1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十三 ) 垂直关系 A 组 基础达标 一、选择题 1设 ， 为两个不同的平面，直线 l ，则 “ l ” 是 “ ” 成立的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 依题意，由 l ， l 可以推出 ；反过来，由 ， l 不能推出 l .因此， “ l ” 是 “ ” 成立的充分不必要条件，故选 A. 2 (2017 中原名校联盟 4 月联考 )已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是 ( ) A 且 m B 且 m C m n 且 n D
2、m n 且 n C 对于选项 A， 且 m ，可得 m 或 m 与 相交或 m ，故 A 不成立；对于选项 B， 且 m ，可得 m 或 m 或 m 与 相交，故 B 不成立；对于选项 C， m n 且 n ，则 m ，故 C 正确；对于选项 D，由 m n 且 n ，可得 m 或 m 与 相交或 m ，故 D 不成立，故选 C. 3设 a， b 是夹角为 30 的异面直线，则满足条件 “ a ， b ，且 ” 的平面 ， ( ) A不存在 B有且只有一对 C有且只有两 对 D有无数对 D 过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平行时，两直线的公垂线与 b 确定的平面 ，当平面 与
3、 b相交时，过交点作平面 的垂线与 b确定的平面 .故选 D. 4 (2017 全国卷 ) 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则 ( ) A A1E DC1 B A1E BD C A1E BC1 D A1E AC C =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直， B ， D 错； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C 正确； (证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1 平面 CEA1B1.又
4、 A1E 平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故 A 错 故选 C. 5 (2017 河北唐山一模 )如图 7410，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， G是 EF 的中点，现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、 C、 D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有 ( ) 【导学号： 79140236】 图 7410 A AG 平面 EFH B AH 平面 EFH C HF 平面 AEF D HG 平面 AEF B 根据折叠前、后 A
5、H HE， AH HF 不变， AH 平面 EFH， B 正确； 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直， A 不正确； AG EF， EF GH， AG GH G， EF 平面 HAG，又 EF 平面 AEF， 平面 HAG AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内， C 不正确； 由条件证不出 HG 平面 AEF， D 不正确故选 B. 二、填空题 6如 图 7411， BAC 90 ， PC 平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线是 _；与 AP 垂直的直线是 _ 图 7411 =【 ;精品教育资源文库 】 = AB， BC，
6、 AC； AB PC 平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC. AB AC， AB PC， AC PC C， AB 平面 PAC， AB AP，故与 AP 垂直的直线是 AB. 7如图 7412 所示，在四棱锥 PABCD 中， PA 底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC上的一动点，当点 M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 ) 图 7412 DM PC(或 BM PC) 连接 AC， BD，则 AC BD， PA 底面 ABCD， PA BD. 又 PA AC A， BD 平面 PAC， BD PC. 当 DM PC(或
7、 BM PC)时，即有 PC 平面 MBD. 而 PC 平面 PCD， 平面 MBD 平面 PCD. 8 (2016 全国卷 ) ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 m n， m ， n ，那么 . 如果 m ， n ，那么 m n. 如果 ， m ，那么 m . 如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有 _ (填写所有正确命题的编号 ) 【导学号： 79140237】 对于 ， ， 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误 对于 ，由线面平行的性质定理知存在直线 l ， n l，又 m ，所以 m l，所以m n，故正确 对于
8、 ，因为 ，所以 ， 没有公共点又 m ，所以 m， 没有公共点，由线面平行的定义可知 m ，故正确 对于 ，因为 m n，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等因为 ，所以 n与 所成的角和 n与 所成的角相等，所以 m与 所成的角和 n与 所成的角相等，故正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题 9 (2017 北京高考 )如图 7413，在三棱锥 PABC 中， PA AB， PA BC， AB BC， PA AB BC 2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 图 7413 (1)求证： PA BD； (2)求证：平面 BDE 平面 PAC； (3)
9、当 PA 平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 解 (1)证明：因为 PA AB， PA BC，所以 PA 平面 ABC. 又因为 BD 平面 ABC，所以 PA BD. (2)证明：因为 AB BC， D 为 AC 的中点，所以 BD AC. 由 (1)知， PA BD， 所以 BD 平面 PAC， 所以平面 BDE 平面 PAC. (3)因为 PA 平面 BDE，平面 PAC 平面 BDE DE，所以 PA DE. 因为 D 为 AC 的中点，所以 DE 12PA 1， BD DC 2. 由 (1)知， PA 平面 ABC，所以 DE 平面 ABC， 所以三棱锥 EBCD 的体积
10、V 16BD DC DE 13. 10 (2017 江苏高考 )如图 7414，在三棱锥 ABCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD 平面BCD，点 E， F(E 与 A， D 不重合 )分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD. 图 7414 求证： (1)EF 平面 ABC； (2)AD AC. 证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD， 所以 EF AB. 又因为 EF?/ 平面 ABC， AB 平面 ABC， 所以 EF 平面 ABC. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)因为平面 ABD 平面 BCD， 平面 ABD 平面 BCD BD， BC
11、 平面 BCD， BC BD， 所以 BC 平面 ABD. 因为 AD 平面 ABD，所以 BC AD. 又 AB AD， BC AB B， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC， 所以 AD 平面 ABC. 又因为 AC 平面 ABC， 所以 AD AC. B 组 能力提升 11 (2017 贵州贵阳二模 )如图 7415，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，沿 AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P点在 AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是 ( ) 图 7415 A O 是 AEF 的垂
12、心 B O 是 AEF 的内心 C O 是 AEF 的外心 D O 是 AEF 的重心 A 由题意可知 PA， PE， PF 两两垂直， 所以 PA 平面 PEF，从而 PA EF， 而 PO 平面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P， 所以 EF 平面 PAO， 所以 EF AO，同理可知 AE FO， AF EO， 所以 O 为 AEF 的垂心 12.如图 7416，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1 底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC 2a， BB1 3a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF _时， CF 平面 B
13、1DF. =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7416 a 或 2a B1D 平面 A1ACC1， CF B1D. 为了使 CF 平面 B1DF，只要使 CF DF(或 CF B1F) 设 AF x，则 CD2 DF2 FC2， x2 3ax 2a2 0， x a 或 x 2a. 13. (2016 四川高考 )如图 7417，在四棱锥 PABCD 中， PA CD， AD BC， ADC PAB 90 ， BC CD 12AD. 图 7417 (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM 平 面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB 平面 PBD. 【导学号： 791402
14、38】 解 (1)取棱 AD 的中点 M(M 平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点 理由如下：连接 CM， 因为 AD BC， BC 12AD， 所以 BC AM，且 BC AM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形， 所以 CM AB. 又 AB 平面 PAB， CM?/ 平面 PAB， 所以 CM 平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点 ) (2)证明：由已知， PA AB， PA CD， 因为 AD BC， BC 12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 PA 平面 ABCD，所以 PA BD. 因为 AD BC， BC 12AD， M 为 AD 的中点，连接 BM， 所以 BC MD，且 BC MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM CD 12AD，所以 BD AB. 又 AB AP A，所以 BD 平面 PAB. 又 BD 平面 PBD，所以平面 PAB 平面 PBD.
