1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题距离问题讲课人：邢启强2研究 从今天开始从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用.讲课人：邢启强3某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?新课引入新课引入讲课人：邢启强41.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题转化为求向量模长问题可将
2、两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),(zyxa学习新知学习新知2.点到直线的距离点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.则P到直线l的距离如何求呢？点P到直线l的距离为PQ=2222|()APAQaa u 已知直线l的方向向量为 b,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设 ,则向量 在直线l上的投影向量.APa AP|a bbAQbb设 ,则向量 在直线l上的投影向量 =(a).APa AP AQ点P到直线l的距离为PQ=2222|()|a bAPAQab 点到直线的距离、两条平行直线之间的距离点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
3、讲课人：邢启强5巩固练习巩固练习 点到直线的距离、两条平行直线之间的距离点到直线的距离、两条平行直线之间的距离2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为.讲课人：邢启强6 n A P Q 向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离：学习新知学习新知 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离、两个平行平面之间的距离这个结论说明这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结平面外一点到
4、平面的距离等于连结此点与平面上此点与平面上的任一点的任一点(常选择一个特殊点常选择一个特殊点)的的向量向量在平面的在平面的法向量法向量上的上的射影的射影的绝对值绝对值.讲课人：邢启强7学习新知学习新知 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离、两个平行平面之间的距离平面外一点到平面的距离等于连结平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点此点与平面上的任一点(常选常选择一个特殊点择一个特殊点)的的向量向量在平面的在平面的法向量法向量上的上的射影的绝对值射影的绝对值.直线和平面间的距离：如果一条直线l与一个平面平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面的距离求解.
5、两个平行平面之间的距离如果两个平面,互相平行,在其中一个平面内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面的距离求解.讲课人：邢启强8巩固练习巩固练习在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为.解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),讲课人：邢启强9典型例题典型例题例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求点B到直线A1C1的距离.解:以B为坐标原点,建立如图所
6、示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量所以点B到直线A1C1的距离又因为用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.讲课人：邢启强10典型例题典型例题例例2:如图如图,已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为4，E、F分别是分别是AB、AD的中点的中点,GC平面平面ABCD，且，且GC2，求点，求点B到平面到平面EFG的距离的距离.DABCGFExyz分析分析:用几何法做相当困难用几何法做相当困难
7、,注意到坐标系建注意到坐标系建立后各点坐标容易得出立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算的距离可以用法向量来计算,而法向量总是而法向量总是可以快速算出可以快速算出.讲课人：邢启强11DABCGFExyz(2,2,0),(2,4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2:如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求点求点 B 到平面到平
8、面 EFG 的距离的距离.讲课人：邢启强12APDCBMN典型例题典型例题讲课人：邢启强13解：如图解：如图,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)2aa2aaaAPDCBMNzxy讲课人：邢启强14例3在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.典型例题典型例题3思路分析：借助平面SAC平面A
9、BC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.讲课人：邢启强15典型例题典型例题解:取AC的中点O,连接OS,OB.SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC.又BO平面ABC,SOBO.如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,讲课人：邢启强161.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1E的距离；(2)求直线FC1到直线AE的距离；(3)求点A1到平面AB1E的距离；(4)求直线
10、FC1到平面AB1E的距离.53021(1)(2)(3)(4)3333巩固练习巩固练习2.RtABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是 .953 讲课人：邢启强17巩固练习巩固练习3.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为.4.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()B5.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()D讲课人：邢启强18用空间向量
11、解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）课堂总结课堂总结
