1、 6.1 平面向量的概念【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念;2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念;3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念1.数学抽象;2.逻辑推理【自主学习】一、向量的概念和表示方法1向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量2向量的表示(1)表示工具有向线段有向线段包含三个要素： ， ， (2)表示方法：向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.思考（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？（2）两个向量可以
2、比较大小吗？同方向的两个向量可以比较大小吗？（3）两个向量的长度可以比较大小吗？二、向量的模及两个特殊向量(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的_ (或称模)，记作_(2)零向量：长度为_的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于_的向量思考（1）零向量的方向是什么？（2）两个单位向量方向相同吗？三、相等向量与共线向量1. 且 的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作ab.2.方向 的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，记作ab.任一组 向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做 3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0a.【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“”
3、，错的打“”)(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.()(2)向量就是有向线段()(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段一定在同一条直线上()(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行()(5)零向量是最小的向量()(6)任意两个单位向量都相等.()2.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度.其中是向量的有 。 【经典例题】题型一 向量的概念点拨：1.判断一个量是否为向量的两个关键条件：大小；方向2.理解零向量和单位向量应注意的问题：零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；单位向量不一定相等，易忽略向量的方向；但是单位向量长度相等。例1 下列
4、说法中正确的是()A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小【跟踪训练】1 给出下列说法：零向量是没有方向的；零向量的长度为0；零向量的方向是任意的；单位向量的模都相等，其中正确的是_(填上序号)题型二 向量的表示及应用点拨：用有向线段表示向量的步骤（1） 定起点：先确定向量的起点；（2） 定方向：再确定向量的方向；定终点：根据向量的长度确定向量的终点。例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45方向上；(2)，使|4，点B在点
5、A正东方向上；(3)，使|6，点C在点B北偏东30方向上【跟踪训练】2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点(1)作出向量，；(2)求|.题型三 相等向量与共线向量点拨：寻找相等向量的方法：先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。例3 （课本P4例2）如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心。（1） 写出图中的共线向量；（2）
6、 分别写出图中与,相等的向量。 【跟踪训练】3在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图(1)写出与向量共线的向量(2)求证：. 【当堂达标】1.下列说法正确的是()A若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B终点相同的两个向量不共线C若|a|b|，则abD单位向量的长度为12.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_3.如果在一个边长为5的正ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为_4.如图是34的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 个. 5
7、.如图所示，ABC中三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点（1）写出与共线的向量；（2）写出与长度相等的向量；（3）写出与相等的向量。 【课堂小结】1 向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我们将代数问题和几何问题互化2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行【参考答案】【自主学习】一、大小 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 |思考：（1）有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念（2）因为向量既有大小，又有方向，
8、所以不能比较大小；同方向的向量也不能比较大小。（3）可以。二、长度 | 0 1个单位长度思考：（1）零向量方向是任意的。（2）两个单位向量的方向不一定相同。三、长度相等 方向相同 相同或相反 平行 共线向量【小试牛刀】1. 2.【经典例题】例1 D 解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小故D正确【跟踪训练】1 解析：由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由零向量的定义知正确；由单位向量的模是1，知正确例2 【解】(1)由于点A在点O北偏东45方向上，又|4，小方格
9、的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是确定点A的位置，画出向量(2)由于点B在点A正东方向上，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示(3)由于点C在点B北偏东30方向上，且|6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，画出向量【跟踪训练】2例3 【跟踪训练】3【当堂达标】1.D 解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b0，则a与c不一定平行B中，两向量终点相同，若夹角是0或180，则共线C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小2.0 解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线又m与，都共线，所以m0.3.解析：根据题意，在正ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正ABC的高，为.4.245.
