1、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算讲课人：邢启强2两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义0,a ba bb a 范围：在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,.,a bO OAaOBbAOBaba b 如图，已知两个非零向量在空间任取一点，则角叫做向量 与 的夹角，记作：O OA AB Baabb,a baba b 学习新知学习新知两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180讲课人：邢启强3(2)两个向量的
2、数量积两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。cos,cos,aa baOAaOAaa ba ba ba bba ba b 长度长度模数设则有向线段的叫做向量 的或记作：已知空间两个向量，则叫做向量的，记作：即量积学习新知学习新知讲课人：邢启强4,cos,cos,OAaOAaaa ba ba ba ba ba ba ba b 设则有向线段的长度叫做向量 的长度或模 记作：已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即abBB1 1AA1 1(2)两个向量的数量积两个向量的数
3、量积学习新知学习新知讲课人：邢启强5不一定为锐角不一定为锐角不一定为钝角不一定为钝角巩固练习巩固练习讲课人：邢启强6空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；性质性质(5)(5)是用来求两个向量的夹角是用来求两个向量的夹角对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,a b学习新知学习新知讲课人：邢启强7空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 分配律）交换律）()(3()2)()()1
4、cabacbaabbababa注意注意:数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即)()a b ca b c （学习新知学习新知讲课人：邢启强821.2 2,2,_.2aba ba b 已知则所夹的角为222222.10,0,0()2)()()()3)()()4)()a baba bcab cpqp qpqpqpq 判断真假：）若则135巩固练习巩固练习讲课人：邢启强9 如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于的每条边和对角线长都等于1，点，点E、F、G分别是分别是AB、AD、DC的中点。的中点。求下列向量的数量积：求下列向量的数量积：(1);(2);(3);(4
5、).AB ACAD DBGF ACEF BC ABCDEFG5 (6)(7)(8)EF BAEF BDEF DCEF AC （）(9).GE GF 巩固练习巩固练习讲课人：邢启强10巩固练习巩固练习讲课人：邢启强11例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线与平面内任意直线g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要证要证l与与g垂直，只需证垂直，只需证lg0而而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有不平行，由共面向
6、量定理知，存在唯一的有序实数对序实数对(x,y)使得使得 g=xm+yn要证要证lg0,0,只需只需l g=xlm+yln=0=0故故 lg0 0而而lm0 0，ln0 0例题讲评例题讲评讲课人：邢启强12n nm mgg gmnll l例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l.,gnmlgnmlg上取非零向量分别在内作任一直线证明：在.),(,nymxgyxnmnm使的有序实数对知，存在唯一由向量共面的充要条件不平行。相交，所以向量与因为.ll gxl myl n 将上式两边与向量 作数量
7、积，得0,0l ml n 因为0l g 所以gl 所以llgl意一条直线，所以内的任垂直于平面线这就证明了直即例题讲评例题讲评讲课人：邢启强13例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形OABC中，中，OABC，OBAC，求证：，求证：OCABACOBCBOA，证明：由已知A AB BC CO O 0,0()0()0OA BCOB ACOA OCOBOBOCOA 所以，OA OCOA OBOB OCOB OA 所以，0()00OA OCOB OCOAOBOCBA OC 所以，ABOC 所以例题讲评例题讲评讲课人：邢启强14lOP,.laPO OA 证明：如图，在直线 上取向量同时取向量.0
8、,OAaOAl所以因为,0POllPOa PO 因为且所以因此()0.a PAaPOOAa POa OAlPA 又因为所以A 例例3.已知：如图，已知：如图，PO,PA分别是平面分别是平面的的垂线，斜线垂线，斜线,AO是是PA在平面在平面内的射影，内的射影，.:,PAlOAll求证且a例题讲评例题讲评讲课人：邢启强15 P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.学习新知学习新知讲课人：邢启强16 1.1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内内,线段线段 如果如果 ,求、之间
9、的距离求、之间的距离.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解解:22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc巩固练习巩固练习讲课人：邢启强17 例例4 4如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段 ,线段线段 ，线段，线段，如果，求、之间的距离。，如果，求、之间的距离。AC BDABDD 30DBD ,ABaACBDb CDAB 解：由，可知解：由，可知.由由 知知 .AC ACAB 30DBD ,120CABD 2222222cos120babbab 22CDabbab CABDD22|()CDCD CDCAABB
10、D 222|222CAABBDCA ABCA BDAB BD 例题讲评例题讲评讲课人：邢启强18 2.2.已知在平行六面体已知在平行六面体 中，中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDA B C D 4AB 3,5,90,ADAABAD AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA|85AC 巩固练习巩固练习60,BAADAA 讲课人：邢启强193.3.已知空间四边形的每条边和对角已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于线的长都等于 ，点分别是边，点分别是边的中点。求证：的
11、中点。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCD NMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 所以所以22()110022AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaa MNAB 同理，同理，MNCD 巩固练习巩固练习讲课人：邢启强204.4.已知空间四边形已知空间四边形，求证：，求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB证明：证明：()|cos|cos|cos|cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC巩固练习巩固练习讲课人：邢启强21巩固练习巩固练习讲课人：邢启强22巩固练习巩固练习6.已知
12、空间向量已知空间向量a，b满足满足|a|=4，|b|=8，a与与b的夹角是的夹角是150，计算：计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一一2b|讲课人：邢启强23 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线，将它沿对角线AC折起，使折起，使AB与与CD成成60角，求角，求B，D间的距离间的距离巩固练习巩固练习讲课人：邢启强24 已知空间四边形已知空间四边形OABC中中,M,N,P,Q分别分别为为BC,AC,OA,OB的中点的中点,若若AB=OC,求证：求证：PMQN证明：证明：巩固练习巩固练习讲课人：邢启强25 感受美好自然，培养语文素养！GAN SHOU MEI HAO ZI RAN PEI YANG YU WEN SU YANG
