1、第第8章章 梁的应力梁的应力 教学目标 熟悉工程上常见梁的弯曲正应力、弯曲剪应力熟悉工程上常见梁的弯曲正应力、弯曲剪应力的概念；掌握常见梁的弯曲正应力、弯曲剪应力的概念；掌握常见梁的弯曲正应力、弯曲剪应力的计算及强度计算的计算及强度计算;熟悉平面图形的几何性质熟悉平面图形的几何性质;了了解强度理论的概念。解强度理论的概念。教学要求 知识要点能力要求相关知识所占分值（100分）自评分数弯曲正应力能计算梁的弯曲正应力。梁的弯矩计算。12弯曲剪应力能计算梁的弯曲剪应力。梁的剪力计算。8平面图形的几何性质(1)能计算平面图形的静矩、惯性矩、极惯性矩；(2)能计算简单组合图形的静矩。平面图形的面积形心；
2、平行移轴公式。15梁的弯曲正应力强度计算(1)熟悉梁的正应力强度条件的三方面计算；(2)能计算简单的梁的弯曲正应力强度校核。梁的正应力在横截面上的分布；惯性矩及抗弯截面系数计算。30梁的弯曲剪应力强度计算(1)能计算简单的梁矩形截面、园形截面、工字形截面的弯曲剪应力强度校核。梁的剪应力在横截面上的分布规律；惯性矩及静矩计算。20提高梁强度的措施(1)理解提高梁强度的措施主要条件；(2)能较合理的选择梁的截面。梁的内力图；梁的应力在横截面上的分布。10强度理论(1)能熟悉五个基本的强度理论；(2)会用强度理论确定梁的主应力；(3)能对梁进行主应力校核。应力单元；空间应力状态；应力园。5梁在荷载作
3、用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。8.1 梁的弯曲正应力梁的弯曲正应力1、变形几何关系弯曲平面假设：弯曲平面假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交。ydddy)(2、物理关系yE 3、静力学关系0NAFdAAydAzM00AAydAEdA0dAyMAzz轴必须通过截面的形心 0AAyzdAEdA横截面对y和z轴的惯性积为零，y和z轴为主轴 dAyEdAyMAA2dAyEdAyMAA22ZAy dAIzEIM1yIMz8.1.2最大弯曲正应力最大弯曲正应力 maxmaxmaxyIMyIMzzmaxyIWzz zWMmax 62bhWz 323dWz
4、43132DWz 圆形截面的抗弯截面系数 矩形截面的抗弯截面系数 空心圆截面的抗弯截面系数 例8.1 图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。计算A截面上K 点的弯曲正应力。解：先计算截面上的弯矩kNmFaMA325.1截面对中性轴的惯性矩473310832.51218012012mmbhIZMPayIMZAk09.36010832.510376A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。8.2 平面图形的几何性质平面图形的几何性质反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，统称为截面的几何性质。8.2.1形心和
5、静矩形心和静矩形心坐标公式：AdAyyAzdAzACAC,静矩又称面积矩 AyAzzdASydASAyAzzdASydASCACAAzzdAAyydACAyCAzAzzdASAyydASiniizyAS1iniiyzAS1iiiCAyAziiiCAzAy组合图形是几个规则而成的图形。图形组合的静矩：图形组合的形心坐标公式：8.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理惯性矩、惯性积和平行移轴定理惯性矩惯性矩定义为定义为：22,zAyAIyd AIzd A惯性积定义为惯性积定义为：AzyzydAI 极惯性矩定义为极惯性矩定义为：222()zyAAIdAzydAII同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和
6、惯性积是不同的。byyazzAAAAAydAazdAadAzdAazdAzI22222)(AaIIycy2AbIIzcz2abAIIzcycyz平行移轴公式例8.2 计算图示T 形截面的形心和过它的形心 z轴的惯性矩。选参考坐标系ozy（2）计算截面惯性矩49214923249231101.211032.131732008008002001211075.727710010001001000121mmIIImmImmIzzzzz05731026004001016008501010002222211CCCiiiczmmAyAyAAyAy8.3梁的弯曲剪应力梁的弯曲剪应力当梁的跨度很小或在支座附近有
7、很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。8.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力矩形截面梁的弯曲剪应力dAyIMdANz1zzIMSN1zzQzzISdxFMISdMMN)()(2bISFzzQIz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距；而Sz*则代表y处横线一侧的部分截面对z轴的静距。对于矩形截面，)4(2)2(21)2(22yhbyhyhbSz)41(2322hybhFQ矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布；在截面的上、下边缘剪应力=0；在中性轴(y=0),剪应力最大，剪应力最大公式：bhFQ23m
8、ax8.3.2 工字形截面梁的弯曲剪应力工字形截面梁的弯曲剪应力bISFzzQ腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y=h/2)，剪应力最小，8)(822maxhbBBHbIFzQ)88(22minBhBHbIFzQ近似地得表示腹板的剪应力 bhFQbhFQ或bSIFZQmax 8.3.3圆形截面梁的弯曲剪应力圆形截面梁的弯曲剪应力bISFZZQy 在中性轴上，剪应力为最大值max AFrFQQ34342max一般公式：例8.3 梁截面如图8.16(a)所示，横截面上剪力FQ=15KN。试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹
9、板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩Iz=8.8410 6m4。最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为：解：1.最大弯曲剪应力。342max,10025.9220)4512020(mmmmmmmmmmSz最大弯曲剪应力：MPammmmmmNbISFzZQ66.7)20)(1084.8()10025.9)(1015(46343max,max(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力 341040.8)3512020(mmmmmmmmSZ341040.8)3512020(mmmmmmmmSZ交接处的弯曲剪应力 MPammmmmmNbISFzzQ13.7201084.8)1
10、040.8)(1015(463438.4 梁的强度条件梁的强度条件 为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。8.4.1 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件为：maxmaxzWM要求梁内的最大弯曲正应力max不超过材料在单向受力时的许用应力 利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。8.4.2 弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件 最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为：maxmaxmaxbISFzzQ 要求梁内的最大弯曲剪应力max不超过材料在纯剪切时的
11、许用剪应力 在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。例8.4 图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为y1=95mm和y2=95mm，惯性矩Iz=8.84106m4，许用拉应力t=35MPa，许用压应力c=140Mpa。解：（1）危险截面与危险点判断。梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别作用有最大正弯矩
12、与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面D的b点与截面B的c点处均受拉。由于|MD|MB|，|ya|yd|,|因此|a|d|即梁内的最在弯曲压应力c,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉应力t,max,究竟发生在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。（2）强度校核。MPammmmNmmIyMzaDa8.591084.8)950)(1056.5(466MPaIyMMPaIyMzcBczbDb6.333.28tctcacMPaMPa6.338.59max,max,梁的弯曲强度符合要求 例8.5 悬臂工字钢梁
13、AB，长l=1.2m，在自由端有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知钢的许用应力=170Mpa，略去梁的自重，(1)试计算集中荷载F的最大许可值。(2)若集中荷载为45 kN，确定工字钢的型号。解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为：Mmax=Fl=1.2F NmF的最大许可值为：2.262.1170185maxF103N=26.2kN由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为Wz=185103mm3公式(8.16)得：1.2F(185106)(170106)(2)最大弯矩值Mmax=Fl=1.245103=54103Nm按强度条件计算所需抗弯截面系数为：3356ma
14、x3181018.31701054cmmmMPaNmmMWZ 查附录可知，22b号工字钢的抗弯截面模量为325cm3，所以可选用22b号工字钢。例8.6 例8.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力=100Mpa。试按剪应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，并计算腹板所担负的剪力FQ1。解：（1）按剪应力的强度校核。截面上的剪力FQ=26.2kN。由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸 Iz=1660104mm4,mmSIzz154腹板上的最大剪应力 MPaMPamNdSIFzzQ1002.26)/(1
15、02.26)105.6)(10154(102.26)(26333max腹板上的最小剪应力为 MPamNbISFZZQ2.21/102.21261min（3）腹板所担负剪力的计算)/(10389010)2.212.26()106.158(32)106.158)(102.21(363361mNAkNNbAFQ3.25)(103.253111可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力FQ的96.6%。8.5 提高梁强度的措施提高梁强度的措施在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件 WMmaxmax WMmaxmax8.5.1合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况8.5.2选
16、用合理的截面形状选用合理的截面形状矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多 8.5.3 采用变截面梁采用变截面梁 思思 考考 题题1.推导梁平面弯曲正应力公式时作了哪些假设？在什么条件下才是正确的？为什么要作这些假设？2在什么条件下梁只发生平面弯曲？3.什么是中性层和中性轴？直梁平面弯曲时为什么中性轴通过截面形心？4.提高粱的弯曲强度有哪些措施？习习 题题8.1 一矩形截面梁，梁上作用均布荷载，已知：l=4m，b=14cm，h=21cm，q=2kN/m，试校核梁的强度。kPa4101.1 弯曲时木材的容许应力8.2 简支梁承受均布荷载如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，
17、且D1=40mm,5322Dd试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？8.3 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1与F2作用，且F1=2F2=5kN。试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的弯曲正应力。8.6 图示截面梁，横截面上剪力FQ=300kN，试计算：（a）图中截面上的最大剪应力和A点的剪应力；（b）图中腹板上的最大剪应力，以及腹板与翼缘交界处的剪应力。8.7 图示矩形截面木梁，许用应力=10Mpa。（1）试根据强度要求确定截面尺寸b。（2）若在截面A处钻一直径为d=60mm的圆孔(不考虑应力集中)，试问是否安全。8.8 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的截面如图所示。已知：mkNqml/8,5.1求梁截面中的的最大拉应力和最大压应力。8.13 图示结构，承受集中荷载F作用，试校核横梁的强度。已知荷载F=12kN，横梁用No.14工字钢制成，许用应力=160MPa。8.14矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m，b/h=2/3,q=10kN/m，=10MPa。试确定梁横截面的尺寸。8.15 图示简支梁由22b工字钢梁制成，上面作用一集中力，材料的许用应力=170MPa，试校核该梁的正应力强度。8.17 如图所示悬臂梁，自右端作用一集中力F=15kN,拭计算截面BB 的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。
