1、6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题2掌握用向量方法解决实际问题的基本方法和步骤1.数学运算;2.数学抽象；3.数学建模.【自主学习】一用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”1.建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 2.通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3.把运算结果“翻译”成几何关系二向量在物理中的应用1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的
2、用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算3.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即WFs|F|s|cos(为F和s的夹角)【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)若，则直线AB与直线CD平行( )(2)若四边形ABCD是矩形，则必有0.( )(3)力的合成与分解体现了向量的加减运算( )(4)动量mv是数乘向量( )(5)功是力F与位移s的数量积，即WFs.( )【经典例题】题型一 向量在平面几何中的应用点拨：向量法解决平面几何问题的两种方法1.基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角
3、的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算2.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.例1 如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2.求对角线AC的长分析：本题是求线段长度的问题，转化为求向量的模来解决 【跟踪训练】1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.题型二 向量在物理中的应用例2 用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为 。【跟踪训
4、练】2已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功【当堂达标】1已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4)，F2(2，5)，F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是( )A(8,0)B(9,1)C(1,9)D(3,1)2.在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为( )A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形3.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2
5、 m/sC4 m/s D12 m/s4.在ABC中，若C90，ACBC4，则 .5.如图所示，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC求：(1)AD的长；(2)DAC的大小6.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向【参考答案】【自主学习】向量 向量问题 向量运算 向量 加减法运算【小试牛刀】(1) (2) (3) (4) (5) 【经典例题】例1 解 设a，b，则ab，ab，而|ab|2，|2|ab|2a22ab
6、b2|a|22ab|b|2142ab.由得2ab1.|26，|，即AC.【跟踪训练】1 证明证法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20.故，即AFDE.证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.例2 10N 解析：如图，由题意得|，AOB120，|10 N，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形且CAO60，|10 N，所以|10 N.【跟踪训练】2解：(1)(7,0)(20,15)(13
7、，15)，W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)所以力F1，F2对质点所做的功分别为99 J和3 J.(2)WF(F1F2)(3,4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(J)所以合力F对质点所做的功为102 J.【当堂达标】1.B 解析：F(8,0)，终点坐标为(8,0)(1,1)(9,1)，故选B2.D 解析：由0，得，四边形ABCD为平行四边形又0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D3.B 解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，
8、船的实际速度为v，则|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10，|v2|2(m/s)故选B.4.16 解析：由C90，ACBC4，知ABC是等腰直角三角形，BA4，ABC45，44cos4516.5. 解 (1)设a，b，则()ab.|22(ab)2a22abb29233cos12093.故AD.(2)设DAC，则为向量与的夹角cos0，90，即DAC906.解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度为|v1|20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|20 km/h，该帆船行驶的速度为v，则vv1v2，由题意，可得向量v1(20cos60，20sin60)(10,10)，向量v2(20,0)，则帆船的行驶速度vv1v2(10,10)(20,0)(30,10)，所以|v|20(km/h)因为tan(为v和v2的夹角，为锐角)，所以30，所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20 km/h.
