1、8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积1.数学运算;2.逻辑推理【自主学习】一棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体_ _的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_ _的面积的和.1.棱柱的表面积棱柱的表面积：S表 其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧 ；长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表 ；棱长为a的正方体的表面积：S表 .2.棱锥的表面积棱锥的表面积：S表S侧S底；底面周长为C
2、，斜高(侧面三角形底边上的高)为h的正棱锥的侧面积：S侧 .3.棱台的表面积棱台的表面积：S表 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和二棱柱、棱锥、棱台的体积1棱柱的体积(1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V .2棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V .3棱台的体积(1)棱台的高是指 之间的距离(2)棱台的上、下底面面积分别是S、S，高为h，其体积V 【小试牛刀】1思考辨析(正确的画“”，
3、错误的画“”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和 ()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和 ()(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同 ()(4)在三棱锥PABC中，VPABCVAPBCVBPACVCPAB ()3长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为()A6,22B3,22 C6,11D3,11【经典例题】题型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积点拨：棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.例1 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为
4、a时，该三棱锥的表面积是()Aa2Ba2Ca2 Da2【跟踪训练】1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2 已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1ABC的体积为(D)ABCD【跟踪训练】2 棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于 .题型三求体积的等积法与分割法点拨：求几何体体积的常用方法公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱
5、柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积例3 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d. 【跟踪训练】3 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.【当堂达标】1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A B C D2.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为()A.6 B.12C.24 D.483.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小
6、正方体的表面积为_4.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，则三棱锥PABC的体积V_.5.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥SABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.6.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积. 【课堂小结】1棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键2计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面
7、体的有关截面，将空间问题转化为平面问题3在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”【参考答案】【自主学习】各个面 各个面 S侧2S底 Ch 2(abacbc) 6a2 Ch S侧S上底S下底 两底面 Sh 顶点 垂足 Sh 两个底面 h(SS) 【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)2.A解析:V1236，S2(12)2(13)2(23)22.【经典例题】例1 A解析：侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，S表a23a2.【跟踪训练】1 解 如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，体对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b
8、256该直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8直四棱柱的侧面积S侧485160直四棱柱的底面积S底ACBD20.直四棱柱的表面积S表16022016040.例2 D 解析: 设三棱锥B1ABC的高为h，则V三棱锥B1ABCSABCh3.【跟踪训练】2 62 解析：体积V(24)362.例3 解析：在三棱锥A1ABD中，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VA1ABDVAA1BD，a2aaad.解得da.A到平面A1BD的距离为a.【跟踪训练】3 解 如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥EABCD42316AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥
9、CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420【当堂达标】1.D2.D 解析:正四棱锥的斜高h= 4,S侧=4 64=48.3.18a2 解析：原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1a26a2，所以27个小正方体的表面积是a22718a2.4. 4 解析：三棱锥的体积VSh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解故VSPACPB2434.5.解析 四棱锥SABCD的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE，则SEAB，S侧4SSAB4ABSE2525，S表S侧S底252525(1).6.解析：由V三棱锥A1D1EFV三棱锥FA1D1E，SA1D1EEA1A1D1a2，又三棱锥FA1D1E的高为CDa，V三棱锥FA1D1Eaa2a3，V三棱锥A1D1EFa3
