1、 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解向量正交分解以及坐标表示的意义。（重点）2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则。（重点）3.应用向量运算解决相关问题。1.数学运算;2.直观想象;3.数学抽象。【自主学习】一平面向量的正交分解把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解二平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序实数对
2、叫做向量a的坐标，记作a ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标在向量的直角坐标中i，j，0的坐标分别为i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)三平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则ab ；ab ；a (2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(2)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)()(2)若x1，x2，y1，y2
3、R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2.()(3)若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O.()(4)若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)()2.已知A(3，1)，B(2，1)，则的坐标是()A(2，1)B(2，1)C(1，2) D(1，2)【经典例题】题型一 平面向量的坐标表示点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标例1 分别用基底 i，j 表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标。【跟踪训练】1
4、 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，（1）求向量的坐标；（2）若B(，1)，求的坐标 【跟踪训练】3题型二 平面向量的坐标运算点拨： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行例2 已知a(2,1)，b(3，4)，求ab， ab，3a4b坐标。【跟踪训练】2（1）已知A，B，C的坐标分别为(2，4)，(0，6)，(8，10)，则2_，_题型三 向量坐标运算的综合应用例3.已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(2,1)
5、，(1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即)求解，解法2利用向量的加法求解想一想还有别的方法吗？ 【跟踪训练】3已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及t.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【当堂达标】1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则2的坐标是()A(1，2)B(7,6) C(5,0) D(11,8)2.已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2) B
6、(1,2) C(5,6) D(2,0)3已知(2，4)，(2，6)，则等于()A(0，5) B(0，1) C(2，5) D(2，1)4.在ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，(1,2)，则()A(2,4) B(4,6) C(6，2) D(1,9)5.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，0)，D(x，y)，且2，则xy_6.已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值【课堂小结】平面向量坐标运算的技巧:(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出
7、向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行【参考答案】【自主学习】两个互相垂直 (x，y) (x，y) (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) (x1，y1) 终点 起点【小试牛刀】1. (1)(2)(3)(4)2.C【经典例题】例1 解：由图可知a2i3j(2，3)，b2i3j(2，3)，c2i3j(2，3)，d2i3j(2，3).【跟踪训练】1解：(1)设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)(2) (2，6)(，1)(，7).例2解：a(2,1)，b(3，4)，ab(2,1) (3，4)(1，5
8、)，ab(2,1) (3，4)(5，3)，3a4b3(2,1) 4(3，4)(6,3) (12，16)(6,19)。【跟踪训练】2（1）(18，18)(3，3) 解析：因为A(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，所以(2，10)，(8，4)，(10，14)，所以2(18，18)，(3，3)（2）已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求点M，N的坐标（2）解解法一：A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)3，2，3(1,8)(3,24)，2(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，(x13，y
9、14)(3,24)，(x23，y24)(12,6)，解得M(0,20)，N(9,2)解法二：设O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，32，2.3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)M(0,20)，N(9,2)例3 解：方法1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，在ABCD中，又(x2，y1)，(4,1)，(x2，y1)(4,1)，即解得顶点D的坐标为(2,2)方法2(利用向量加法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则.，(x，y)(2,1)(4,1)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)方法3(利用向量减
10、法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则，(x，y)(4,1)(2，1)(2,2)，顶点D的坐标为(2,2)方法4(利用中点的向量表达式)如图，在ABCD中，设AC的中点为M，则点M也是BD的中点()()，(2,1)(3,4)(1,3)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)【跟踪训练】3【解】(1)t(1，2)t(3，3)(13t，23t)若点P在x轴上，则23t0，所以t.若点P在y轴上，则13t0，所以t.若点P在第二象限，则所以t.(2)(1，2)，(33t，33t)若四边形OABP为平行四边形，则，所以该方程组无解故四边形OABP不能为平行四边形【当堂达标】1.D 解析：
11、选D因为(4,2)，(3,4)，所以2(8,4)(3,4)(11,8)故选D.2.A 解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)故选A3.D解析：选D.()(2，6)(2，4)(2，1)4.A 解析：在ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以(2,3)又(1,2)，所以(1,5)，(3，1)，所以(2,4)，故选A5. 解析：因为(2，0)(1，2)(1，2)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，又2，即(2x4，2y6)(1，2)，所以解得所以xy.6.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得
