 已知 x， y R，且 |x y| 16， |x y| 14，求证： |x 5y|1. 证明： |x 5y| |3(x
8、 y) 2(x y)|. 由绝对值不等式的性质，得 |x 5y| |3(x y) 2(x y)|3( x y)| |2(x y)| 3|x y| 2|x y|3 16 2 14 1. 即 |x 5y|1 成立 考点三 绝对值不等式的综合应用 重点保分型考点 师生共研 绝对值不等式的综合应用是每年高考的热点，主要涉及绝对值不等式的解法、恒成立问题，难度适中，属于中档题 . 典题领悟 (2017 全国卷 )已知函数 f(x) |x 1| |x 2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x) x2 x m 的解集非空，求 m 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解：
9、 (1)f(x)? 3， x 1，2x 1， 1 x2 ，3， x 2.当 x 1 时， f(x)1 无解； 当 1 x2 时，由 f(x)1 ，得 2x 11 ，解得 1 x2 ； 当 x 2 时，由 f(x)1 ，解得 x 2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x) x2 x m，得 m| x 1| |x 2| x2 x. 而 |x 1| |x 2| x2 x| x| 1 |x| 2 x2 |x| ? ?|x| 32 2 54 54， 当且仅当 x 32时， |x 1| |x 2| x2 x 54. 故 m 的取值范围为 ? ? ， 54 . 解题师说 设函数 f(x)
10、中含有绝对值，则 (1)f(x)a 有解 ?f(x)maxa. (2)f(x)a 恒成立 ?f(x)mina. (3)f(x)a 恰在 (c， b)上成立 ?c， b 是方程 f(x) a 的解 冲关演练 1 (2017 全国卷 )已知函数 f(x) x2 ax 4， g(x) |x 1| |x 1|. (1)当 a 1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； (2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含 1,1，求 a 的取值范围 解： (1)当 a 1 时，不等式 f(x) g(x)等价于 x2 x |x 1| |x 1| 40. 当 x 1 时， 式化为 x2 3x 40 ，无解； 当
11、 1 x1 时， 式化为 x2 x 20 ，从而 1 x1 ； 当 x 1 时， 式化为 x2 x 40 ， 从而 1 x 1 172 . 所以 f(x) g(x)的解集为 ? ?x? 1 x 1 172 . (2)当 x 1,1时， g(x) 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(x) g(x)的解集包含 1,1，等价于当 x 1,1时， f(x)2. 又 f(x)在 1,1的最小值必为 f( 1)与 f(1)之一， 所以 f( 1)2 且 f(1)2 ，得 1 a1. 所以 a 的取值范围为 1,1 2已知函数 f(x) |2x a| a. (1)当 a 2 时，求不等式 f(
12、x)6 的解集； (2)设函数 g(x) |2x 1|.当 x R 时， f(x) g(x)3 ，求 a 的取值范围 解： (1)当 a 2 时， f(x) |2x 2| 2. 解不等式 |2x 2| 26 ，得 1 x3. 因此 f(x)6 的解集为 x| 1 x3 (2)当 x R 时， f(x) g(x) |2x a| a |1 2x|3 ， 即 ? ?x a2 ? ?12 x 3 a2 . 又 ? ? ?x a2 ? ?12 x min ? ?12 a2 ， 所以 ? ?12 a2 3 a2 ，解得 a2. 所以 a 的取值范围是 2， ) 1已知函数 f(x) |x 4| |x a|
13、(a R)的最小值为 a. (1)求实数 a 的值； (2)解不等式 f(x)5. 解： (1)f(x) |x 4| |x a| a 4| a， 从而解得 a 2. (2)由 (1)知， f(x) |x 4| |x 2|? 2x 6， x2 ，2， 2 x4 ，2x 6， x 4.故当 x2 时，由 2x 65 ，得 12 x2 ， 当 24 时，由 2x 65 ，得 40， b0，函数 f(x) |x a| |2x b|的最小值为 1. (1)证明： 2a b 2； (2)若 a 2b tab 恒成立，求实数 t 的最大值 解： (1) 证 明 ： 因 为 ab2，显然 f(x)在 ? ?
14、， b2 上单调递减，在 ? ?b2， 上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f? ?b2 a b2，所以 a b2 1，即 2a b 2. (2)因为 a 2b tab 恒成立，所以 a 2bab t 恒成立， a 2bab 1b2a12?1b2a (2a b) 12? ?5 2ab 2ba 12? ?5 2 2ab 2ba 92. 当且仅当 a b 23时， a 2bab 取得最小值 92， 所以 t 92，即实数 t 的最大值为 92. 7已知函数 f(x) |x 1| 2|x a|， a0. (1)当 a 1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 解： (1)当 a 1 时， f(x)1 化为 |x 1| 2|x 1| 10. 当 x 1 时，不等式化为 x 40，无解； 当 10， 解得 230，解得 1 x1 的解集为?x? 23x2 .
