1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 椭 圆 考纲传真 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 (范围、对称性、顶点、离心率 ).3.理解数形结合思想 .4.了解椭圆的简单应用 (对应学生用书第 120 页 ) 基础知识填充 1椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于 常数 (大于 |F1F2|)的点的集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a， c 为常数且 a0， c0. 若
2、a c，则集合 P 为椭圆； 若 a c，则集合 P 为线段； 若 a c，则集合 P 为空集 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(ab0) y2a2x2b2 1(ab0) 图形 性 质 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1( a,0)， A2(a,0)， B1(0， b)， B2(0， b) A1(0， a)， A2(0， a)， B1( b,0)， B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2| 2c 离心率 e ca (0,1) a， b， c 的关
3、系 a2 b2 c2 知识拓展 1点 P(x0， y0)和椭圆的关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)点 P(x0， y0)在椭圆内 ?x20a2y20b2 1. (2)点 P(x0， y0)在椭圆上 ?x20a2y20b2 1. (3)点 P(x0， y0)在椭圆外 ?x20a2y20b2 1. 2焦点三角形 椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)上一点 P(x0， y0)与两焦点构成的焦点三角形 F1PF2 中，若 F1PF2 ，则 S F1PF2 12|PF1|PF2|sin sin 1 cos b2 b2tan 2 3过焦点垂直于长轴的弦长 椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为 b
4、2a. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆 ( ) (2)椭圆上一点 P与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a 2c(其中 a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距 ) ( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 12，则 C 的方程是( ) A x23y24 1 Bx24y
5、23 1 C x24y22 1 Dx24y23 1 D 椭圆的焦点在 x 轴上， c 1. 又离心率为 ca 12，故 a 2， b2 a2 c2 4 1 3， 故椭圆的方程为 x24y23 1. 3 (2015 广东高考 )已知椭圆 x225y2m2 1(m0)的左焦点为 F1( 4,0)，则 m ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2 B 3 C 4 D 9 B 由左焦点为 F1( 4,0)知 c 4.又 a 5， 25 m2 16，解得 m 3 或 3.又 m0，故m 3. 4 (2016 全国卷 )直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的
6、14，则该椭圆的离心率为 ( ) A 13 B 12 C 23 D 34 B 如图， |OB|为椭圆中心到 l 的距离，则 |OA| OF| |AF| OB|，即 bc a b2，所以 e ca 12. 5椭圆 x24y23 1 的左焦点为 F，直线 x m 与椭圆相交于点 A， B，当 FAB 的周长最大时， FAB 的面积是 _ 3 直线 x m 过右焦点 (1,0)时， FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a 8，即 a 2， 此时， |AB| 2 b2a232 3， S FAB 1223 3. (对应学生用书第 121 页 ) 椭圆的定义与标准方程 (1)如图 851 所 示
7、，一圆形纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 851 A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6， 1)， P2( 3， 2)，则椭圆的方程为 _. 【导学号： 00090290】 (3)设 F1， F2分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0|OF|. P 点的轨迹是以 O， F 为焦点的椭圆 (2)设椭圆方程为 mx2 ny2 1(m 0， n 0 且
8、m n) 椭圆经过点 P1， P2， 点 P1， P2的坐标适合椭圆方程 则? 6m n 1， 3m 2n 1， 两式联立，解得? m 19，n 13. 所求椭圆方程为 x29y23 1. (3)不妨设点 A 在第一象限，设半焦距为 c， 则 F1( c,0)， F2(c,0) AF2 x 轴，则 A(c， b2)(其中 c2 1 b2,0|F1F2|这一条件 (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正 (余 )弦定理、椭圆定义，但一定要注意 |PF1| |PF2|与 |PF1| PF2|的整体代换 2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确
9、定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于 a， b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为 Ax2 By2 1(A0， B0， A B)的形式 变式训练 1 (1)与圆 C1： (x 3)2 y2 1 外 切，且与圆 C2： (x 3)2 y2 81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 _ (2)已知 F1， F2是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 F1PF2 60 ， S PF1F2 3 3，则 b _. (3)已知 F1( 1,0)， F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A， B两点，且
10、 |AB| 3，则 C 的方程为 _. 【导学号： 00090291】 (1)x225y216 1 (2)3 (3)x24y23 1 (1)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x， y)，则有 |PC1| r 1， |PC2| 9 r. 所以 |PC1| |PC2| 10 |C1C2|， 即 P 在以 C1( 3,0)， C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点 P 的轨迹方程为 x225y216 1. (2)由题意得 |PF1| |PF2| 2a， 又 F1PF2 60 ， 所以 |PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2， 所以 (|PF1| |P
11、F2|)2 3|PF1|PF2| 4c2， 所以 3|PF1|PF2| 4a2 4c2 4b2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |PF1|PF2| 43b2， 所以 S PF1F2 12|PF1|PF2|sin 60 12 43b2 32 33 b2 3 3，所以 b 3. (3)依题意，设椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0) 过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长 |AB| 3， 点 A? ?1， 32 必在椭圆上， 1a2 94b2 1. 又由 c 1，得 1 b2 a2. 由 联立，得 b2 3， a2 4. 故所求椭圆 C 的方程为 x24y23
12、 1. 椭圆的几何性质 (1)(2018 泉州质检 )已知椭圆 x2m 2y210 m 1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m等于 ( ) A 8 B 7 C 6 D 5 (2)(2016 江苏高考 )如图 852，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点，直线 y b2与椭圆交于 B， C 两点，且 BFC 90 ，则该椭圆的离心率是 _. 图 852 (1)A (2) 63 (1) 椭圆 x2m 2y210 m 1 的长轴在 x 轴上， ? m 2 0，10 m 0，m 2 10 m，解得 6 m 10. 焦距为 4， c2 m 2 10 m
13、4，解得 m 8. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)将 y b2代入椭圆的标准方程，得 x2a2b24b2 1， 所以 x 32 a，故 B? ? 32 a， b2 ， C? ?32 a， b2 . 又因为 F(c,0)，所以 BF ? ?c 32 a， b2 ， CF ? ?c 32 a， b2 . 因为 BFC 90 ，所以 BF CF 0， 所以 ? ?c 32 a ? ?c 32 a ? ? b2 2 0，即 c2 34a2 14b2 0，将 b2 a2 c2代入并化简，得a2 32c2，所以 e2 c2a223，所以 e63 (负值舍去 ) 规律方法 1.与椭圆几何性质有关的
14、问题要结合图形进行分析 2求椭圆离心率的主要方法有： (1)直接求出 a， c 的值，利用离心率公式直接求解 (2)列出含有 a， b， c 的齐次方程 (或不等式 )，借助于 b2 a2 c2消去 b，转化为含有 e 的方程 (或不等式 )求解 变式训练 2 (1)已知椭圆 x29y24 k 1 的离心率为45，则 k 的值为 ( ) A 21 B 21 C 1925或 21 D 1925或 21 (2)过椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点 F1作 x轴的垂线交椭圆于点 P， F2为椭圆的右焦点，若 F1PF2 60 ，则椭圆的离心率为 ( ) 【导学号： 00090292】
15、A 22 B 33 C 12 D 13 (3)(2017 全国卷 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A 63 B 33 C 23 D 13 (1)D (2)B (3)A (1)当 9 4 k 0，即 5 k 4 时， =【 ;精品教育资源文库 】 = a 3， c2 9 (4 k) 5 k， 5 k3 45，解得 k 1925. 当 9 4 k，即 k 5 时， a 4 k， c2 k 5， k 54 k 45，解得 k 21，所以 k 的值为 1925或 21. (2)由题意，可设 P? ? c， b2a . 因为在 Rt PF1F2中， |PF1| b2a， |F1F2| 2c， F1PF2 60 ，所以2acb2 3.又因为 b2a2 c2，所以 3c2 2ac 3a2 0，即 3e2 2e 3 0，解得 e 33 或 e 3，又因为
