1、-1-第20讲空间直线、平面的垂直-2-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点课标导引教材核心知识课标要求学业水平评价要求空间直线、平面垂直的判定和性质借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线、平面的垂直关系,归纳出判定和性质定理掌握空间基本图形位置关系的简单命题的证明能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题掌握空间角的定义,并能求空间角的大小在给定几何图形中找出有关的角和线段,综合应用集合知识求出角度和距离掌握-3-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的概念 定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们
2、就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫作平面的垂线,平面叫作直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫作垂足图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直-4-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦(2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言a,b,ab=P,la,lb l图形语言-5-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦(3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言a,bab图形语言-6-第20讲空
3、间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦(4)点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫作这个点到该平面的垂线段,该垂线段的长叫作这个点到该平面的距离.-7-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直符号语言 l,l 图形语言-8-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦(3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个
4、平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直符号语言,=l,a,ala图形语言-9-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦3.空间中的角(1)异面直线所成的角定义:已知两条异面直线a,b经过空间任一点O分别作直线 aa,bb,我们把直线a与b所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).-10-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦(2)直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面的所成角.规定:若直线与平面垂直,则直线与平面所成的角是直角;若直线和平面平行或在平面内,
5、则它们所成的角是0.-11-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦(3)二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.二面角的平面角:如图,若Ol,OA,OB,且满足OAl,OBl,则射线OA,OB所成的角AOB叫作二面角-l-的平面角.二面角的平面角的取值范围是0,.-12-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三空间中的垂直角度1.垂直的判断例1(1)在空间中,设,表示平面,m,n表示直线.则下列命题正确的是()A.若mn,n,则mB.若,m,则mC.若m上有无数
6、个点不在内,则mD.若m,那么m与内的任何直线平行-13-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三(2)如图,在三棱锥S-ABC中,SAAB,SAAC,则直线SA与直线BC的位置关系是()A.相交B.平行C.异面且垂直D.异面但不垂直-14-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三(3)(2021年7月浙江学考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1,点E是棱CC1的中点,AE平面B1D1C,则()A.ABADAA1=112B.ABADAA1=122-15-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考
7、点一考点二考点三答案 (1)A(2)C(3)C 解析(1)A正确;对于B,m不垂直,交线时,m不垂直,故B不正确;对于C,m与相交时,m上也有无数个点不在内,故C不正确;对于D,m时,m与内的直线可以平行或异面,故D不正确.故选A.(2)SAAB,SAAC,SA平面ABC,BC平面ABC,SABC,故选C.(3)AE平面B1D1C,AEB1D1,AEBD,BD垂直AE在底面ABCD上的投影AC,ABAD=11.同理可知,B1C垂直AE在平面BCC1B1上的投影BE,可得BCEB1BC,-16-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三-17-第20讲空间直线
8、、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三判断空间中的垂直关系时,通常可以用垂直的判定和性质定理来说明,或者通过举反例的方法排除错误选项,从而得到正确结论.-18-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三角度2.垂直的证明例2如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CAA1=A1AB=BAC=90,AB=AA1.求证:A1B平面AB1C.-19-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三证明 CAA1=BAC=90,CAAA1,CAAB,又AA1,AB平面ABB1A1,且AA1AB=A,CA平面ABB1
9、A1.A1B平面ABB1A1,CAA1B.A1AB=90且AB=AA1,A1BAB1.又CA,AB1平面AB1C,且CAAB1=A,A1B平面AB1C.-20-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三证明空间中的垂直关系时,首先要熟悉垂直的判定和性质定理,在证明时,通常可以从结论出发,通过分析法得到需要证明垂直关系,从而得到证明的思路.-21-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三空间中的角角度1.空间异面直线所成角例3(2021年1月浙江学考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱C1D1,A1
10、D1的中点,则异面直线DE与AF所成角的余弦值是()-22-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三答案 A 解析 取A1B1中点N,连接NE,NF,NA,E,N分别是C1D1,A1B1的中点,ENA1D1,且EN=A1D1,在立方体中,ADA1D1,且AD=A1D1,ENAD,且EN=AD,四边形ANED为平行四边形,ANDE,FAN即为异面直线DE与AF所成角(或其补角).-23-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线
11、问题来解决.-24-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三角度2.空间中直线与平面所成角例4(1)(2020年7月浙江学考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=BB1=1,则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值是.-25-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三(2)(2020年1月浙江学考)在中国古代数学著作九章算术中,鳖臑(bi no)是指四个面都是直角三角形的四面体.如图,在直角三角形ABC中,AD为斜边BC上的高,AB=3,AC=4,现将ABD沿AD翻折得到ABD,使得四面体
12、ABCD为一个鳖臑,则直线BD与平面ADC所成角的余弦值是.-26-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三解析(1)如图,连接BC1,交CB1于K,连接A1K,由题可知,A1B1平面BB1C1C,A1B1BC1,又四边形BB1C1C是正方形,BC1CB1,又A1B1CB1=B1,BC1平面CB1A1D,BA1K即为直线A1B与平面A1B1CD所成的角,-27-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三(2)作BMCD交CD于M,ADCD,ADDB,且CDDB=D,AD平面DBC,AD平面ACD,平面ACD平面DBC.又
13、平面ACD平面DBC=DC,且BMCD,BM平面ACD,BDM即为BD与平面ADC所成的角,在RtABC中,AB=3,AC=4,-28-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三要使得四面体ABCD为一个鳖臑,则需满足DBBC,在RtBDC中,-29-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三求线面角的步骤:作,作(或找)出斜线在平面内的射影;证,证明某平面角就是斜线与平面所成的角;求,通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.-30-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三角
14、度3.二面角例5如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是()-31-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三答案 B 解析 过点O作ODAC交AC于点D,连接PD,PO平面ABC,可知PDAC,PDO即为二面角P-AC-B的平面角.PA=AB=2,AC=BC,-32-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三寻找二面角的平面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上任找一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两射线所成的小于
15、或等于180的角.(2)垂线法:过一个平面内一点A作另一个平面的垂线,垂足为B,过垂足B作二面角的棱的垂线,垂足为O,连接AO,AOB即为二面角的平面角.(3)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面相交,得到两条交线,这两条交线形成的角即为二面角的平面角.-33-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三空间中的距离-34-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三答案 B 解析 如图,POQ为二面角-l-的平面角,故POQ=60,由于l平面POQ,所以平面POQ平面,过点Q作QHPO于点H,则QH,所以Q到平面的距离为QH,又因为QH=,故选B.-35-第20讲空间直线、平面的垂直课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三点到平面的距离的求法(1)直接法.直接过点作平面的垂线,垂线段即为所求.有时可借助垂面作垂线.(2)等体积法.构造三棱锥,将所求的距离转化为求三棱锥的高.(3)斜线法.若点A平面,直线PA与平面的夹角记为,斜线段长度为PA,则点P到平面的距离为PAsin.
